第一节 函数的概念及表示方法

典例解析
【例1】 下列四组函数中，与y＝x表示同一函数的是( C )
A．y＝ x2
x
B．y＝ x2
C．y＝ 3 x3
D．y＝
2
x
【解析】 A中函数的定义域为{x|x≠0}；D中函数 的定义域为{x|x≥0}；均与y＝x的定义域不同；B中函 数y＝ x2 ＝|x|与y＝x的对应法则不同，故选C.
知识梳理
(6)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为_{_x_|_x>__0_}_． (7)函数y＝[f(x)]0的定义域为_{_x_|_f(_x_)≠_0_}__． (8)如果函数由一些基本函数通过有限次四则运算结合而 成的，那么其定义域为这些基本函数定义域的__交__集___．书 写函数定义域时，要写成集合或__区__间___的形式．
的定义域为__{_x_|g_(_x_)≠_0_}__．
(3)函数y＝ 2n f (x) (n∈N＋)的定义域为__{_x_|f_(x_)_≥_0_}__．
(4)函数y＝ 2n1 f (x) (n∈N＋)的定义域为_____R______．
(5)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的定义域为______R_____．
【提示】 ∵－4≤－1且x≤－1时，f(x)＝x2－1，
∴f(－4)＝(－4)2－1＝15.
【提示】 由题意得f(－1)＝2－1＝ 1 ，∴f[f(－1)]＝
f
1 2
1 2
+1=
3. 2
2
【思路点拨】 分段函数要注意分段求解，从里到 外层层求解．
【例4】
典例解析
已知f(x)＝
x2 1, 3x, x
x 0, 0,
则f[f(－2)]＝___－__9___.
【解析】 因为f(－2)＝(－2)2－1＝3，所 以f[f(－2)]＝f(3)＝－3×3＝－9.
典例解析
___1【_(52_)举_已_一_知. 反函三数4f(】x)＝已2x知x, 1x函,x数0,0f(,x则)＝f[f(－x2x12,)1x],＝x_1_,1_,_32则__f_(_－. 4)＝
思维导图
第一节 函数的概念及表示方法
知识梳理
1．函数的概念 (1)函数的定义 设集合A是一个非空_实__数__集，按照某种确定的对应法则f 对A中任意的实数x，都有__唯__一__确__定___的实数值y与它对应， 则称这种对应法则为集合A上的一个函数，记作__y＝__f_(_x_) _，其 中x为__自__变__量__，y为_因__变__量___． (2)函数的定义域：自变量x的取值集合A叫做函数的 _定__义__域___． (3)函数的值域：因变量y的取值集合叫做函数的__值__域___． (4)函数的两要素：_定__义__域__和_对__应__法__则__是函数的两要素． 函数的两要素是判断两个函数是否是相同函数的理论依据，
第三章 函数
分析解读
本章内容是贯穿整个中职学段数学的主线，是春季高考 的重点内容、必考内容．选择题、填空题和解答题都会出 现，一般占12%左右．内容包括函数定义及其表示方法，分 段函数的有关概念及应用，函数的奇偶性、单调性的定义 及图象特征，二次函数的概念、性质及其图象特征，其中 二次函数常与不等式、解析几何、数列等知识点结合考查， 难度中等，复习时应加强练习．
只要_定__义__域___和_对__应__法__则__相同，则函数表示相同的函数．
知识梳理
2．函数的表示方法 函数的表示方法有__解__析__法__，__列__表__法__，__图__象__法__. 3．常见函数的定义域 (1)整式函数y＝f(x)的定义域为____R____．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)分式函数y＝
f (x) g(x)
【提示】 ∵f(x)＝x2＋x，∴f(x＋1)＝(x＋1)2＋(x＋1) ＝x2＋3x＋2，故选D.
(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋1，则f(3)＝( C )
A．8
B．10
C．16
D．32
【提示】 ∵f(x)＝x2＋2x＋1，∴f(3)＝32＋2×3＋1 ＝16，故选C.
【思路点拨】 掌握代入法，会根据已知函数y＝ f(x)的解析式，求函数y＝f(ax＋b)的解析式．
【举一反三2】 A．(－4，－1)
典例解析
(1)函数y＝ x 1 1
x
B．(－4，1)
的定义域为( A )
C．(－1，1)
D．(－1，1]
【提示】 要使函数有意义，则应满足x＋1≥0且 x≠0，解得x≥－1且x≠0，故选A.
典例解析
(2)下列函数中，与函数f(x)＝ 1
x
有相同定义域的是(
C
)
A．f(x)＝ x
B．f(x)＝ 1
2x
C．f(x)＝2lgx
D．f(x)＝lgx2
【提示】 函数f(x)＝ 1 的定义域为(0，＋∞)，而A中 函数定义域为(－∞，0]；Bx 中，D中函数定义域均为(－∞， 0)∪(0，＋∞)，只有C中函数定义域为(0，＋∞)，故选C.
【思路点拨】 求函数定义域是高考重点考查的 知识点，即求使函数有意义的自变量x的取值集合．
典例解析
【例3】 已知函数f(x)＝x2，则f(t－1)＝__t2_－__2_t＋__1__.
【解析】 令x＝t－1，则f(t－1)＝(t－1)2＝ t2－2t＋1.
典例解析
【举一反三3】 (1)已知函数f(x)＝x2＋x，则f(x＋1)等于
( D) A．－x2＋2x B．x2＋3x
C．x2－3x D．x2＋3x＋2
典例解析
【举一反三1】 下列四组函数中，表示同一函数的
是( C )
A．y＝1与y＝ x
x
C．y＝|x|与y＝ x2
B．y＝2lgx与y＝lgx2 D．y＝x与y＝ x2
【提示】 A中，B中两函数的定义域不同；D中 两函数的对应法则不同；而C中两函数的定义域和 对应法则都相同，故选C.
【思路点拨】 本题重点考查函数的两要素， 定义域和对应法则．只有定义域和对应法则都相 同的两个函数才是同一函数，否则，两个函数就 不是同一函数．
典例解析
【例2】 (2018年山东春季高考)函数f(x)＝ 的定义域是( D )
A．(－1，＋∞) B．(－1，1)∪(1，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)
x 1 x x 1
【解析】 由题意可知，要使得函数有意义， 则须满足x＋1≥0且x－1≠0，即x≥－1且x≠1，故选D.