材料力学 第二章 杆件的拉伸与压缩

F
F
变形假设：两平行的斜截面在杆件发生拉（压）变形后 仍相互平行。 推论：两平行的斜截面之间所有纵向线段伸长变形相 同。 即斜截面上各点处总应力相等。
15
2.3 横截面及斜截面上的应力
k
F A F
A
k
F
k k
p F
F F F cos p A / cos A A
0 cos
2
杆件的拉伸与压缩
1
2
杆件的拉伸与压缩
2.1 轴向拉伸和压缩的概念 2.2 用截面法计算拉压杆的内力 2.3 横截面及斜截面上的应力
2.4 虎克定律 2.5 拉压杆的应变能
2.6 材料在拉伸与压缩时的力学性质 2.7 强度条件与截面设计的基本概念 2.8 拉、压超静定问题
2
目录
2.1 轴向拉伸和压缩的概念

F
FN d A A
A
等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式

FN A
13
拉应力为正，压应力为负。
2.3 横截面及斜截面上的应力
3.斜截面上的应力
F
k
F
k
F
k k
F
由静力平衡得斜截面上的内力：
F F
p F
F
k k
p ?
14
2.3 横截面及斜截面上的应力
杆件在受到轴向压力作用时，杆件内部产生压缩内力。
4
2.2 用截面法计算拉（压）杆的内力
2. 用截面法求轴力
步骤： （1）截 （2）取 （3）代 （4）平
(d) (a) (b) (c)
F
m m
F
F
F FN
m m m
m
x
FN
x m m
F
F
x
0
FN F 0 FN F
5
2.2 用截面法计算拉（压）杆的内力
轴向拉伸或轴向压缩（Axial Tension）
A
B FB
F
FA
F
F
F
在一对方向相反、作用线与杆轴重合的外力作用下， 杆件将发生长度的改变。
3
2.2 用截面法计算拉（压）杆的内力 1. 拉压杆内力的概念
内力——由于物体受外力作用而引起的其内部各点发生 相互移动，从而引起相邻部分间力图恢复原有形状而产 生的相互作用力。 杆件在受到轴向拉力作用时，杆件内任何截面处截面两 侧相连部分之间产生相互作用力，这就是杆件的拉伸内 力，它保证截面两侧部分不被分开。
L 5.65 A
35
2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质
2. 低碳钢在拉伸时的力学性能
拉伸图：
36
2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质
为了消除掉试件尺寸的影响，将试件拉伸图转变为材料的应 力—应变曲线图。
图中：
P A
Dl l
l — 原始标距
— 线应变
37
2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质
29
2.4 虎克定律
关键步骤——如何确定杆系变形后结点A的位置？
B C
1
2 1 2 A' A 2 A''
AΒιβλιοθήκη BaiduA'
A1 此位置既应该符合两杆 间的约束条件，又满足 两杆的变形量要求。
30
2.4 虎克定律
1
2 A' A 2 A''
由变形图即确定结点A 的位移。由几何关系得
A1
A A1 A A2 A A cos cos
3. 轴力图
若用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直 于杆轴线的坐标表示横截面上轴力的数值，所绘出的图线 可以表明轴力与截面位置的关系，称为轴力图。

注意：
1.用截面法求内力的过程中，在截面取分离体前，作用 于物体上的外力（荷载）不能任意移动或用静力等效的相当 力系替代。 2.截面不能刚好截在外力作用点处，因为在外力作用点 处轴力发生突变，其值是一个不定值。
0 cos 2 p 0 sin 2 2 max 0 （横截面） 0 （纵截面）
轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。
45 （2） 45
（3） 0
max 0 / 2 min 0 / 2
即单位面积上的力。
1MPa 106 Pa
10
2.3 横截面及斜截面上的应力
2.横截面上的应力
观察现象： 等直杆相邻两条横向线在杆受拉(压)后仍为直线， 仍相互平行，且仍垂直于杆的轴线。
F
a a' b' b
c c' d' d
F
平面假设 原为平面的横截面在杆变形后仍为平面。
11
2.3 横截面及斜截面上的应力
p
0 cos 2 0 sin 2 2
通过一点的所有不同方位截面上应力的全部情况，称为该点 处的应力状态。
对于拉（压）杆，一点处的应力状态由其横截面上一点处正 应力即可完全确定，这样的应力状态称为单向应力状态。
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2.3 横截面及斜截面上的应力
讨论： （1）
0 90
推论： 1.等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2.拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。 亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
F
a a' b' b
c c' d' d
F
12
2.3 横截面及斜截面上的应力
F F
m
m
m
F FN
FN
即

