帕累托最优实现条件

三、帕累托最优状态的实现条件

（一）.交换的帕累托最优条件

这里我们开始讨论达到帕累托最优状态所必须满足的条件。这些条件被称为帕累托最优状态条件。它包括交换的最优条件、生产的最优条件以及交换和生产的最优条件。我们先从交换的最优条件开始讨论。首先还是考虑两种既定数量的产品在两个消费者之间的分配问题，然而再将所得的结论推广到一般情况。

假定两种产品分别为X 和Y ，其既定数量为X 和Y 。两个消费者分别为A 和B 。下面我们用埃奇沃思框图来分析这两种产品在两个消费者之间分配。如图10－1所示，框图的

水平长度表示经济中第一种X 的数量X ，框图的垂直高度表示第二种产品Y 的数量Y 。

A O 为第一个消费者A 的原点，

B O 为第二个消费者B 的原点。从A O 水平向右代表消费者A 对第一种商品X 的消费量A X ，垂直向上表示消费者A 对第二种商品Y 的消费量A Y ；从B O 水平向左代表消费者B 对第一种商品X 的消费量B X ，垂直向下表示消费者B 对第二种商品Y 的消费量B X 。

·g

c C O B O A X A Y A III B a

I A II A III A b d e

II B I B

Y B C X B

图4-10 交换的帕累托最优

现在考虑框图中的任意一点，如a 点。a 点对应于消费者A 的消费量),(A A Y X 和消费者B 的消费),(B B Y X 。这样，下式（10.9）成立：

X X X B A =+； Y Y Y B A =+ (10.9)

也就是说，框图中的任意一点确定了一套数量，表示每一个消费者对每一种商品的消费，而且满足（10.9）式。因此，框图确定了两种商品在两个消费者之间的所有可能的分配情况。特别是，在框图的垂直边上的任意一点，表明某个消费者不消费X 商品，框图的水平边上的任意一点，表明某个消费者不消费Y 商品。

现在我们要讨论的是，在埃奇沃思框图中的全部可能的产品分配状态之中，哪一些符合帕累托最优状态呢？为了分析这一问题，需要在埃奇沃思框图中加入消费者偏好的信息，即加入每个消费者的无差异曲线。由于A O 是消费者A 的原点，故A 的无差异曲线向A O 点凸出。图中是消费者A 的三条代表性无差异曲线。其中，A III 为较高的效用水平，而A I 代表较低的效用水平。一般来说，从A O 点向右移动，标志着消费者A 的效用水平增加。另一方面，由于B O 是消费者B 的原点，故B 的无差异曲线向B O 点凸出。图中，B I 、B II 、B III 是消费者B 的三条代表性无差异曲线。其中， B III 代表较高的效用水平，而B I 代表较低的效用水平。一般来说，从B O 向左移动，标志着消费者B 的效用水平增加。

现在，从框图中任选一点表示两种商品在两个消费者之间的一个初始分配。例如，选择一点a 。由于假定效用函数是连续的，故点a 必然处于消费者A 的某条无差异曲线上，同时也处于消费者B 的某条无差异曲线上，即消费者A 和B 分别有一条无差异曲线经过a 点。因此，这两条无差异曲线可能在a 点相切或相交。假如两条无差异曲线在a 点相交（如图10—1所示），点a 是无差异曲线B A I II 和的交点）。容易看出，a 点不可能是帕累托最优状态。这是因为，通过改变初始分配状态，例如从a 点变动到b 点，则消费者A 的效用水平从无差异曲线A II 提高到A III ，而消费者B 的效用水平未发生变化，仍然留存无差异曲线B I 上。因此，在点a 仍然存在帕累托改进的余地。由此得到结论：在交换的埃奇沃思框图中，任意一点，如果它处在消费者A 和B 的两条无差异曲线的交点上，则它就不是帕累托最优

状态，因为在这种情况下，总存在帕累托改进的余地，即总可以改变该状态，使至少有一个人的状况变好而没有人的善变坏。

另一方面，如果假定初始的产品分配处于两条无差异曲线的切点，如c 点，由容易看出，此时不存在任何帕累托改进的余地，即它们均为帕累托最优状态。改变c 点状态只有如下几种可能：向右上方移到消费者A 较高的无差异曲线上，则A 的效用水平提高了，但消费者B 的效用水平却下降了；向左下方移到消费者B 的较高的无差异曲线上，则B 的效用水平提高了，但消费者A 的效用水平却下降了；剩下来的唯一一种可能则是消费者A 和B 的效用水平都降低。例如，从c 点移到g 点或f 点，都属于此种情况。由此可得结论：在交换的埃奇沃思框图中，任意一点，如果它处在消费者A 和B 的两条无差异曲线的切点上，则它就是帕累托最优状态，并称为交换的帕累托最优状态。在这种情况下，不存在有帕累托改进的余地，即任何改变都不可能使至少一个人的状况变好而没有人的状况变坏。

如果把所有无差异曲线的切点的轨迹连接起来构成C C '，称为交易的契约曲线。交易的契约曲线上的任何一点都是消费者A 和B 各自相应的无差异曲线的相切点，通过这一点的切线的斜率，便是双方相应的无差异曲线的边际替代率。

从上面的分析可知，在交易契约曲线之外的任何一点，交易双方的无差异曲线的边际替代率均不相等，因此，交易双方没有达到帕累托最优状态，这时，继续进行交易，可以改善双方的境况，增加双方的福利，直到契约曲线之上，交易双方的无差异曲线的边际替代率相等，双方满足达到最大化，交易达到帕累托最优状态。由此可知，如果要使两种商品X 和Y 在两个消费者A 和B 之间的分配达到帕累托最优状态，则对于这两个消费者来说，这两种商品的边际替代率必须相等，这就是交换的帕累托最优状态的实现条件。如果设对于消

费者A 和B 来说，X 代替Y 的边际替代率分别用A XY MRS 和B XY MRS 来表示，则交换的帕累

托最优状态条件的公式就是：

B XY A XY MRS MRS ＝ (10.10) 如果把两个消费者交易的帕累托最优条件推广到几个消费者时，就可以得到更一般的结论：在一个经济中交易的帕累托最优条件是，任何两种商品之间的边际替代率对于两个使用该两种商品的消费者来说是相等的，此时，所有消费者的满足均达到最大化。

由交易的契约曲线可以得到效用可能性曲线。如图10－2所示：

B ’

U B

U B 1

U B 2

U B 3

U A

U A 3 U A 2 U A 1 O P 1 P 2 P 3 图10-2 交换的契约曲线图

图10－2中是把图10－1中的契约曲线转换到A 、B 两个消费者的效用水平的平面坐标中。图横轴表示消费者A 的效用水平，纵轴表示消费者B 的效用水平。B B '为效用可能性曲线，它是由契约曲线转换而来的。因此，B B '曲线上的各点都与图10－1中契约曲线上的各点相对应。

效用可能性曲线表示在X 与Y 两种商品的数量为一定条件下，A 、B 两个消费者所能获得的最大效用水平的各种组合。效用可能性曲线上的各点都是帕累托最优效率点。而效用可能性曲线以内的各点都不是帕累托最优效率点。

（二）.生产的帕累托最优条件

分析生产的帕累托最优条件的方法与分析交换的帕累托最优条件的方法相似，仍采用埃奇沃思框图来分析。假定经济社会由两个生产者A 和B 组成，他们使用两种生产要素：