空间向量及其运算

2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》
空间向量及其运算
1．空间向量的有关概念
名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b
相反向量 方向相反且模相等的向量
a 的相反向量为－a
共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量
a ∥
b 共面向量 平行于同一个平面的向量
2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理
空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量． (3)空间向量基本定理
如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π
2，则称a 与b 互相垂直，
记作a ⊥b . ②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．
(2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).
向量表示 坐标表示 数量积 a·b
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0
模 |a |
a 21＋a 22＋a 2
3
夹角
〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)
cos 〈a ，b 〉＝
a 1
b 1＋a 2b 2＋a 3b 3
a 21＋a 22＋a 23·
b 21＋b 22＋b 2
3
概念方法微思考
1．共线向量与共面向量相同吗？
提示 不相同．平行于同一平面的向量就为共面向量． 2．零向量能作为基向量吗？
提示 不能．由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量．
3．空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？
提示 无关．这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( × ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( × )
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )
(5)若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →
＝0.( √ ) (6)若a·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( × ) 题组二 教材改编。