高考数学压轴专题新备战高考《平面解析几何》图文解析

新高考数学《平面解析几何》练习题
一、选择题
1．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，则椭圆方程为（ ）
A ．2
213x y +=
B ．22132x y +=
C ．22196x y +=
D ．22
1129
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用椭圆的性质，根据4AB =，1223F F =可得3c =，2
2 4b a
=，求解a ，b 然后
推出椭圆方程． 【详解】
椭圆22
22 10x y a b a b +=>>（）
的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上， 12AB F F ⊥于2F ，4AB =，1223F F =，可得3c =
，2
2 4b a
=， 222c a b =-，解得3a =，6b =，
所以所求椭圆方程为：22
196
x y +=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
2．如图，12,F F 是椭圆2
21:14
x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，,A B 分别是12,C C 在第
二、四象限的公共点，若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）
A 2
B 3
C ．
32
D 6【答案】D
【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF 2|＋|AF 1|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a(其中2a 为双曲线的长轴长)，∴|AF 2|＝a ＋2，|AF 1|＝2－a ，又四边形AF 1BF 2是矩形，∴|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝
2，∴a
，∴e
考点：椭圆的几何性质．
3．已知直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1
2
k >
B ．16k <-
或1
2
k > C ．62k -<< D ．1162
k -
<< 【答案】D 【解析】 【分析】
联立21
1
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线1
22y x =-+的交点位于第一象限，可得00
x y >⎧⎨
>⎩，解得即可． 【详解】
解：联立211
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2421
6121k x k k y k -⎧
=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， Q 直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-
+的交点位于第一象限， ∴24021610
21
k
k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：11
62k -<<．
故选：D ． 【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．
4．已知双曲线22
22:1(0)x y E a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上
的一点，且212||PF PF =.若直线2PF 与双曲线E 的渐近线交于点M ，且M 为2PF 的中点，则双曲线E 的渐近线方程为( )
A ．1
3y x =±
B ．12
y x =±
C ．2y x =±
D ．3y x =±
【答案】C 【解析】 【分析】
由双曲线定义得24PF a =，12PF a =，OM 是
12PF F △的中位线，可得OM a =，在2OMF △中，利用余弦定理即可建立,a c 关系，从而得到渐近线的斜率.
【详解】
根据题意，点P 一定在左支上.
由212PF PF =及212PF PF a -=，得12PF a =，24PF a =， 再结合M 为2PF 的中点，得122PF MF a ==，
又因为OM 是12PF F △的中位线，又OM a =，且1//OM PF ， 从而直线1PF 与双曲线的左支只有一个交点.
在2OMF △中222
24cos 2a c a
MOF ac
+-∠=
.——① 由2tan b MOF a ∠=
，得2cos a
MOF c
∠=. ——② 由①②，解得2
25c a
=，即2b a =，则渐近线方程为2y x =±.
故选：C. 【点睛】
本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.
5．已知双曲线22
21(0)2x y b b
-=>的左右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为
y x =，点0(3,)P y 在该双曲线上，则12PF PF ⋅u u u r u u u u r
=( )
A ．12-
B ．2-
C ．0
D ．4
【答案】C 【解析】 由题知
，故
，
∴12(23,1)(23,1)3410PF PF ⋅=-±⋅±=-+=u u u r u u u u r
，故选择C ．
6．已知O 为平面直角坐标系的原点，2F 为双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点，
E 为2O
F 的中点，过双曲线左顶点A 作两渐近线的平行线分别与y 轴交于C ，D 两点，
B 为双曲线的右顶点，若四边形ACBD 的内切圆经过点E ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2 B
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，求出圆心O 到BC 的距离d ，由四边形ACBD 的内切圆经过点E ，可得21
2
d OF =，化简得出双曲线的离心率. 【详解】
由已知可设()0A a -，
，()0B a ，，AC b k a =， 有直线点斜式方程可得直线AC 方程为()b
y x a a
=+，
令0x =，可得()0C b ，
， 由直线的截距式方程可得直线BC 方程为
1x y
a b
+=，即0bx ay ab +-=， 由对称性可得四边形ACBD 为菱形，其内切圆圆心为坐标原点O ，设内切圆的半径为r ， 圆心O 到BC
的距离为ab
d r c
=
=
=， 又∵四边形ACBD 的内切圆经过点E ， ∴
2122
ab c
OF r c ===, ∴22ab c =， ∴()2
2
244a
c
a c -=，同除以4a 得，42440e e -+=，
∴()
2
22
0e -=，
∴22e =，
∴e =
(舍)，
∴e =
故选：B. 【点睛】
本题考查求双曲线离心率的问题，通过对称的性质得出相关的等量关系，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题.
