第一章随机事件和其概率1

例如，若我们希望知道某射手中靶的 概率，应对这个射手在同样条件下大量 射击情况进行观察记录.
若他射击n发，中靶 m发，当n很大时，可 用频率m/n作为他中 靶概率的估计.
Ω ..
.
. A. .
样本点ω
试验和样本空间的例子
1)掷一次硬币为一个试验, 则有两个可能的试 验结果, 正面和反面, 则 ={正面, 反面}
2) 掷一次骰子为一个试验, 则有六个可能的试 验结果, 1点, 2点, 3点, 4点, 5点和6点, 因此样本 空间为
={1点, 2点, 3点, 4点, 5点, 6点}
事件的关系与运算
1.包含关系（子事件）(p2)： A发生必导致B发生，记为AB 相等关系：A＝B AB且BA.
2. 事件的和(p2)：A与B至少有一个发生，记作AB或者A+B
2’n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作
n
Ai
i 1
3.事件的积 (p3) :事件A与B同时发生，记作 AB＝AB 3’n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
• 掷两次骰子的试验, 事件B=“两次点数相
同”,
则B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
事件就是由样本点组成的某个集合.
Ω ..
.
. A. .
样本点ω
事件用集合表示时， 如何理解“事件发 生”？
当且仅当属于集合的某一个样 本点在实验中出现
基本事件 （实验中不 可再分解的事件）
记号 概率论
集合论
Ω 样本空间, 必然事件
全集
φ
不可能事件
空集
样本点
元素
AB A发生必然导致B发生 A是B的子集
AB=φ A与B互不相容 A与B无相同元素
AB A与B至少有一发生 A与B的并集
AB
A与B同时发生
A与B的交集
AB A发生且B不发生 A与B的差集
A A不发生、对立事件 A的余集
研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小。
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化……，我们无时 无刻不面临着不确定性和随机性.
自然界与社会生活中的两类现象
➢ 确定性现象：结果确定 ➢ 不确定性现象(或称随机现象)：结果不确定
3)掷两次硬币作为一次试验, 将两次试验结果排序, 则共有四种可能的结果:
(反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正)
因此样本空间 ={(反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正)}
4)掷两次骰子作为一次试验, 将两次试验结果排 序, 则共有36种可能的结果:
={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
概率论起源
在18-19世纪概率论得到了实际应用和重 大发展。而现今流行的基于公理化定义的概率 论主要归功于俄罗斯数学家柯尔莫哥洛夫。
1933年，柯尔莫哥洛夫发表了著名的《概 率论的基本概念》，用公理化结构明确定义了 概率论，这是概率论发展史上的一个重大里程 碑，使得概率论成为一门严谨的数学学科，这 为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。
概率论起源
公元1651年法国著名数学家帕斯卡1623-1662 收到法国大贵族 德.美黑 的一封信，信中请教 了关于赌金分配的问题：“两个赌徒规定谁先 赢3局就算赢了，如果一个人赢了2局,另一个人 赢了1局，此时赌博终止，应该怎样分配赌本 才算公平合理？”
帕斯卡将该问题和解答寄给法国数学家 费马1601-1665，费马也给出了新的解法，他们不 断探讨这类问题，擦出概率论最早的火花。
概率论与数理统计
在18世纪初，比利时的学者A.凯特勒率先 将概率应用到统计中，并将统计方法从自然科 学领域扩展到社会科学领域。
他统计了欧洲大部分国家的死亡、犯罪、 结婚、自杀等社会现象，得出一份调查报告， 宣称他可以预知每年的死亡、犯罪、结婚、自 杀数量，此举轰动了整个欧洲，为此他被冠以 “现代统计学之父”的称号。从此概率和统计 在社会、经济、科学等领域得到重大应用和发 展
事
件
（两个或一些基本事件并在一起，
复合事件 就 构成一个复合事件）
“掷出2点” "掷出奇数点"
特殊的事件
必然事件: 包括整个样本空间的所有元素 的事件, 或者就用表示, 则每次试验必然发 生, 因此称为必然事件.
不可能事件: 不包括任何元素的空集, 即 每次试验一定不会发生, 称为不可能事件, 用表示, 则 ={ }.
个划分. 最常用的完备事件组是
A1 A3 某事件A与它的对立事件A
A2
A4
A A
例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A 、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、 C的运算关系表示下列事件：
A1 :“至少有一人命中目标”: A2 :“恰有一人命中目标”: A3 :“恰有两人命中目标”: A4 :“最多有一人命中目标”: A5 :“三人均命中目标”: A6 :“三人均未命中目标”:
n5
nH
f
2
0.4
3
0.6
1
0.2
5
1.0
1
0.2
2
0.4
4
0.8
n 50
nH
f
22
0.44
25
0.50
21
0.42
25
0.50
24
0.48
18
0.36
27
0.54
n 500 nH f
251 0.502 249 0.498
256 0.512 247 0.494
251 0.502
262 0.524 258 0.516
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，
(AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
可推广 Ak Ak , Ak Ak .
k
k
k
k
完备事件组 若事件A1,A2,…,An为两两互不相容事件, 并且
A1+A2+…+An=,称构成一个完备事件组或构成一
随机现象有其偶然性的一面，也有其 必然性的一面，这种必然性表现在大量重 复试验或观察中呈现出的固有规律性，称 为随机现象的统计规律性.
