运筹学第1章 5线性规划的应用

设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数, 这样我们建立如下的数学模型。
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
线性规划在管理中的应用
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生产计划问题 人力资源配置问题 套裁下料问题 配料问题
一、生产计划问题（资源利用问题）
例1 :胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。 桌子售价50元/个，椅子销售价格30/个， 生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种 工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆 工2小时。生产一个椅子需要木工3小时， 油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为 120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如 何组织生产才能使每月的销售收入最大？
目标函数： Min
例2 某商场对一周内客流量进行统计分析，按 照服务定额得知一周中每天售货人员需求量 。若售 货员每周工作5天，休息2天，并要求休息时间是连 续的，商场应如何安排售货人数，才能够既满足工 作需要，又使配备的售货人员最少？
时间星期
日
一
二
三
四
五
六
wk.baidu.com
售货人数
28
15
24
25
19
31
28
设：x为星期i开始休息的人数，星期日记为x7，则每一天 工作的人数应为下一日开始休息的人员直至由下一日算起 的第5个工作日，亦即非当日、前天休息的人员总和。
设每月生产桌子X1个，椅子X2个。
max S= 50x1 + 30x2 s.t. 4x1 + 3x2 120 2x1 + x2 50 x1,x2 0
二、人力资源分配的问题
例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机 和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
1 1 0
2 2 0
3 0 2
4 1 2
5 0 1
1.5
3
1 7.3
0.1
2 7.2
0.2
0 7.1
0.3
3 6.6
0.8
用料 7.4
料头 0
设xi为按第i种方案下料的圆钢根数， 建立LP模型如下：
MinZ xi
i 1 5
1x1 2 x2 0 x3 1x4 0 x5 100 0 x 0 x 2 x 2 x 1x 100 1 2 3 4 5 s.t. 3x1 1x2 2 x3 0 x4 3x5 100 x1 , x2 ,, x5 0
步骤二、设xi表示按第ｉ种方案下料的棒料根 数（或板材块数）i=1,2,…,n，按照问题的要 求建立LP模型。
例1 某厂接受了一批加工定货， 客户要求加工100套钢架，每套由长 2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一根组 成。现在仅有一批长7.4米的圆钢原料， 问应如何下料，使所用的原料根数最 少？
最简单的处理方法：从一根圆钢原料 上截取2.9米、2.1米和1.5米各一根，正 好配成一套钢架，100套钢架总共需要 100根圆钢。每根圆钢剩下0.9米的料 头,100根圆钢总共剩90米料头。
——这是最好的办法吗？ 合理套裁肯定会有更好的效果。
先设计5种下料方案，思路如图。
7.4
方案 2.9 2.1
三、套裁下料问题
在加工业中，经常遇到这类问题。 问题的一般提法是：已知某种尺寸的棒 料或板材，需要将其切割成一定数量既 定规格的几种零件毛坯，问应如何选取 合理的下料方法，使得既满足对截出毛 坯的数量要求，又使所用的原材料最少 （或废料最少）？
解决这类问题一般有两个步骤：
步骤一、按照一定的思路设法列出所有的排 料方案（也称下料方案或排料图），当方案很 多，甚至无法一一列出时，通常应先确定一些 筛选原则，把明显不合理的方案删除，仅仅考 虑剩余的为数不太多的方案；
星期
日 一 二 三 日 一 二 三 四 五 六
x7
x7 x1
x1 x2
x2 x3
四
五 六
x3 x4
x4 x5
31
x6
28 15 24 25 19
x5 x6
28
人数
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 x2 x3 x4 x5 ≥ 28 x2 x3 x4 x5 x6 ≥ 15 x3 x4 x5 x6 x7 ≥ 24 x1 x4 x5 x6 x7 ≥ 25 x1 x2 x5 x6 x7 ≥ 19 x1 x2 x3 x6 x7 ≥ 31 x1 x2 x3 x4 x7 ≥ 28 x ≥ 0 i 1, 2,,7 i