7．已知双曲线22
:1124
x y C -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两
条渐近线的交点分别为,P Q ．若POQ ∆为直角三角形，则PQ =（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒，解三角形即可. 【详解】
不妨假设P 点在第一象限、Q 点在第四象限，90OPQ ∠=︒.则易知30POF ∠=︒，
4OF =，∴23OP =，在POQ n 中，60POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，23OP =
∴36PQ OP ==. 故选C 【点睛】
本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出P ，Q 位置，以及POQ V 的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.
8．已知P 是双曲线C 上一点，12,F F 分别是C 的左、右焦点，若12PF F ∆是一个三边长成等差数列的直角三角形，则双曲线C 的离心率的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【答案】A 【解析】 【分析】
设直角三角形三边分别为3,4,5x x x ，分23c x =，24c x =和25c x =三种情况考虑，即可算得双曲线离心率的最小值. 【详解】
如图，易知该直角三角形三边可设为3,4,5x x x .
①若23c x =，则254a x x x =-=，得232c
e a =
=； ②若24c x =，则2532a x x x =-=，得222c
e a
==； ③若25c x =，则243a x x x =-=，得252c
e a
==. 故选：A 【点睛】
本题主要考查双曲线的离心率的求法，体现了分类讨论的数学思想.
9．已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A ．(1,14
) B ．1(,1)4
-
C ．(1,2)
D ．(1,2)-
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：抛物线2
4y x =焦点为F （1,0），准线为1x =-，作PQ 垂直于准线，垂足为
M 根据抛物线定义： ，PQ PF PQ PM +=+，根据三角形两边距离之和大于第三边，
直角三角形斜边大于直角边知：PQ PM +的最小值是点Q 到抛物线准线1x =-的距离；
所以点P 纵坐标为1，则横坐标为
14,即(1
,14
)，故选A 考点：抛物线的定义及几何性质的运用.
10．已知椭圆1C ：2
2113x y +=，双曲线2C ：22
221(,0)x y a b a b
-=>，若以1C 的长轴为直
径的圆与2C 的一条渐近线交于A 、B 两点，且椭圆1C 与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则2C 的离心率是（ ） A
B ．3
C
D ．5
【答案】A 【解析】
由已知得OA =OA 的方程为()00,0y kx k x =>>，∴可设()00,A x kx ，进一步
0=
,A AB ∴的一个三分点坐标为
，该点在椭圆上，2
1
+=
，即
()
22
11391
k k
+=+，解得22
k=，从而有,
2
22
2
22
b
b a
a
==
，解得
c
e
a
===，故选A.
【方法点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及椭圆的离心率，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c，从而求出e;②构造,a c的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．
11．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20
bx ay ab
-+=相切，则C的离心率为
A
B
C
．
3
D．
1
3
【答案】A
【解析】
以线段12
A A为直径的圆的圆心为坐标原点()
0,0，半径为r a
=，圆的方程为222
x y a
+=，
直线20
bx ay ab
-+=
与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即
d a
==，
整理可得22
3
a b
=，即()
222
3,
a a c
=-即22
23
a c
=，
从而
2
2
2
2
3
c
e
a
==
，则椭圆的离心率
3
c
e
a
===，
故选A.
【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于,,
a b c的方程或不等式，再根据,,
a b c的关系消掉b得到,a c的关系式，而建立关于,,
a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
12．已知抛物线2
2(0)y px p =>交双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线于A ，B 两点
（异于坐标原点O
AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0) B ．(4,0)
C ．(6,0)
D ．(8,0)
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意可得
2b
a
=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】
2222
2
22
215c a b b e a a a
+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：
22322n
m mn n pm ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
13．若圆1C ：2224100x y mx ny +---=（m ，0n >）始终平分圆2C ：
()()
22
112x y +++=的周长，则
12
m n
+的最小值为（ ） A ．
92
B ．9
C ．6
D ．3
【答案】D 【解析】 【分析】
把两圆的方程相减，得到两圆的公共弦所在的直线l 的方程，由题意知圆2C 的圆心在直线
l 上，可得()1
23,213
m n m n +=∴
+=，再利用基本不等式可求最小值. 【详解】
把圆2C ：()()2
2
112x y +++=化为一般式，得22
220x y x y +++=，
又圆1C ：22
24100x y mx ny +---=（m ，0n >），
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在的直线l 的方程：()()12150m x n y ++++=.
Q 圆1C 始终平分圆2C 的周长，∴圆心()21,1C --在直线l 上，
()()12150m n ∴-+-++=，即()1
23,213
m n m n +=∴
+=. ()1
12225331212121n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫∴
+=+⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎝⎭
⎭
()115522333
⎛≥+=+⨯= ⎝. 当且仅当23
22m n n m m
n +=⎧⎪
⎨=⎪⎩即1m n ==时，等号成立.
