第十一章相关分析
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第十一章
相关分析
一、相关概述
1、相关的概念
两个变量之间不精确、不稳定的变化
关系，称为相关关系。
两个变量之间的变化关系，既表现在
变化方向上，又表现在密切程度上。
两个变量之间的变化方向有：
正相关：两个变量的变化方向相同。
负相关：两个变量的变化方向相反。 零相关：两个变量的变化方向无一定规律。
切程度的统计指标称为相关系数，一般样本的
相关系数用r表示，总体的相关系数用ρ 表示。
相关系数的取值： -1≤ r ≤+1
0≤∣r∣≤1
相关系数的符号：“＋”表示正相关，
“－”表示负相关。
3、相关系数的性质
相关系数不是由相
等单位度量而来的，因
此只能比较大小，不能 做任何加、减、乘、除 运算。
r XY X Y / n
2 X X 2 2 Y Y 2
n
（ 18．2a ）
n
r
nXY X Y nX X nY Y
2 2 2 2
（ 18．2b ）
表18-2 10个学生初一与初二数学成绩积差相关系数计算表
主要包括斯皮尔曼（spearman）二列等级
相关和肯德尔和谐系数（the kandall
coefficient of concordance）多列等级相关。
１、斯皮尔曼等级相关的概念及适用条件
斯皮尔曼等级相关是等级相关的一种。它
适用于两个以等级次序表示的变量，并不要求
两个变量总体呈正态分布，也不要求样本的容
Y
n
2
51467 710 723/ 10 7102 7232 50520 52541 10 10
两种公式计算结果相同，
0.780
但以原始数据的计算公式更 为简捷和准确。
三．斯皮尔曼等级相关
等级相关（rank correlation）是指以等级
次序排列或以等级次序表示的变量之间的相关。
等级相关系数为什么会有差别？哪一个 更准确？
四．肯德尔和谐系数
肯德尔等级相关方法有许多种，肯德
尔和谐系数是其中一种。
肯德尔和谐系数常以rＷ表示，适用于
多列等级变量的资料。
肯德尔和谐系数可以反映多个等级变
量变化的一致性。
肯德尔和谐系数的计算公式
rW SSR 1 2 3 K n n 12
Ri
33 63 50 15 40 17
Ri2
1089 3969 2500 225 1600 289
62 3844 280 13516
表18-6
4位教师对6位学生作文竞赛的名次排列 学生 n=6 1 2 3 4 5 6 评价者 K=4
例：4位教师 对6位学生作文 竞赛的名次排列
1
3 4 2 6 1 5
积差相关系数为
X X Y Y S S X Y r n
或
X X Y Y r n S X SY
公式中： X 为变量X的平均数，
Y 为变量Y的平均数，
（ 18．1 ）
计算得到了相关系数，
百度文库
S X 为变量X的标准差，
评价者 K=10
1 3 6 5 1 4 2 7
2 5 6 4 1 3 2 7
3 2 7 5 1 4 3 6
4 3 6 7 2 4 1 5
5 4 7 6 2 3 1 5
6 4 5 6 2 3 1 7
7 3 7 4 2 5 1 6
8 2 7 4 1 6 3 5
9 4 6 5 1 3 2 7
10 3 6 4 2 5 1 7
p 和q分别是二分名义变量的两个值各自所占的比例，p+q=1 St 是连续变量的标准差
表19-1
五岁幼儿投掷砂袋成绩
性别 序号 成绩 性别
例19-1：18
序号
成绩
个五岁幼儿掷砂
1 2 3 4 5
4.0 3.6 3.5 3.2 4.4
1 2 2 2 1
10 11 12 13 14
3.4 4.9 3.7 3.3 4.7
11.1 0 9 0
2
Y Y
2
3 0
3.7 2.7
13.69 7.29
3
4 5 6 7 8 9 10 合计
72
68 76 73 67 70 54 74 710
71
70 76 79 65 77 62 72 723
1
-3 5 2 -4 -1 -6 3
-1.3
-2.3 3.7 6.7 -7.3 4.7 -10.3 -0.3
2
4 3 1 5 2 6
3
2 1 3 6 4 5
4
1 3 4 5 2 6
次序如表18-6。
问4位教师评定
的一致性程度如
何？
表18-7
4位教师对6位学生作文竞赛名次排列的 肯德尔和谐系数计算表 评价者 K=4 1 3 4 2 6 1 5 2 4 3 1 5 2 6 3 2 1 3 6 4 5 4 1 3 4 5 2 6
序号 X Y
X2
Y2
XY
1
74
76
5476
5776
5624
2
3 4 5 6 7 8 9 10 合计
71
72 68 76 73 67 70 54 74 710
75
71 70 76 79 65 77 62 72 723
