帕累托最优实现条件

三、帕累托最优状态的实现条件
（一）.交换的帕累托最优条件
这里我们开始讨论达到帕累托最优状态所必须满足的条件。

这些条件被称为帕累托最优状态条件。

它包括交换的最优条件、生产的最优条件以及交换和生产的最优条件。

我们先从交换的最优条件开始讨论。

首先还是考虑两种既定数量的产品在两个消费者之间的分配问题，然而再将所得的结论推广到一般情况。

假定两种产品分别为X 和Y ，其既定数量为X 和Y 。

两个消费者分别为A 和B 。

下面我们用埃奇沃思框图来分析这两种产品在两个消费者之间分配。

如图10－1所示，框图的
水平长度表示经济中第一种X 的数量X ，框图的垂直高度表示第二种产品Y 的数量Y 。

A O 为第一个消费者A 的原点，
B O 为第二个消费者B 的原点。

从A O 水平向右代表消费者A 对第一种商品X 的消费量A X ，垂直向上表示消费者A 对第二种商品Y 的消费量A Y ；从B O 水平向左代表消费者B 对第一种商品X 的消费量B X ，垂直向下表示消费者B 对第二种商品Y 的消费量B X 。

·g
c C O B O A X A Y A III B a
I A II A III A b d e
II B I B
Y B C X B
图4-10 交换的帕累托最优
现在考虑框图中的任意一点，如a 点。

a 点对应于消费者A 的消费量),(A A Y X 和消费者B 的消费),(B B Y X 。

这样，下式（10.9）成立：
X X X B A =+； Y Y Y B A =+ (10.9)
也就是说，框图中的任意一点确定了一套数量，表示每一个消费者对每一种商品的消费，而且满足（10.9）式。

因此，框图确定了两种商品在两个消费者之间的所有可能的分配情况。

特别是，在框图的垂直边上的任意一点，表明某个消费者不消费X 商品，框图的水平边上的任意一点，表明某个消费者不消费Y 商品。

现在我们要讨论的是，在埃奇沃思框图中的全部可能的产品分配状态之中，哪一些符合帕累托最优状态呢？为了分析这一问题，需要在埃奇沃思框图中加入消费者偏好的信息，即加入每个消费者的无差异曲线。

由于A O 是消费者A 的原点，故A 的无差异曲线向A O 点凸出。

图中是消费者A 的三条代表性无差异曲线。

其中，A III 为较高的效用水平，而A I 代表较低的效用水平。

一般来说，从A O 点向右移动，标志着消费者A 的效用水平增加。

另一方面，由于B O 是消费者B 的原点，故B 的无差异曲线向B O 点凸出。

图中，B I 、B II 、B III 是消费者B 的三条代表性无差异曲线。

其中， B III 代表较高的效用水平，而B I 代表较低的效用水平。

一般来说，从B O 向左移动，标志着消费者B 的效用水平增加。

现在，从框图中任选一点表示两种商品在两个消费者之间的一个初始分配。

例如，选择一点a 。

由于假定效用函数是连续的，故点a 必然处于消费者A 的某条无差异曲线上，同时也处于消费者B 的某条无差异曲线上，即消费者A 和B 分别有一条无差异曲线经过a 点。

因此，这两条无差异曲线可能在a 点相切或相交。

假如两条无差异曲线在a 点相交（如图10—1所示），点a 是无差异曲线B A I II 和的交点）。

容易看出，a 点不可能是帕累托最优状态。

这是因为，通过改变初始分配状态，例如从a 点变动到b 点，则消费者A 的效用水平从无差异曲线A II 提高到A III ，而消费者B 的效用水平未发生变化，仍然留存无差异曲线B I 上。

因此，在点a 仍然存在帕累托改进的余地。

由此得到结论：在交换的埃奇沃思框图中，任意一点，如果它处在消费者A 和B 的两条无差异曲线的交点上，则它就不是帕累托最优
状态，因为在这种情况下，总存在帕累托改进的余地，即总可以改变该状态，使至少有一个人的状况变好而没有人的善变坏。

