行列式的几种求法

行列式的求法有多种，以下简单进行总结。一、逆序定义法

行列式的逆序法定义如下：

1212121112121222(,,......,)12,,......,1

2

(1)......n n

n

n n

j j j j j nj j j j n n nn

a a a a a a a a a a a a τ=

-∑

这里，为的任一排列，为该排列的逆序数，求

12,,......,n j j j 1,2,...,n 12(,,......,)n j j j τ和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有项，每项都是个数相乘，并得计算

!n n 逆序数，计算量巨大。因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少用于求行列式。但是，如果行列式的项中有大量的0，那么用逆序法计算可能会很简单。以下举例如下：

例1：求

。

1122nn

a a a 解答：

1212121122(,,......,)12,,......,(1)......n n

n

j j j j j nj j j j nn a a a a a a τ=

-∑

只当，，……，，其项才可能非零。因此，

11j =22j =n j n =11

22

(1,2,......,)01,12,2,1,12,2,1,12,2,(1)......(1)............n n n n n n n

nn a a a a a a a a a a a a τ=-=-= 例2、求

。

12

n

d d d

解答：

1212121

2

(,,......,)12,,......,(1)......n n

n

j j j j j nj j j j n d d a a a d τ=

-∑

只当，，……，，其项才可能非零。因此，

1j n =21j n =-1n j =

。

1

(1)

2

(,1, (1)

2

1,2,1,112(1)

(1)

......n n n n n n n n n

d d a a a d d d d τ---=-=-

例3、求

。

1

2

1

n n

d d d d -

解答：

1212121

2(,,......,)12,,......,1(1)......n n

n

j j j j j nj j j j n n

d d a a a d d τ-=

-∑

只当，，……，，时，其项才能非零，于是

12j =23j =1n j n -=1n j =12(2,3,4,......,1,,1)11,22,31,,11211(1)......(1)......n n n n n n n n

n n

d d a a a a d d d d d d τ-----=-=- 二、按任意行或任意列展开

111212122211

1

21

1

(1)(1)

n

n n n

i j

ij ij

j j n n nn

n

n

i j

ij ij

i i a a a a a a M A a a a M A +==+===-==-=∑∑∑∑ 其中，是原行列式划去第行和第列所成的行列式，称为行列位置上的余子式，

ij M i j i j 而则称为行列位置上的代数余子式。至于各个的计算，则继续按

(1)

i j

ij ij A M +=-i j ij M 照此递归定义计算下去。当然，必须说的是，如果单纯这样做，计算量也是相当之大的。不过，如果行列式中有大量零，可以考虑这种方法(没有零，就利用行列式性质弄出大量零)。以下举几个例子：

例4、。

438951276

解答：438

519195

951438423352853360

762627

276

=-+=⨯-⨯+⨯=例5、

。

3642015734562175

解答：

3642342362364

0157

135653467345

3456

275215217

2175

=⨯-+342

563635

356342317)4321141

752527

275

=⨯-⨯+⨯=⨯(--⨯+⨯=-362

623236

34625228125(6)14

463634

215

=⨯-+⨯=⨯-+⨯-=364

353434

345641611413317

272735

217

=-⨯+⨯-⨯=-⨯+⨯-=-这样，

3642

342362364

0157

1356534673451(41)5147(17)2303456

275215217

21

7

5

=⨯-+=⨯--⨯+⨯-=-三、利用初等变换求行列式

利用初等变换求行列式是最常用的行列式求法。以下简单举几个例子：

例6、

111

1120010301

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