8041
5184 4624 5776 5329 4489 4900 4225 5476 50520
有时一个变量并非真正的二分变量，而是双
峰分布的变量，也可以用点二列相关来表示。
点二列相关系数的计算公式为
X p Xq rpb pq St
或
（ 19．1 ）
X p Xt p rpb St q
（ 19．2 ）
公式中： X p 是与二分名义变量的一个值对应的连续变量的平均数
X q 是与二分名义变量的另一个值对应的连续变量的平均数
D2
1 1 1 1 1 1 1 4 1 1
13
6D 2 6 13 rR 1 1 0.9212 2 n(n 1) 10100 1
如果有相同等级时,可用它们所占
等级位置的平均数作为它们的等级。
表18-4 10个学生初一与初二数学成绩斯皮尔曼等级相关系数计算表
序号 1 2 3 4 5 6 7 X 74 71 72 68 76 73 67 Y 76 75 71 70 76 79 65 RX 2.5 6 5 8 1 4 9 RY 3.5 5 7 8 3.5 1 9 D=RX-RY -1.0 1 -2 0 -2.5 3 0
量必须大于30。
当连续数据不能满足计算积差相关的条件
时，可以转换成等级数据从而计算斯皮尔曼等
级相关系数。
2、斯皮尔曼等级相关系数的计算
斯皮尔曼等级相关系数表示为rR，其计算公式为：
6RXi RYi 6D 2 rR 1 1 nn 1 n(n 2 1)
2
（ 18．3 ）
二、积差相关
1、积差相关及其适用条件
积差相关是英国统计学家皮尔逊（pearson）
于20世纪初提出的一种计算相关的方法，因而
被称为皮尔逊积差相关,也称为积矩相关
（product moment correlation）。
积差相关适用于：两个变量都是连
续数据；两变量总体都为正态分布；两 变量之间为线性关系。
（ 18．5 ）
公式中：
m为相同等级的数目。
五、质与量的相关
一个变量为性质变量， 另一个变量为数量变量， 这样的两个变量之间的
相关称为质与量的相关。
1、点二列相关
适用条件
一个变量为正态、连续变量，另一个变量为
真正的二分名义变量，这两个变量之间的相关，
称为点二列相关（point-biserial correlation）。
2
110 3.317 10
2
Y Y SY n
2
268 5.178 10
2
再将数据代入公式计算积差相关系数:
X X Y Y 134 r 0.780 n S X SY 10 3.317 5.178
积差相关系数的原始数据计算公式
-1.3
6.9 18.5 13.4 29.2 -4.7 61.8 -0.9 134
1
9 25 4 16 1 36 9 110
1.69
5.29 13.69 44.89 53.29 22.09 106.09 0.09 268.10
计 算
先计算变量 X 和 Y 的标准差:
X X SX n
成对数据，样本容量要大。
2、积差相关条件的判断方法
连续变量：
根据得到数据的方式判断，测量数据。
正态分布
一般情况下，正常人群的身高、体重、智力水平、心理
与教育测验的结果，都可按总体正态分布对待；如果要求比 较高，则需要对数据进行正态性检验。 线性关系
根据相关散布图可判断两个变量之间是否线性关系。
2 1 2 2 1
袋（150克），
成绩如表19-1，
问性别与投掷成
绩的相关情况如
6
7
4.8
3.8
1
2
15
16
4.8
3.1
1
2
何？
8
9
5.2
4.7
1
1
17
18
2.9
学生 n=6 1 2 3 4 5 6 Σ
Ri
10 11 10 22 9 22 84
Ri2
100 121 100 484 81 484 1370
有相同等级时,需要用肯德尔和谐系数的
修正公式计算rW系数。
rW 1 2 3 K n n KT 12
m3 m T 12
SSR
（ 18．4 ）
公式中：ｒｗ表示肯德尔和谐系数 K表示等级评定者的数目，即变量数 n为被等级评定的对象的数目 R为被评定对象获得的K个等级之和 SSR为R的离差平方和，即
SSR
2 R i R 2 i
n
例
n= 7 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫 Σ
表18-5 肯德尔和谐系数计算表
从关系密切程度来看，两个变量的 变化程度可大致分为
完全相关：两个变量的变化程度完全一致。 强相关：两个变量变化的一致性比较强。 中等相关：两个变量变化的一致程度中等。 弱相关：两个变量变化的一致性比较差。 完全不相关：两个变量变化程度没有一致性。
2．相关系数
用来描述两个变量相互之间变化方向及密
5626
5041 4900 5776 6241 4225 5929 3844 5184 52541