概率论正是研究随机现象统计规律性的 一门学科. 现在，就让我们一起，步入这 充满随机性的世界，开始第一步的探索和 研究.
1.1
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随机试验
为了研究随机现象，就要对研究对象 进行观察试验，即随机试验，简称试验。
概率的统计定义
在相同条件下对实验E重复进行n次，其中事 件A出现m次。当实验次数n充分大时，事件A
出现的频率fn(A)=m/n的稳定值p,称为事件A
的概率，记为P(A).
P=P(A)≈fn(A)=m/n
频率和概率有什么 区别和联系？
1.频率取决于试验，而概率是先于试验而客观 存在的。
2.对于较大的n， n次试验中事件A的频率，一 般与事件A的概率P相差不大，试验次数n越大， 频率与概率有较大偏差的情形就越少见.因此 人们常取试验次数很大时事件的频率或一系列 频率的平均值作为概率的估计值。
试 1.实验可以在相同条件下重复进行; 验 2.每次试验的可能结果不只一个, 且 的 在试验之前可以明确试验的所有可能 特 结果; 点 3.试验之前不能肯定会出现哪一个结
果。
寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 出的灯泡的寿命.
统计一天中进入某商店的顾客 人数.
样本空间与样本点
随机试验的每个基本结果称为样本点，记为ω。 全体样本点的集合称为样本空间，记为Ω。
4.事件的差(p3) ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不 发生
5. 对立事件或逆事件(p3) AB＝ , 且AB＝
记作B A，称为A的对立事件; 易见A B AB
6.互斥事件(p4) ：事件A与B不能同时发生，即AB＝
事件的运算律
1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)，
概率论起源
后来荷兰数学家惠更斯1629-1695也加入,并在 1657年出版《On Calculations in games of chance》，该书是概率论的第一部著作，由此 概率论诞生了。
后来雅可比.伯努利1654-1705，棣莫弗1667-1754, 贝叶斯1702-1761, 拉普拉斯1749-1827, 高斯1777-1855, 泊松1781-1840,俄罗斯学院的切比雪夫1821-1894和他 的学生马尔科夫1856-1922、李雅普诺夫1857-1918等对 概率论的发展都做出了重大贡献，提出了重要 的理论：如大数定律、马尔科夫链、平稳过程.
Probability A为事件，求P(A)=？
1.2
1.2.1 概率的统计定义
统计概率
在n次重复实验中，事件A出现m次，则 n次实验中，事件A出现的频率
fn(A)=m/n
实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性 的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一 定的规律性，如一定的命中率，一定的分 布规律等等.
再如: 测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有 差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量 次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量 值大多落在此常数的附近，越远则越少，因 而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右 基本对称”.
概率统计与计算机软件
20世纪60年代至今，随着计算机的飞速发 展，概率统计的应用更加广泛，出现了很多方法 和理论，如蒙特卡罗法等。当然更突出的体现在 统计软件的研发和推广上:
闻名世界的三大统计软件SAS, SPSS, Stata, 以及Systat, EViews, Minitab,Statistica,S,S-PLUS 等等，当然国内也出现一些广为流传的统计软 件，如DPS, 以及最近两年出现的马克威统计分 析系统。这些软件的研制和概率统计方法在相 互推进中不断发展和更新。
抛硬币试验
实验者 棣莫弗
抛掷次数 正面出现
n
次数m
2048
1061
蒲丰
4040
2048
弗勒
10000 4979
皮尔逊 24000 12012
维尼
30000 14994
正面出现 频率m/n 0.518 0.5069 0.4979 0.5005 0.4998
频率有什么规律？
结论
频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的 概率．
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定
• 明天广州下雨 • 买了彩票会中奖
——不确定 ——不确定
随机现象 带有随机性、偶然性的现象.
下面的现象哪些是随机现象？ A. 太阳从东方升起； B. 明天的最高温度； C. 上抛物体一定下落； D. 新生婴儿的体重.
随机现象是不是没有规律?
否！ 在一定条件下对随机现象进行大量观测 会发现某种规律性.
频率稳定性 指的是：当各轮试验次数
n1,n2,…,ns 充分大时，在各轮试验中事件A出现 的频率总在一个定值附近摆动. 而且，试验次数
越多，一般来说摆动越小.
频率
m1 m2 ms
n1 n2
ns
稳定在某个值 附近
频率的稳定值说明随机事件发生的可能性大小 是客观存在的，是不以人的意志为转移的客观 规律，这正是随机现象的统计规律性。
={(x,y)|x,y =1,2,3,4,5,6}
随机事件
在随机实验中可能发生也可能不发生的现 象称为随机事件，简称事件. 如在掷色子试验中，观察掷出的点数 .
“掷出2点”
"掷出奇数点"
事件就是样本空间的子集, 或者说事件就是试验结 果的集合, 通常用大写英文字母A, B, C, …等表示.
例如, 掷两次硬币这个试验, 事件A=“至少一次正 面朝上”包括三个样本点(正,反),(反正),(正正). 也可以表示为 A={(正,反),(反,正),(正正)}