另一方面，如果假定初始的产品分配处于两条无差异曲线的切点，如c 点，由容易看出，此时不存在任何帕累托改进的余地，即它们均为帕累托最优状态。

改变c 点状态只有如下几种可能：向右上方移到消费者A 较高的无差异曲线上，则A 的效用水平提高了，但消费者B 的效用水平却下降了；向左下方移到消费者B 的较高的无差异曲线上，则B 的效用水平提高了，但消费者A 的效用水平却下降了；剩下来的唯一一种可能则是消费者A 和B 的效用水平都降低。

例如，从c 点移到g 点或f 点，都属于此种情况。

由此可得结论：在交换的埃奇沃思框图中，任意一点，如果它处在消费者A 和B 的两条无差异曲线的切点上，则它就是帕累托最优状态，并称为交换的帕累托最优状态。

在这种情况下，不存在有帕累托改进的余地，即任何改变都不可能使至少一个人的状况变好而没有人的状况变坏。

如果把所有无差异曲线的切点的轨迹连接起来构成C C '，称为交易的契约曲线。

交易的契约曲线上的任何一点都是消费者A 和B 各自相应的无差异曲线的相切点，通过这一点的切线的斜率，便是双方相应的无差异曲线的边际替代率。

从上面的分析可知，在交易契约曲线之外的任何一点，交易双方的无差异曲线的边际替代率均不相等，因此，交易双方没有达到帕累托最优状态，这时，继续进行交易，可以改善双方的境况，增加双方的福利，直到契约曲线之上，交易双方的无差异曲线的边际替代率相等，双方满足达到最大化，交易达到帕累托最优状态。

由此可知，如果要使两种商品X 和Y 在两个消费者A 和B 之间的分配达到帕累托最优状态，则对于这两个消费者来说，这两种商品的边际替代率必须相等，这就是交换的帕累托最优状态的实现条件。

如果设对于消
费者A 和B 来说，X 代替Y 的边际替代率分别用A XY MRS 和B XY MRS 来表示，则交换的帕累
托最优状态条件的公式就是：
B XY A XY MRS MRS ＝ (10.10) 如果把两个消费者交易的帕累托最优条件推广到几个消费者时，就可以得到更一般的结论：在一个经济中交易的帕累托最优条件是，任何两种商品之间的边际替代率对于两个使用该两种商品的消费者来说是相等的，此时，所有消费者的满足均达到最大化。

由交易的契约曲线可以得到效用可能性曲线。

如图10－2所示：
B ’
U B
U B 1
U B 2
U B 3
U A
U A 3 U A 2 U A 1 O P 1 P 2 P 3 图10-2 交换的契约曲线图
图10－2中是把图10－1中的契约曲线转换到A 、B 两个消费者的效用水平的平面坐标中。

图横轴表示消费者A 的效用水平，纵轴表示消费者B 的效用水平。

B B '为效用可能性曲线，它是由契约曲线转换而来的。

因此，B B '曲线上的各点都与图10－1中契约曲线上的各点相对应。

效用可能性曲线表示在X 与Y 两种商品的数量为一定条件下，A 、B 两个消费者所能获得的最大效用水平的各种组合。

效用可能性曲线上的各点都是帕累托最优效率点。

而效用可能性曲线以内的各点都不是帕累托最优效率点。

（二）.生产的帕累托最优条件
分析生产的帕累托最优条件的方法与分析交换的帕累托最优条件的方法相似，仍采用埃奇沃思框图来分析。

假定经济社会由两个生产者A 和B 组成，他们使用两种生产要素：
劳动（L ）和资本（K ），生产两种产品X 和Y ，这两种生产要素的数量假定固定不变。

在此情况下，两种商品的等产量曲线如图10－3。

L X L Y
I I I Y L Y I I Y K X O X I I X I X I I I X
I Y
K Y （）A （B ） 图10－3
图10－3表示两种生产要素用于生产两种产品的情况，A 图中的X I 、X II 、X III 是X
产品的三条代表性等产量曲线；B 图中的Y I 、
Y II Y III 是产品Y 的三条代表性的等产量曲线。