5325
5112 4760 5776 5767 4355 5390 4030 5328 51467
代入公式计算:
r XY X Y / n X 2
X
n
2
Y 2
SY 为变量Y的标准差，
还不能确定这两个变量一
定具有相关关系，需要对 相关系数进行显著性检验 之后，才能做出判断。
n 为数据的对数
表18-1 10个学生初一与初二数学成绩积差相关系数计算表
序号 1 2 X 74 71 Y 76 75
X X Y Y
X X Y Y X X
公式中：RX为变量X的等级数， RY为变量Y的等级数， D为两变量的等级数之差，即D=RX-RY
n为样本的容量
表18-３ 10个高三学生学习潜在能力测验(X)与自学能力测验(Y)成绩 斯皮尔曼等级相关系数计算表
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 X 90 84 76 75 73 71 69 68 66 64 Y 2 1 4 5 6 7 8 3 10 9 ＲX 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ＲY 2 1 4 5 6 7 8 6 10 9 Ｄ=RX-RY -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 2 -1 1
图18-4
完全负相关
散点的分布没有明显集中在某一
方向的趋势，形成圆形区域时，两变
量之间的关系为零相关。
两个变量之 间是否相关，要 有充分的理论依 据，并排除共变 图18-5 零相关 因素的影响。
3、积差相关系数的计算公式
积差相关系数的定义公式
协方差
X X Y Y COV n
D2
1 1 4 0 6.25 9 0
8 9
10 合计
70 54
74 710
77 62
72 723
7 10
2.5
2 10
6
5 0
-3.5
25 0
12.25 58.5
计 算
6D 2 6 58.5 rR 1 1 0.645 2 n(n 1) 10100 1
思考:同一组数据的积差相关系数和
散点的分布形状为椭圆形，可认为两变 量之间具有线性关系。
图18-1 正相关
图18-2
负相关
当所有的点都分布在一条直线上时，
两变量之间的关系为完全相关。
16 B 15 14 13 12 11 10 10 12 14 A 16
70 C 68 66 64 62 10 12 14 A 16
图18-3
完全正相关
相关分析
一、相关概述
1、相关的概念
两个变量之间不精确、不稳定的变化
关系，称为相关关系。
两个变量之间的变化关系，既表现在
变化方向上，又表现在密切程度上。
两个变量之间的变化方向有：
正相关：两个变量的变化方向相同。
负相关：两个变量的变化方向相反。 零相关：两个变量的变化方向无一定规律。
切程度的统计指标称为相关系数，一般样本的
相关系数用r表示，总体的相关系数用ρ 表示。
相关系数的取值： -1≤ r ≤+1
0≤∣r∣≤1
相关系数的符号：“＋”表示正相关，
“－”表示负相关。
3、相关系数的性质
相关系数不是由相
等单位度量而来的，因
此只能比较大小，不能 做任何加、减、乘、除 运算。
r XY X Y / n
2 X X 2 2 Y Y 2
n
（ 18．2a ）
n
r
nXY X Y nX X nY Y
2 2 2 2
（ 18．2b ）
表18-2 10个学生初一与初二数学成绩积差相关系数计算表
主要包括斯皮尔曼（spearman）二列等级
相关和肯德尔和谐系数（the kandall
coefficient of concordance）多列等级相关。
１、斯皮尔曼等级相关的概念及适用条件
斯皮尔曼等级相关是等级相关的一种。它
适用于两个以等级次序表示的变量，并不要求
两个变量总体呈正态分布，也不要求样本的容
Y
n
2
51467 710 723/ 10 7102 7232 50520 52541 10 10
两种公式计算结果相同，
0.780
但以原始数据的计算公式更 为简捷和准确。
三．斯皮尔曼等级相关
等级相关（rank correlation）是指以等级
次序排列或以等级次序表示的变量之间的相关。
等级相关系数为什么会有差别？哪一个 更准确？
四．肯德尔和谐系数
肯德尔等级相关方法有许多种，肯德
尔和谐系数是其中一种。
肯德尔和谐系数常以rＷ表示，适用于
多列等级变量的资料。
肯德尔和谐系数可以反映多个等级变
量变化的一致性。
肯德尔和谐系数的计算公式
rW SSR 1 2 3 K n n 12
Ri
33 63 50 15 40 17
Ri2
1089 3969 2500 225 1600 289
62 3844 280 13516
表18-6
