§251一维无限深方势阱

同样，联立（2.5.6）--（2.5.7）式，解 出 , ，再由（2.5.4）可给出能谱。
（2.5.5）--（2.5.7）都是超越方程，可用图解 法求出能谱。
2.5一维方势阱
在 平面 中分别就 （2.5.5）与 （2.5.6）式作 相应的曲线， 曲线的交点表 示具有偶宇称 是相应的能谱。 如右图。
k tg ka 2 k 2 .5 .3
引入

ka 2
;

k a 2
2 .5 .4
2.5一维方势阱
可将（2.5.3）是改写为
tg
2 .5 .5
另外，又（2.5.1）和（2.5.2）有可得

2 2
a
2
(k k )
2 2
mU 0a 2
2
2
2 .5 .6
2.5一维方势阱
粒子的最低能量状态称为基态，就是n 1 的状态，基态能量为
E1

2
2 2
0
8m a
此本征值能量称为零点能，是束缚在无限深方 势阱内粒子所具有的最低能量。
2.5一维方势阱
归一化以后的波函数为：
n 1 s in (x a) 2a a 0 x a x a


2
2
时，曲线才有交点，
2m
才出现奇宇称态解。
2.5一维方势阱
显然，一维无限深势阱的结果可作为一维方 势阱的特例得出。 当U
0
0
时，可得
n h
2 2 2
En
8m a
2
n 1, 2, 3,
这正是阱宽为 a 的一维无限深势阱 的能谱公式。

3
tg
tg
2

2
1

2
2
4
2
1
1 /2 2
3
4 3 / 2

由以上图可见，对于偶宇称态，由于曲线 tg 2 经过原点，因此无论 U 0 a 多么小，两条曲线总有交点， 这意味着至少有一个束缚态，且相应的宇称为偶。
2.5一维方势阱

4
联立（2.5.5）--（2.5.6）式，解出 , 再由（2.5.4）可给出能谱。
，
2.5一维方势阱
二、在 x a / 2 区，取 ( x ) sin kx ，解取有奇宇称 的情况 同样，利用波函数对数微商在x a / 2 连续条 件得：
ctg
2 .5 .7
2.5一维方势阱
解是：
A 0, B 0, cos a 0, sin a 0, n 2a n 2a , ( n是 偶 数 ) , ( n是 奇 数 )
E
n 4
E 4 1 6 E1
带入（2.5.1）得体系的能级：
En n
2 2 2
n3
n2

n
我们把粒子只能束缚在空间的有限区域，在 无穷远处波函数为零的状态称为 束缚态
2.5一维方势阱
§2.5.2一维有限深方势阱 求解势场 U ( x ) 为
0 U (x) U 0 x a/2 x > a/2
-a/2
U (x)
U0
0
0
a/2
x
的薛定谔方程。
讨论 E U 0 的情况：在 程是： 2
在x
a/2
区，薛定谔方程是：
k 0
2
d
2
dx k
2
x a/2 2 .5 .2
2mE /
2
2.5一维方势阱
其解为 A sin kx B co s kx
一、在 x a / 2 区，取 ( x ) cos kx ，解取有偶宇称 的情况 利用 x a / 2 处波函数对数微商的连续条件都可得
2.5一维方势阱
本节将以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。 了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔 方程的自然结果。
Hale Waihona Puke Baidu
§2.5.1一维无限深方势阱
已知粒子所处的势场为：

U0(x)

0 U 0 (x)
x a x a
x = -a
0 x=a
x
粒子在势阱内势能为零。在阱外势能为无穷大，在阱壁上 受极大的斥力, 称为一维无限深方势阱。
E 3 9 E1
E 2 4 E1
E1
8m a
2
n 1, 2, 3,
n 1

2
2 2
2ma
O
a
x
2.5一维方势阱
显然，一维无限深方势阱的能谱是分立谱，这个分 离的能谱就是量子化了的能级。
E4
n 4
E3
E2
E1
x0
n 3
n 2
n (x)
xa
n 1
x 0
xa
n (x)
2
2.5一维方势阱
由图可以看出，在不同能级上粒子出现的 概率密度是不同的。在基态，粒子出现的概 率在阱区中部为最大，而越靠近阱壁概率越 小，阱壁上概率为零。在激发态，粒子在阱 内出现的概率是起伏变化的，随着量子数 n 的增大，起伏变化越来频繁。
而在经典物理中，粒子在阱内各处出现的 概率是相等的。 由图可以推断，只有当量子数 n 很大时，粒 子在阱内各处的概率才趋于均匀。
d dx
2
x a / 2 区，相应的薛定谔方
k 0
2
x a/2
2
k
2 m (U 0 E ) /
2 .5 .1
2.5一维方势阱
在x 时， 有界的解是：
Aek x (x) k x Be

x a/2 x a / 2
2.5一维方势阱
其定态薛定谔方程为：

2
d
2 2
E U 0 ( x ) E
x a x a
2m dx
2
d
2 2
2m dx
0
当U 时，根据波函数的连续性和有限性 条件得： 0 x a 令：
2mE
2
2 .5 .1
同样，作 （2.5.6）和 3 （2.5.7）式相 应曲线，他们 2 的交点表示波 函数其宇称时 1 相应的能谱。 所得结果见右 图。
mU 0a 2
2 2
ctg
1
/2 2
3

4

由以上图可见，对于奇宇称态，当且仅当 2 2
/4
2
时，即当 U 0 a
2
2.5一维方势阱
则薛定谔方程可简写为：
d
2
dx
2
0
2
x a
它的解是：
x A sin x B co s x x a
0
利用边界条件
xa
0
及
xa
，得
A sin a B co s a 0 A sin a B co s a 0