初中七年级数学课件 研究性活动 镶嵌

1、什么是平面镶嵌？ 2、你能只用一种多边形（如正三角形，正四边形，正六边形） 拼成一个地面吗？（用自制的正三角形，正方形，正六边形纸片 进行实验） 3、你能只用一种正五边形拼成一个地面吗？（用自制的正五边 形进行实验） 4、为什么正五边形拼不成地面？而用正三角形可以？可以拼成 一个地面条件是什么？ 5、试用数学知识推导，只用一种正多边形进行平面镶嵌，有几 种方法？ 6、任意的三角形，任意的四边形均可镶嵌成一个地面吗？
而三角形的内角为180度， 两个180度为360度，任意四 边形的内角和为360度，所 以三角形，四边形均可镶
嵌成平面。
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只用一种正多边形进行镶嵌，只有（6，6， 6）；（4，4，4，4）；（3，3，3，3，3， 3）三种情形。那么，如果用两种正边形进行 镶嵌，又有几种情况呢？请尝试
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如果让你设计几种地板图案要解决如下问题：
问题1：如果限于用一种正多边形镶嵌，哪 几种正多边形能镶嵌成一个平面？
问题2 ：如果允许用几种正多边形组合起来 镶嵌（讨论顶点与顶点重合的情况），由哪几种 正多边形组合起来能镶嵌成一个平面？
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阅读课本，思考下列问题，并用纸片进行拼图试验
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整体设计说明：
网络搭台，数学唱戏 应用建构主义理论，教师创建 一个镶嵌专题 网站+BBS，创造一个网络环境下的自主学 习环境，利用powerpoint,nteopschool等软 件，让学生在做中学，学中做，强调网络环 境下的学生自主学习策略及其自我监控，并 探讨在这种环境下，教师如何进行有效的教 学过程控制。
1）试用正三角形与正方形进行平面镶嵌， （先用纸片进行实验，再理论解释）
2）试用正三角形与正六边形进行平面镶嵌， 先理论探讨有几种情况，再用纸片进行拼图
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设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正
方形的角，则记作（3，3，3，4，4）
60m
90n
360
m 3 n 2
注意：同一个组合会有 不同的镶嵌效果
探究性活动 “ 镶嵌”
观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？
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观察以下图案，说明它们都是由哪些几何图形组成？
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镶嵌：用形状相同或不同的平面封闭图形把一块地既无 缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌。多 边形的镶嵌有两类情况：（1）有些图案中的多边形的 顶点在另一个多边形的边上。（2）有些镶嵌中的多边 形顶点不落在另一个多边形的边上。即项点与顶点重合， 边与边重合。我们在初中仅探讨第二种情况。
①
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②
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设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正 六边形的角，则记作（3，3，3，6）；（3， 3，6，6）
60m
120n
360
Leabharlann Baidu
m 4 n 1
,
m 2 n 2
（3，3，3，6）见第三页
（3，3，6，6）见第四页
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(1)、正多边形的顶点在另一个正多边形的边上
记作（3，3，3）(4， 4，4，4)
图形见第五页
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(1)、正多边形的顶点在另一个正多边形的边上
60° 60°
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90° 第四页 第五页
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图例
的正 平八 面边 镶形 嵌与
正 方 形
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正十二边形与正三 角形的平面镶嵌
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如果一个正多边形的顶点在另一个多边形的边上，要 满足何种条件，才可镶嵌成一个平面呢？
因为正多边形的内角和为 (n 2)180 ，一条边上有 k个内角，由于这些内角和为 n 180度，有
k (n 2)180 180 (n 2)(k 1) 2 n
n 3 n 4 k 3 k 4
60° 60°
90°
顶点与顶点重合的情形
图案
①
②
注意：同一个组合会有不同的镶嵌效果
图案（Ⅰ）
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图案（Ⅱ）
60 °
60 °
每个顶点处正六边形1个，正三角形4个.
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1、如果用正三角形与正十二边形，如何镶嵌？ 2、如果用正四边形与正八边形，如何镶嵌？ 3、如果用三个正多边形，又有几种情况呢？Page2－3 4、如果一个正多边形的顶点在另一个多边形的边上，要 满足何种条件呢，才可镶嵌成一个平面呢？Page4－5 相关答案请见第一至第六页。
正十二边形与正方形、 正五边形的平面镶嵌
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资料1：用正多边形进行平面镶嵌只有以下这17组解。 有书记载说明这17组解是1924年一个叫波尔亚的人给 出的。实际上早在此之前，西班牙阿尔汉布拉宫的装饰 已经一个不少地制出了这些图样，真是令人叹为观止。
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资料2：石子路镶嵌图案最多的图林 在北京故官御花园内，有许多颜色不同的细石子砌成的各种 美丽图案的花石子路，据统计全园花石子路上的图案约有 900幅，可以说是中国拥有石子路镶嵌图案最多的图林了。 这些石子路图案的组成，是把全园作为一个整体来考虑设计 的，因此显得极为统一协调。但是每幅图案又有它的独立的 面貌，内容各异，图案的内容有人物、风景、花卉、博古等， 种类繁多。其中的“颐和春色”、“关黄对刀”、“鹤鹿同 春”等图案，造型优美，动态活泼、构图别致，色彩分明， 沿路观赏，美不胜收。
仅用正多边形进行镶嵌，要嵌成一个平面，必须要求
在公共顶点上所有内角和为360度。令正多边形的边数为n,
个数为m,则有
(n 2)180 m 360 n
2m 2m m2
n3
2m 3 m 6 m2
m 6 m 4 m 3 ∴解得 n 3 n 4 n 6
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（1） 正三角形的平面镶嵌
60° 60° 60°
60° 60°
60°
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（2） 正方形的平面镶嵌
90°
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（3） 正六边形的平面镶嵌
注：n指边数，k指 同一顶点的正多边 形个数。
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因为正五边形的内角 不能组成360°的角， 而正三角形的内角能 组成360°的角。