m m m
p
M DF DA
(a)
M
(b)
M点
平均应力 总应力
pm
DF DA
DF dF DA dA
9
p lim
DA0
2.3 横截面及斜截面上的应力
应力的特征： （1）应力与指定点的位置有关。 (2) 应力与过该点的截面的方位有关。
（3）应力p是一个矢量，有大小、方向。
（4）应力的量纲为ML-1T-2，应力的单位为N/m2或Pa。
应变能密度单位：
J/m
3
1 ( E ) 2 2 E 2 2E 2
34
2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质 1. 材料的拉伸与压缩试验
试验条件：常温；静载（极其缓慢地加载） 试件：国家标准规定《金属拉伸试验方法》
L
L=10d
圆截面试样： 试验设备：万能试验机、变形仪
L=5d
轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。
（纵截面） 在平行于杆轴线的截面上σ、τ均为零。
90
0 0
（横截面）
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2.3 横截面及斜截面上的应力
4. 应力集中的概念
应力集中： 由于杆件横截面突然变化而引起的应力局部 骤然增大的现象。
0
理论应力集中系数：
max 0
C C'
解： 由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为
FN F
25
2.4 虎克定律
l1 =300
l2=200 F=40kN
故
FNl1 40 103 N 300 mm Dl1 EA 210 103 MPa 400 mm 2 1
A
B
B'
C C'
0.152mm AC杆的总伸长 Dl Dl1 Dl2 0.143 0.152 0.295mm
2. 虎克定律
实验表明：在材料的线弹性范围内，△l与外力F和杆 长l成正比，与横截面面积A成反比。
FN l ——虎克定律 Dl EA
EA：抗拉（压）刚度
当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴 力图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆 的总伸长量。 在计算Δl的l长度内，FN，E，A均 FNi li Dl 为常数。 i EAi
B 1 2
C
此例可以进一步加深对变 形和位移两个概念的理解。
变形 A A'
杆件几何尺寸的 改变，标量 结点位置的移动， 矢量
位移
二者间的函数关系
与各杆件间的约束有关，实 际是变形的几何相容条件。
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2.5 拉(压)杆的应变能
应变能 V 伴随着弹性变形的增减而改变的能量 :
V W
拉 (压）杆在线弹性范围内的应变能： 1 外力功： W P Dl 2 1 U W P Dl 杆内应变能：
A
F
2FN1 cos F
得
FN1 FN 2
F 2 cos
28
2.4 虎克定律
2..由虎克定律得两杆的伸长： B C
1
2
FN1l FN 2l Dl1 Dl2 EA EA
A F 3. 计算节点位移
Fl 2EA cos
2 Fl 2 Eπd cos
根据杆系结构及受力情况的对称性可知，结点 A只有竖向位移。
7
2.2 用截面法计算拉（压）杆的内力
例1 求图示杆的轴力，并画轴力图。
A P m a l m P m N P n n b m B n 2P C P
解：（1）分段求轴力
N1 P N 2 P
N1
n N2 P
（2）画轴力图
+
P x
8
2.3 横截面及斜截面上的应力 1.应力的概念
在外力作用下，杆件内力在截面上某点分布内力的集度， 称为该点的应力。
Pl ( Dl ) EA
2
P P
P 2l N 2l 2 EA 2 EA
P l l1 Dl
Dl
Dl
33
2.5 拉(压)杆的应变能
两端受轴向荷载的等直杆，由于其各横截面上所有点 处的应力均相等，故全杆内的应变能是均匀分布的。 比能
u
——杆件单位体积内的应变能
P l l1
P
1 P Dl U u 2 Al V
d
F
l l1
Dl l1 l
线应变: 单位长度的伸长（或缩短）
Dl l
线应变以伸长时为正，缩短时为负。
22
2.4 虎克定律
（2）横向变形 d1 F
d
F
l l1
Dd d1 d
横向线应变
泊松比
Dd d


E
23
2.4 虎克定律
0 为拉(压)杆横截面上( 0 )的正应力。
16
2.3 横截面及斜截面上的应力
总应力又可分解为斜截面上的正应力和切应力：

p
p cos 0 cos 2
p sin 0 cos sin
0
2
sin 2
17
2.3 横截面及斜截面上的应力
0 ——截面突变的横截面上max作用点处的名义应力；
轴向拉压时为横截面上的平均应力。
20
2.4 虎克定律 1.拉(压)杆的变形与应变 d1 d
F l l1
杆件在轴向拉压时：
F
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
21
2.4 虎克定律
（1）纵向变形 d1 F
即
Dl1 Dl2 2 Fl ΔA cos cos Eπd 2 cos 2
3 3
代入数值得
2(100 10 N)(2 10 mm) ΔA (210 10 3 MPa )[ π (25mm) 2 ] cos 2 30 1.293mm()
31
2.4 虎克定律
拉伸过程四个阶段的变形特征及应力特征点： (1)弹性阶段OB
此阶段试件变形完全是弹性的，且与 成线性关系
E
E — 线段OA的斜率
比例极限p — 对应点A
弹性极限e — 对应点B
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2.6 材料在拉伸和压缩时的力学性质
可看出：杆件任一横截面上的内力，其作用线均与杆件的 轴线重合，因而称之为轴力，用记号FN表示。
轴力的符号规定 (同一位置处左、右侧截面上内力分量必须 具有相同的正负号) :
引起伸长变形的轴力为正——拉力（背离截面）；
引起压缩变形的轴力为负——压力（指向截面）。
6
2.2 用截面法计算拉（压）杆的内力
FN EA Dl
l
FN EA Dl E Al A
24
在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
2.4 虎克定律
例2 一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面 面积A1=400mm2， BC段的横截面面积A2=250mm2, 材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的 伸长量和杆的总伸长量。 l1 =300 l2=200 F=40kN A B B'
26
40 103 N 200 mm FNl2 Dl2 3 2 EA2 210 10 MPa 250 mm
0.143mm
2.4 虎克定律
思考： 1. 上题中哪些量是变形，哪些量是位移？二者 是否相等？ 2. 若上题中B截面处也有一个轴向力作用如图， 还有什么方法可以计算各截面处的位移？ l1 =300 l2=200 F=40kN A B B' F=40kN C C'
27
2.4 虎克定律
例3 图示杆系，荷载 F=100kN, 求结点A的位移DA。 已知两杆均为长度l =2m，直径d =25mm的圆杆， =30º ，杆材(钢)的弹性模量E = 210GPa。 解：1、求两杆的轴力。 B C
1
2 FN1
y FN2 x A F
F 0 F 0
x y
FN1 FN 2