现将：图10－3（B ）旋转0180并与（A ）图啮合，便得到框图10－4，这种框图同样称为埃奇沃思框图。

O y O X X
L X
III y D
I x II x III x P 3 P 2 P 1
II y I y L Y L X L Y 图10—4 生产的帕累托最优 在图10－4中，产品X 的等产量曲线X I 、X II 、X III 分别与产品Y 的等产量： 曲线Y III 、
Y II 、Y I 相切于1P 、2P 、3P 点，把这些切点连接起来，便得到C C '曲线，这条C C '曲线，称为生产契约曲线。

现在假定生产是在完全竞争条件下进行。

如果资源配置不在生产契约曲线上，而在契约曲线以外的任何一点，例如D 点上，则虽然生产资源已经耗尽，但并没有达到生产的最优条件，没有做到最有效率的生产。

此时，只要生产者改变资源配置，便可提高生产效率。

例如，生产者将D 点移至1P 点，则可以在不减少X 的产量（X I ）的前提下，将Y 的产量由Y II 增加到Y III 。

或者将D 点移至2P 点，则可以在不减少Y 的产量（Y II ）的情况下，使X 的产量由X I 增至X II 。

因此，最有效率的生产，应该在两条等产量曲线的切点上。

生产契约曲线上所有的点都是两条等产量曲线的切点，因而是生产有效率点的轨迹，所以生产契约曲线是既定数量的生产资源在最有效率地利用时所能生产的不同产品的最大产量的组合。

西方经济学认为，生产的帕累托最优条件，对于用来生产两种产品的两种生产资源来说，就是它们的每一组合的边际技术替代率相等。

如前所述，边际技术替代率是指保持产量水平不变时，两种生产要素的边际产量之比。

只要两个生产者的两种生产要素投入量的边际替代率不相等，就可以进行投入量的替代，这样就能增加一种产品的产量而不减少另一种产品的产量，甚至两种产品的产量同时增加。

只有当两个生产者的每一组生产资源投入边际技术替代率相等时，这种替代才会停止，这时便达到最有效率的生产，实现了帕累托最优条件。

由生产契约曲线可以得到生产可能性曲线，如图10－5所示。

B ’
Y I y
II y
III y
X III x
II x I x O P 1 P 2 P 3 B
图10-5 生产契约曲线图
从图10－5的纵轴和横轴可以看出，生产契约曲线上的任何一点，可以表示在一种保持特定产量时另一种产品的产量达到最大的生产要素的组合；而如果从等产量曲线看，生产契约曲线上的任何一点又可以表示在一种产品保持特定产量时另一种产品产量达到最大的产品产量的组合。

现将图10－4的生产契约曲线从要素数量的平面坐标转换到图10－5的产品数量的平面坐标，就可以得到生产可能性曲线B B '。

生产可能性曲线B B '上的每一点都与生产契约曲线C C '上的每一点对应。

如前所述，生产可能性曲线是表示在既定的技术水平下，经济系统中既定资源能够生产的两种商品的最大数量的各种组合。

生产可能性曲线上的任何一点都是帕累托最优状态。

生产可能性曲线涉及到两种产品的转换问题，因此又称为产品转换线。

与此相关的一个概念是边际转换率。

边际产品转换率是指在资源数量和技术水平既定条件下，增加一单位某种商品的生产时所必需放弃的另一种产品的生产数量。

边际产品转换率可以简写MRT 。

它的定义公式为：
X Y MRT ∆∆-=或者dY dX MRT =
因此，边际产品转换率就是生产可能性曲线斜率的绝对值。

由于经济中资源总量是既定的，或者说当一种产品的产量增加，另一种产品的产量相应减少时，经济中的资源总量并不发生变化，因此有：
Y X MC Y MC X ⋅∆=⋅∆
Y X MC MC X Y =∆∆-
所以，边际产品转换率就是两种产品的边际成本之比，即
Y X MC MC X Y MRT =∆∆-
= (10.12)
由于在完全竞争条件下，商品的边际成本等于商品的价格，因此：
Y X Y X P P MC MC MRT ==
(10.13)
由此可得出这样一个结论：在商品价格既定条件下，边际产品转换率等于两种商品的价格之比，所以，生产可能性曲线任何一点的斜率的绝对值都等于两种商品的价格之比。

