3.1柱面、锥面和旋转曲面

3.1.2 锥面
1、锥面的概念
定义3.1.3 在空间通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生
成的曲面叫做锥面，这些直线都叫做锥面的母线，那个定点叫做
锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准线。
准线
母线
说明：锥面的准线不是惟一的， 和一切母线都相交的每一条曲线 都可以作为它的准线.
顶点
2、锥面的方程
1) 锥面的参数方程
P（2,0,1）
解法二： 如果将圆柱面
看成是动点到轴线等距离 点的轨迹，这里的距离就 是圆柱面的半径。
Q(1, 0 ,- 1 ）
例3.1.2 已知圆柱面过点P（2，0,1），轴为
x 1 y z 1, 1 1 1
求这个圆柱面的方程.
P（2,0,1）
点P(2,0,1) 到轴的距离为
PQ v
P（2,0,1）
解法一
Q(1, 0 ,- 1 ）
因为圆柱面的母线平行于其轴，
母线的方向数即为轴的方向数1,－2,－2.
如果能求出圆柱面的准线圆，那么再运用前面的解法， 问题也就解决了.
例3.1.2 已知圆柱面过点P（2，0,1），轴为
x 1 y z 1, 1 1 1
求这个圆柱面的方程.
x2 y2 z2 1 x y z 0
而母线的方向数为 (1，1，1)，求这柱面的方程。
2x2 2y2 2z2 2xz 2yz 2xy 3 0
例3.1.2 已知圆柱面过点P（2，0,1），轴为
x 1 y z 1, 1 1 1
求这个圆柱面的方程.
z tz1 y12
b2
,
1,

z1 h.
zh
O
y
故
x2 a2

y2 b2

z2 c2
0
x
注: 一般地，取坐标原点为锥顶, 准线在平行于 坐标平面的一张平面上, 譬如为
zf
(x, y) h

0,
则用上述方法得到方程
f

hx z
,
hy z


0,
它是去掉锥顶的锥面的方程. 如果 f (x, y) 是 n 次多项式, 则此方程可化为一个 n 次齐次方程
3)锥顶在原点，准线与坐标面平行的锥面
例3.1.4 锥面的顶点在原点，且准线为 面的方程。

x2 a2

zh
y2 b2
1
，求锥
解：在锥面上任取一点 P(x,y,z) ,过点P的母线与准线的
交点为（x1,y1,z1），于是
x tx1,
z

y ty1,



x12 a2
例3.1.3 已知圆锥面的顶点为 M0 (1,0,0) ,
轴垂直于平面 : x y z 1 0 ， 母线与轴成 30 角，试求这圆锥面的方程.
解法一：先求出准线方程（看成球面与平面 的交线。）
解法二： M0M ,v 或
cos M0M , v cos
x2 z2

4y2 25z 2
1.
25x2 4y2 25z2 = 0,
图像多了两条直线:
5zx02 y 0, 和 5zx02. y 0,
4、齐次函数与锥面
齐次函数： 设n>0, 如果函数F(x,y,z)满足
则称F(x,y,z)是一个n次齐次函数, F(x,y,z)=0称为n次齐次方程 定理3.2.1 设F(x,y,z)是一个齐次函数, 则由方程F(x,y,z)=0确 定的曲面是一个顶点在原点的锥面.
已知柱面的准线为 (u) x(u), y(u), z(u)
母线的方向平行于矢量 S X ,Y, Z
柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
x x(u) Xv
x
Y(u) vS
与

y

y(u) Yv
z z(u) Zv
式中的 u, v 为参数.
如果定直线为z轴，讨论此柱面的方程？
准线C方程
F ( x, y) 0,

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z

0.
柱面上任取一点P(x,y,z)
x
沿母线与xoy平面交点P(x,y,0)
P(x,y,0)在准线上，从而柱面上 任一点P的坐标均满足方程 F(x,y)=0.
柱面方程：F(x,y)=0
P(x,y,z) o P(x,y,0) y
的母线为
xx yy zz
1
1
1
1 0
1
且有
x12 y12 z12 1 2x12 2 y12 z12 2
（4） （5）
x x1 y y1 z z1
1 0
1
x12 y12 z12 1 （4） 2x12 2 y12 z12 2 （5）
1
1 1
x0 x z, y0 y z
(x z)2 ( y z)2 25为柱面方程。
练习 柱面的准线方程为
x2 y2 z2 1
2
x
2

2y2

z2

2
而母线的方向数是－1，0，1，求这柱面的方程.
解 设 M 1(x1, y1, z1) 是准线上的点，那么过 M 1(x1, y1, z1)
2） 柱面的一般方程
设柱面的准线的方程为
FF12((xx,,
y, y,
z) z)

0 0
母线的方向数为X，Y，Z.
（1）
如果M 1(x1, y1, z1)为准线上的任意点，
那么过点 M 1的母线方程为
x x1 y y1 z z1
X
Y
Z
（2）
0
M1
x
x x1 y y1 z z1
（1） 点M在准线上；
（2）
AM
与
AP共线,有
x1 x0

y1 z1

y0 z0
t(x x0 ), t( y y0 ), t(z z0 ),


F (x1, y1, z1) 0,
G(x1, y1, z1) 0.

