激光束的传输规律

激光束的传输规律

王佳威

北京工业大学 应用数理学院 000611班

指导教师：俞宽新

摘要 从激光器输出的光束称为高斯光束，它有许多与其它光束，如平面波、球面波不同的特点，研究其传输规律，特别是通过透镜时的变化规律，将为激光束的聚焦和准直技术打下良好基础。 关键词 激光束，传输，q 参数

一、激光束的基本性质

使用稳定的球面腔的激光器所发出的基模激光将以高斯光束的形式在空间传播。本部分主要研究高斯光束的传输规律, 并研究简单透镜系统对高斯光束的变换。这些都是激光原理与实际应用中经常遇到的具有实际意义的问题。无论是方形镜共焦腔还是圆形镜共焦腔,他们所激发的基模行波场都是一样的,由于其横向振幅分布为高斯函数, 所以称之为基模高斯光束, 或简称为高斯光束。射Z 坐标原点在光束的腰处, w0为高斯光束的腰斑半径,ƒ为产生高斯光束的共焦腔焦参数。高斯光束的解析表达式如下:

()22221202()()0,,()x y x x y i k z tg R z f w z w E x y z E e e w z −⎧⎫⎡⎤+⎪⎪+−+−⎢⎥⎨⎬−⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩=⎭ （1） 式中,R(z),w(z)分别表示z 坐标处高斯光束的等相位面曲率半径及等相位面上的光斑半径。

1、光斑半径

高斯光束在任意z 坐标处,其横向振幅分布为高斯分布,光斑半径随z 坐标而变,在z=0处,w(0)=w0为腰斑半径。

2、等相位面分布

沿高斯光束轴线每一点处的等相位面都可以视为球面,曲率半径也随z

坐标而变,即:

()w z w w == 在z = 0及z =∞处, R(0)与R(∞)都为∞,

表明在高斯光束腰处及无穷远处的等相位

面都是平面。在z 的绝对值为ƒ处,R(ƒ)的

绝对值为2ƒ,这是等相位面曲率半径数值

的极小值。当z >0时,R(z)>0,等相位面凸

向z 轴正方向。当z <0时,R(z)<0,等相位

面凸向z 轴负方向。图1中画出了五个位

于z >0范围内的等相位面及其曲率中心的

位置示意图。其中面1在z =0处,中心则

在z = -∞处;面2在0 2ƒ,古中心在z<-ƒ内;面3在z =ƒ处,因R(z)= 2ƒ,故中心在z =-ƒ处;面4在z >ƒ范围内,因有z

处。

图1 高斯光束的等相为曲面 3、激光束的特征参数

为了描述高斯光束,需要用一些特征参数。这些参数具有这样的性质,一旦参数的数值给定,高斯光束的结构及位置也就确定。下面介绍三组不同的特征参数。

第一组为腰斑w0与腰的位置,从上面的内容不难看出,只要给定腰斑半径W0,整个光束的结构就随之确定,如与腰相距z 距离处的光斑半径、等相位面曲率半径、该处相对于腰的相位滞后以及整个光束的发散角等都可以确定。所以, 用w0加上腰位置可以作为一组高斯光束的特征参数。

另外,任意坐标z 处的光斑半径w(z)及等相面曲率半径R(z)也可作为高斯光束的特征参数。 最后用w(z)与R(z)可以定义一个新的参数,我们称之为q 参数,一旦给定q 参数,w(z)与R(z)便可确定。因此,用q 参数也可作为高斯光束的特征参数。我们可以得到q 参数的一个重要结论,即腰处的q 参数为:

2

00(0)w q q i if π===λ （3）

用q 参数表示高斯光束的解析表达式，可写为：

()1222()00,,()x f x y i kz tg ik q z w E x y z E e e w z −⎛⎞⎛⎞⎜⎟+−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝=⎠ （4） 上述三组特征参数各具特点，使用时，要根据实际问题的需要灵活选择。

二、激光束的传输规律

用q 参数来描述高斯光束的,我们可以证明它通过自由空间L 距离和通过焦距为F 的薄透镜时,其传输规律可统一写为:

121()()()A R z B R z C R z D

+=+ （5） 其中为光学系统的光学变换矩阵。先来看高斯光束通过自由空间L 距 AB CD ⎛⎞⎜⎝⎠

⎟

离。将条件代入q 参数定义式,经计算后,可以得到:

0()q z q z =+ z q z z z q z L =+−=+ （6） q0为腰处(z=0)的q 参数。设想一下高斯光束沿z 轴传播, 从z1坐标经L 距离到达z2坐标, 则q 参数的传输规律为:

q 21211()()()() （7） 式中 q1(z)=q(z1)为z1处的q 参数，q2(z)=q(z2)为z2处的q 参数。

来看看高斯光束通过焦距为F 的薄透镜式的情况。图2所示为激光束通过透镜时的变换，M1

为高斯光束入射到透镜表面上时的等相位面,它

是个球面,曲率半径为R1。通过透镜后,它被变成

另一球面的等相位面M2而出射。M2的曲率半径为

R2。R1、R2与透镜焦距F

的关系是:

图2 透镜对激光束的变换 21111R R F

=− （8） 由于透镜很薄, 所以可以认为, 在挨近透镜两侧的等相位面M1与M2上的光斑大小及光强分布都

应该一样。以w1及w2分别表示M1和M2上的光斑半径, 则有:

（9） 1w w =2过了透镜后, 得到的是另一个具有球面形状的等相位面, 并在等相面上为高斯型强度分布的光波。这样, 在透镜像方继续传输的光束仍为高斯光束。用q1(z)表示入射光束在透镜表面处的q 参数, q2(z)为出射光束在透镜表面处的q 参数。利用上面两个公式, 我们有: 22222111111111()i i q R w R F w q z F

ππλλ⎛⎞=−=−−=−⎜⎟⎝⎠ （10）

从公式中可见, 高斯光束的q 参数传输规律与普通球面波的R 参数传输规律完全一样, 故q 参数也遵行ABCD 规律。这一规律的优点是, 只要知道了光学系统的变换矩阵, 就可以求出通过光学系统以后的高斯光束q 参数, 并且可求出光束的光斑大小及等相位面曲率半径。

参考文献

（1）激光原理与技术，俞宽新，北京工业大学出版社，1998年3月

（2）激光原理，周炳琨，国防工业出版社，2004年8月

（3）激光原理，陈钰清，浙江大学出版社，1992年5月

（4）激光原理基础，王喜山，山东科学技术出版社 1979年12月

（5）激光技术，蓝信钜，科学出版社，2000年8月