（三）.生产与交换的帕累托最优条件
以上我们分别介绍了交换的最优条件和生产的最优条件。

概括起来说，就是，如果交换达到了这样一种状态，在这种状态下，产品的任何新的的交易都会至少降低一个人的满足水平时，这种状态就是交换的帕累托最优状态。

从经济效率上讲，这种交换是最有效率的。

与此相应，如果生产要素的组合达到了这样一种状态，在这种状态下，生产要素的任何一种重新组合都会至少使一种产品的产量下降时，这种状态就是生产的帕累托最优状态。

从经济效率上讲，这种生产是最有效率的。

交换的帕累托最优条件是产品的边际替代率相等，而生产的帕累托最优条件是生产要素的边际技术替代率相等。

当整个社会的交换的最优条件和生产的最优条件同时得到满足时，那么，整个社会就达到帕累托最优状态，就达到社会福利最大化。

因此，社会福利最大化，要求生产和交换同时达到帕累托最优状态，也就是说，任何两种商品对消费者的边际替代率必须等于这两种商品的边际转换率，即
XY XY MRT MRS = 这个条件要求在资源一定条件下，生产出使消费者获得最大满足的产品，要求被生产出来的产品的数量组合相等。

这就需要把生产可能性曲线与无差异曲线结合起来进行分析。

如图10－6所示。

Y I I 23
1y 1
图10－6中，横轴代表X 商品的数量，纵轴代表Y 商品的数量，曲线B B '为生产可能
性曲线（产品转换线）。

1I 、2I 、3I 为无差异曲线，同时，'2I 、'3I 以及B B '也为无差异曲
线，因为Y E X O 就是一个埃奇沃思框图。

从图10-6可以看出，在资源既定条件下，只有切点的两种产品的边际替代率等于这两种产品的边际转换率。

此时，两种产品的数量组合既实现了生产最有效率，又满足了消费者最大化的需求，从而使生产和交易同时达到帕累托最优状态，而其他任何一点，产品边际替代率与边际产品转换率不相等，即XY XY MRT MRS ≠，便无法使生产和交换同时达到帕累托最优状态，例如D 点，MRS ＞MRT ，所以，D 虽然在生产可能性曲线上实现了生产效率最优化，但此点的两种产品X 和Y 的数量组合，只使消费者获得了较低的满足水平（无差异曲线2I ）。

在这种情况下，应重新调整资源配置，改变两种产品的数量组合，即增加X 商品的数量，相应减少Y 商品的数量，以X 商品替代Y 商品。

随着X 商品数量的增加和Y 商品数量的减少，MRS 逐步缩小，MRT 逐渐增大，当达到E 点，生产可能性曲线与无差异曲线2I 相切，MRS ＝MRT ，此时，生产效率和消费满足均达到最大化，生产和交换同时达到帕累托最优状态。

因此，社会无差异曲线与生产可能性曲线（或社会转换曲线）相切之点，是实现社会福利最大化的均衡点。

四、完全竞争与帕累托最优状态的实现
前面我们分别介绍了交换、生产以及交换和生产帕累托最优条件，将它们综合起来，便可以得到一个经济社会实现帕累托最优的三个必要条件。