M0
P
准线
M
从这个方程组中消去参数即可得到锥面的方程.
d

42
v
3
Q(1, 0 ,- 1 ）
练习 柱面的准线是xoy平面的圆周(中心在原点，
半径为5)，母线平行于直线 l : x y z ，求此
柱面方程.
解：设M( x, y, z)为柱面上任意一点
沿母线, M 对应准线上一点 M0 (x1, y1, 0)
M
则M0M // l
M0
x x1 y y1 z
所以
tz
（9）
（9）代入（7）或（8），
(x t)2 y2 (z t)2 1
（7）
2(x t)2 2 y2 (z t)2 2
即得所求得柱面方程为
（8）
(x z)2 y2 1
即
x2 y2 z2 2xz 1 0
3. 特殊柱面(母线平行于坐标轴) z
（其他类推） 从柱面方程看柱面的特征：
实 例
x2 a2

y2 b2
1
椭圆柱面，
母线// Z轴

x2 a2

z2 b2
1
双曲柱面 ， 母线// Y轴
y2 2 px 抛物柱面， 母线// Z 轴
椭圆柱面
z
x2 a2

y2 b2
1
母线// Z轴
o
y
x
双曲柱面
z
x2 z2 a2 b2 1
o
y
x
母线// Y轴
抛物柱面
z
y 2 2 px
o
母线// Z 轴
y x
例 下列方程各表示什么曲面？
(1)
x2 a2
z2 b2
1
（母线平行于Y轴的椭圆柱面）
(2) y2 z2 4
（母线平行于x轴的双曲柱面）
(3) x2 2x z 0（母线平行于y轴的抛物柱面）
注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。
面 2x 2y z 0的法向量,即 v (2,2,1)
•. • 根据圆锥面的特性,有
v
cos30 ,
v
2x 2y z
3
即
.
x 2 y 2 z2 22 (2)2 12 2
化简得圆锥面的方程为：
11x2 11y2 23z2 32xy 16xz 16yz 0.
z
M(x, y, z)
M1( x, y,0)
z


x2 2y
抛物柱面 o
y
o
x
x
平面
y
y x
抛物柱面方程：
x2 2y
平面方程：
y x
只含 x, y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0，在 空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱 面，其准线为 xoy 面上曲线 C :F ( x, y) 0.
已知锥面的准线为 r u xu, yu, z u ，顶点 A
决定的向径为 r0 x0, y0, z0 ，则锥面的向量式参数方程与
坐标式参数方程分别为
x vx u 1 v x0
r vr u 1 v r0
与

y

vy

u


1

因此原点在此曲面上
记由O和M确定的直线为L,
P在曲面上, 这说明直线L在曲面上
• 根据定理3.2.1,方程 x2 y2 z2 0 所确定的曲面
a2 b2 c2
是一个锥面,称为二次锥面.
要知道这个锥面的形状,只须确定它的一条准线就
行了。显然,用平面 z c 去截它,
z
就得到一条准线：
v
l
M
M 0 (1, 0, 0)
• 练习 已知圆锥面的顶点在原点,轴垂直于平面 2x 2y z 0, 母线与轴成30 角,求此圆锥面的方程.
• 解 设 P(x, y, z)是圆锥面上的任意一点,那么过点P的母线的方
向向量可取为 (x, y, z) .而圆锥的轴线的方向向量 v 就是平
第三章 二次曲面
§3.1 柱面、锥面和旋转面 §3.2 其它二次曲面 §3.3 二次直纹面 §3.4 二次曲面的分类 §3.5 曲面的相交
3.1.1 柱面
z
引例. 分析方程
表示怎样的曲面？
M
解:在 xoy 面上，
表示圆C,
C
o
M1
y
在圆C上任取一点M1(x, y,0) , 过此点作 x
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M (x, y, z)
的母线.
定方向
观察柱面的形成过程:
准 线
一般柱面
母线 准线
准线
注
1）柱面被它的准线和直母线方向完全确定． 2）柱面的准线不唯一． 3）准线不一定是平面曲线． 4）平面也是柱面，但是其母线方向不唯一．
建立曲面方程的两种方法: 一是看成点的轨迹， 二是看成曲线产生的.
2. 求柱面方程
1)参数方程
v

y0
，

z

vz

u


1

v

z0
u,v为参数
2)锥面的一般方程
F (x, y, z) 0,
• 设锥面的顶点是M0 (x0 , y0 , z0 ),准线方程为：G(x, y, z) 0.
在锥面上任取一点 P(x, y, z) ,过点P的母线与准线的交点为
M (x1, y1, z1) .由
zn f hx , hy 0, z z
注：图像多了锥顶. 也可能增加了一些别的点.
练习
解: 设P(x,y,z)为锥面上的一点，有
练习 设锥顶为原点, 准线的方程为
求锥面的方程.
x2 y2 1, 4 25 z 2
解: 去掉锥顶(原点)的锥面的方程为
有理化得

x a
2 2

y2 b2
1,
z c.
zc
这是平面上的一个椭圆
O
y
• 因此,这个锥面又常常被称为椭圆锥x 面.
3.1.3 旋转曲面
定义. 一条曲线C一条定直线旋转一周所形成 的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴 .
例如 :
1、旋转曲面的有关概念
l
的坐标也满足方程 x2 y2 R2
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆
柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间
x2 y2 R2 表示圆柱面.
1. 柱面的定义
定义3.1.1 平行于定直线并沿定曲线移动的 直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线叫
柱面的准线，
母线
动直线叫柱面
再设
xx yy zz
1
1
1 t
1 0
1
那么
x x t, y y, z z t
1
1
1
（6）代入（4）及（5）得：
(x t)2 y2 (z t)2 1
（6） （7）
2(x t)2 2 y2 (z t)2 2 （8）
以2乘（7）再减去（8），得 (z t)2 0
X
Y
Z
且有
F1(x1, y1, z1) 0,
（2） （3）
F 2(x1, y1, z1) 0
（4）
从(2)(3)(4)消去参数 x1, y1, z1 最后得一个三元方程 F (x , y , z ) 0
0
M1
x
这就是以（1）为准线，母线的方向数为X, Y, Z 的柱面方程.
例3.1.1 柱面的准线方程为