4位教师对6位学生作文竞赛的名次排列 学生 n=6 1 2 3 4 5 6 评价者 K=4
例：4位教师 对6位学生作文 竞赛的名次排列
1
3 4 2 6 1 5
积差相关系数为
X X Y Y S S X Y r n
或
X X Y Y r n S X SY
公式中： X 为变量X的平均数，
Y 为变量Y的平均数，
（ 18．1 ）
计算得到了相关系数，
百度文库
S X 为变量X的标准差，
评价者 K=10
1 3 6 5 1 4 2 7
2 5 6 4 1 3 2 7
3 2 7 5 1 4 3 6
4 3 6 7 2 4 1 5
5 4 7 6 2 3 1 5
6 4 5 6 2 3 1 7
7 3 7 4 2 5 1 6
8 2 7 4 1 6 3 5
9 4 6 5 1 3 2 7
10 3 6 4 2 5 1 7
p 和q分别是二分名义变量的两个值各自所占的比例，p+q=1 St 是连续变量的标准差
表19-1
五岁幼儿投掷砂袋成绩
性别 序号 成绩 性别
例19-1：18
序号
成绩
个五岁幼儿掷砂
1 2 3 4 5
4.0 3.6 3.5 3.2 4.4
1 2 2 2 1
10 11 12 13 14
3.4 4.9 3.7 3.3 4.7
11.1 0 9 0
2
Y Y
2
3 0
3.7 2.7
13.69 7.29
3
4 5 6 7 8 9 10 合计
72
68 76 73 67 70 54 74 710
71
70 76 79 65 77 62 72 723
1
-3 5 2 -4 -1 -6 3
-1.3
-2.3 3.7 6.7 -7.3 4.7 -10.3 -0.3
2
4 3 1 5 2 6
3
2 1 3 6 4 5
4
1 3 4 5 2 6
次序如表18-6。
问4位教师评定
的一致性程度如
何？
表18-7
4位教师对6位学生作文竞赛名次排列的 肯德尔和谐系数计算表 评价者 K=4 1 3 4 2 6 1 5 2 4 3 1 5 2 6 3 2 1 3 6 4 5 4 1 3 4 5 2 6
序号 X Y
X2
Y2
XY
1
74
76
5476
5776
5624
2
3 4 5 6 7 8 9 10 合计
71
72 68 76 73 67 70 54 74 710
75
71 70 76 79 65 77 62 72 723
8041
5184 4624 5776 5329 4489 4900 4225 5476 50520
有时一个变量并非真正的二分变量，而是双
峰分布的变量，也可以用点二列相关来表示。
点二列相关系数的计算公式为
X p Xq rpb pq St
或
（ 19．1 ）
X p Xt p rpb St q
（ 19．2 ）
公式中： X p 是与二分名义变量的一个值对应的连续变量的平均数
X q 是与二分名义变量的另一个值对应的连续变量的平均数
D2
1 1 1 1 1 1 1 4 1 1
13
6D 2 6 13 rR 1 1 0.9212 2 n(n 1) 10100 1
如果有相同等级时,可用它们所占
等级位置的平均数作为它们的等级。
表18-4 10个学生初一与初二数学成绩斯皮尔曼等级相关系数计算表
序号 1 2 3 4 5 6 7 X 74 71 72 68 76 73 67 Y 76 75 71 70 76 79 65 RX 2.5 6 5 8 1 4 9 RY 3.5 5 7 8 3.5 1 9 D=RX-RY -1.0 1 -2 0 -2.5 3 0
量必须大于30。
当连续数据不能满足计算积差相关的条件
时，可以转换成等级数据从而计算斯皮尔曼等
级相关系数。
2、斯皮尔曼等级相关系数的计算
斯皮尔曼等级相关系数表示为rR，其计算公式为：
6RXi RYi 6D 2 rR 1 1 nn 1 n(n 2 1)
2
（ 18．3 ）
二、积差相关
1、积差相关及其适用条件
积差相关是英国统计学家皮尔逊（pearson）
于20世纪初提出的一种计算相关的方法，因而
被称为皮尔逊积差相关,也称为积矩相关
（product moment correlation）。
积差相关适用于：两个变量都是连
续数据；两变量总体都为正态分布；两 变量之间为线性关系。
（ 18．5 ）
公式中：
m为相同等级的数目。
五、质与量的相关
一个变量为性质变量， 另一个变量为数量变量， 这样的两个变量之间的
相关称为质与量的相关。
1、点二列相关
适用条件
一个变量为正态、连续变量，另一个变量为
真正的二分名义变量，这两个变量之间的相关，
称为点二列相关（point-biserial correlation）。
2
110 3.317 10
2
Y Y SY n
2
268 5.178 10
2
再将数据代入公式计算积差相关系数:
X X Y Y 134 r 0.780 n S X SY 10 3.317 5.178
积差相关系数的原始数据计算公式
-1.3
6.9 18.5 13.4 29.2 -4.7 61.8 -0.9 134
1
9 25 4 16 1 36 9 110
1.69
5.29 13.69 44.89 53.29 22.09 106.09 0.09 268.10
计 算
先计算变量 X 和 Y 的标准差:
X X SX n
成对数据，样本容量要大。
2、积差相关条件的判断方法
连续变量：
根据得到数据的方式判断，测量数据。
正态分布
一般情况下，正常人群的身高、体重、智力水平、心理
与教育测验的结果，都可按总体正态分布对待；如果要求比 较高，则需要对数据进行正态性检验。 线性关系
根据相关散布图可判断两个变量之间是否线性关系。
2 1 2 2 1
袋（150克），
成绩如表19-1，
问性别与投掷成
绩的相关情况如
6
7
4.8
3.8
1
2
15
16
4.8
3.1
1
2
何？
8
9
5.2
4.7
1
1
17
18
2.9
学生 n=6 1 2 3 4 5 6 Σ
Ri
10 11 10 22 9 22 84
Ri2
100 121 100 484 81 484 1370
有相同等级时,需要用肯德尔和谐系数的
修正公式计算rW系数。
rW 1 2 3 K n n KT 12
m3 m T 12
SSR
（ 18．4 ）
公式中：ｒｗ表示肯德尔和谐系数 K表示等级评定者的数目，即变量数 n为被等级评定的对象的数目 R为被评定对象获得的K个等级之和 SSR为R的离差平方和，即
SSR
2 R i R 2 i
n
例
n= 7 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫 Σ
表18-5 肯德尔和谐系数计算表
从关系密切程度来看，两个变量的 变化程度可大致分为
完全相关：两个变量的变化程度完全一致。 强相关：两个变量变化的一致性比较强。 中等相关：两个变量变化的一致程度中等。 弱相关：两个变量变化的一致性比较差。 完全不相关：两个变量变化程度没有一致性。
2．相关系数
用来描述两个变量相互之间变化方向及密
5626
5041 4900 5776 6241 4225 5929 3844 5184 52541
5325
5112 4760 5776 5767 4355 5390 4030 5328 51467
代入公式计算:
r XY X Y / n X 2
X
n
2
Y 2
SY 为变量Y的标准差，
还不能确定这两个变量一
定具有相关关系，需要对 相关系数进行显著性检验 之后，才能做出判断。
n 为数据的对数
表18-1 10个学生初一与初二数学成绩积差相关系数计算表
序号 1 2 X 74 71 Y 76 75
X X Y Y
X X Y Y X X
公式中：RX为变量X的等级数， RY为变量Y的等级数， D为两变量的等级数之差，即D=RX-RY
n为样本的容量
表18-３ 10个高三学生学习潜在能力测验(X)与自学能力测验(Y)成绩 斯皮尔曼等级相关系数计算表
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计 X 90 84 76 75 73 71 69 68 66 64 Y 2 1 4 5 6 7 8 3 10 9 ＲX 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ＲY 2 1 4 5 6 7 8 6 10 9 Ｄ=RX-RY -1 1 -1 -1 -1 -1 -1 2 -1 1
图18-4
完全负相关
散点的分布没有明显集中在某一
方向的趋势，形成圆形区域时，两变
量之间的关系为零相关。
两个变量之 间是否相关，要 有充分的理论依 据，并排除共变 图18-5 零相关 因素的影响。
3、积差相关系数的计算公式
积差相关系数的定义公式
协方差
X X Y Y COV n
D2
1 1 4 0 6.25 9 0
8 9
10 合计
70 54
74 710
77 62
72 723
7 10
2.5
2 10
6
5 0
-3.5
25 0
12.25 58.5
计 算
6D 2 6 58.5 rR 1 1 0.645 2 n(n 1) 10100 1
思考:同一组数据的积差相关系数和
散点的分布形状为椭圆形，可认为两变 量之间具有线性关系。
图18-1 正相关
图18-2
负相关
当所有的点都分布在一条直线上时，
两变量之间的关系为完全相关。
16 B 15 14 13 12 11 10 10 12 14 A 16
70 C 68 66 64 62 10 12 14 A 16
图18-3
完全正相关