1、交换的帕累托最优条件：任何两种产品的边际替代率对所有的消费者都相等。

用公式表示即是：
A XY MRS ＝B
XY MRS (10.13)
式中，X 和Y 是任意两种产品，A 和B 是任意两个消费者。

2、生产的帕累托最优条件：任何两种生产要素的边际技术替代率对所有生产者都相等。

用公式表示即是：
C LK MTS ＝
D LK MTS (10.14) 式中，L 和K 是任意两种生产要素，C 和D 是任意两个生产者。

3.生产和交换的帕累托最优条件：任何两种产品的边际替代率等于它们的边际转换率。

用公式表示即是：
XY MRS ＝XY MRT (10.16)
其中，X 和Y 是任意两种产品。

当上述三个边际条件均得到满足时，称整个社会经济达到了帕累托最优状态。

我们现在来分析在完全竞争条件下，帕累托最优状态是如何来实现的。

我们知道，完全竞争经济在一些假定条件下存在着一般均衡状态，即存在一组价格，使得所有商品的需求和供给都恰好相等。

设这一组均衡价格为X P ，Y P ，···L P ，K P ，···。

其中，X P ，Y P ···分别表示商品X ，Y ···均衡价格；L P ，K P ，···分别表示要素L ，K ···的价格。

在完全竞争条件下，每个消费者和生产者均是价格的接受者，它们将在既定的价格水平下来追求和实
现自己的效用最大化和利润最大化。

也就是说，均衡价格体系 ,,,,,K L Y X P P P
P 对所有消费者和生产者均是相同的。

首先来看消费者的情况。

任意一个消费者例如A 在完全竞争经
济中的效用最大化条件是对该消费者来说，任意两种商品的边际替代率等于这两种商品的价格比率，即有：
Y X A XY P P MRS = 同样地，其他消费者如B 在完全竞争重要任务下（改：在完全竞争经济中）的效用最大化亦是对消费者B 而言，任意两种商品的边际替代率等于两种商品的价格比率，即：
Y X B XY P P MRS = 将以上两式进行整理可得：
B XY A XY MRS MRS = (10.16) 这就是交换的帕累托最优条件（10.16）。

因此，在完全竞争条件下，产品的均衡价格实现了交换的帕累托最优状态。

其次，再来看生产者的情况。

在完全竞争经济中，任意一个生产者例如C 的利润最大化条件之一是对该生产者来说，任意两种要素的边际技术替代率等于这两种要素的价格比率，即有：
K L C LK P P MTS = 同样地，其它生产者如D 在完全竞争条件下的利润最大化条件是对生产者D 而言，任意两种要素的边际技术替代率等于这两种生产要素的价格比率，即：
K L D LK P P MTS =
将两式进行整理可得：
D LK C LK MTS MTS = (10.17) 这就是生产的帕累托最优条件的公式表达式。

因此，在完全竞争经济中，要素的均衡价格实现了生产的帕累托最优状态。

最后，我们来看生产者和消费者综合在一起的情况。

从前面我们知道，生产和交换的帕累托最优条件是产品的边际转换率必须等于产品的边际替代率。

根据边际产品转换率的定义，边际产品转换率的计算是：
X Y
MRT XY ∆∆= 它表示增加X ∆就必须减少Y ∆，或者，增加Y ∆就必须减少X ∆。

因此，Y ∆可以看做是X 的边际成本（机会成本）；另一方面，X ∆也可以看做是Y 的边际成本。

如果用X MC 和Y MC 分别代表产品X 和Y 的边际成本，则X 产品对Y 产品的边际转换率可以定义为两种产品的边际成本的比率：
Y X XY MC MC X Y MRT =∆∆=
在完全竞争条件下，生产者利润最大化的条件是产品的价格（边际收益）等于其边际成本，于是有： X X MC P = Y Y MC P =
即有：Y X
Y
X P P MC MC = (10.18) 再由消费者效用最大化条件：
Y X
XY P P MRS =
即得：
XY
Y
X
XY
MRS
P
P
MRT=
=
(10.19)
其中，XY
MRS表示每一个消费者的共同的边际替代率。

（10.19）式即是生产和交换的帕累托最优条件。

因此，在完全竞争经济中，产品的均衡价格实现了生产和交换的帕累托最优状态。