12
m n ∴
+的最小值为3. 故选：D . 【点睛】
本题考查两圆的位置关系，考查基本不等式，属于中档题.
14．已知点1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，点P 为1C 和2C 的一个公共点，且1223
F PF π
∠=，若22e =，则1e 的值是（ ） A
B
C
．
7
D
【答案】D 【解析】 【分析】
利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得到方程222
1243c a a =+，由此得到关于离心率
的方程求得结果. 【详解】
设椭圆长半轴长为1a ，双曲线实半轴长为2a ，焦点坐标为()1,0F c -，()2,0F c ， 不妨设P 为第一象限内的点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ， 则22
1212PF PF a a =-，
由余弦定理得：2
2
22
2
12121212242cos
3
c PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-=++， ()22222211212443c a a a a a ∴=--=+，2
21231
4e e ∴
+=，又22e =，2145
e ∴=，
15
e ∴=
. 故选：D .
【点睛】
本题考查共焦点的椭圆与双曲线问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义，利用余弦定理构造等量关系，配凑出关于椭圆和双曲线离心率的方程.
15．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的
直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()
21210F F F A F A +⋅=u u u u v u u u u v u u u v
，则此双曲线的标准方程
可能为（ ）
A ．22
143x y -=
B ．22
134x y -=
C ．22
1169
x y -=
D ．221916
x y -=
【答案】D 【解析】 【分析】
先由()
21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r 得到122
2F F F A c ==，根据2AF 的斜率为24
7
，求出217cos 25
AF F ∠=-
，结合余弦定理，与双曲线的定义，得到c a ，求出a
b ，进而可得出结
果. 【详解】
由()
21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r
，可知1222F F F A c ==，
又2AF 的斜率为
24
7，所以易得217cos 25
AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得116
5
AF c =， 由双曲线的定义得16
225
c c a -=， 所以5
3
c e a =
=，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为22
1916
x y -=.
故选D 【点睛】
本题考查双曲线的标准方程，熟记双曲线的几何性质与标准方程即可，属于常考题型.
16．已知双曲线222:41(0)x C y a a -=>的右顶点到其一条渐近线的距离等于3，抛物线2:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线1:4360l x y -+=和2:1l x =-距离之和的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
分析：由双曲线的右顶点到渐近线的距离求出234
a =，从而可确定双曲线的方程和焦点坐标，进而得到抛物线的方程和焦点，然后根据抛物线的定义将点M 到直线2l 的距离转化为到焦点的距离，最后结合图形根据“垂线段最短”求解．
详解：由双曲线方程2
2241(0)x y a a
-=>可得， 双曲线的右顶点为(,0)a ，渐近线方程为12y x a =±
，即20x ay ±=． ∵双曲线的右顶点到渐近线的距离等于3， ∴2314a =+，解得234a =， ∴双曲线的方程为2
24413
x y -=， ∴双曲线的焦点为(1,0)．
又抛物线2
:2E y px =的焦点与双曲线C 的右焦点重合，
∴2p =，
∴抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为(1,0)F ．如图，
设点M 到直线1l 的距离为||MA ，到直线2l 的距离为||MB ，则MB MF =， ∴MA MB MA MF +=+．
结合图形可得当,,A M F 三点共线时，MA MB MA MF +=+最小，且最小值为点F
到直线1l 的距离2d =
=．
故选B ． 点睛：与抛物线有关的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，根据定义实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化，具体有以下两种情形：
（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；
（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决．
17．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，且124cos 5
PF F ∠=，则C 的离心率为（ ） A ．257
B ．4
C ．5
D ．57 【答案】C
【解析】
【分析】
在12PF F △中，求出1PF ，2PF ，然后利用双曲线的定义列式求解．
【详解】 在12PF F △中，因为12
0PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以1290F PF ∠=o ， 1121248cos 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=，2121236sin 255
c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=， 则由双曲线的定义可得128622555c c c a PF PF =-=
-= 所以离心率5c e a
=
=，故选C. 【点睛】 本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出1PF ，2PF ，属于一般题．
18．双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为2C 的焦距等于（ ）．
A ．2
B ．
C ．4
D ．【答案】C
【解析】
试题分析：设双曲线的焦距为2c ，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C ．
考点：双曲线的方程与几何性质
19．已知P 是双曲线22
21(0)8
x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】
【分析】 化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.
【详解】
P 是双曲线22
21(0)8
x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =， 则229PF a =+或292PF a =-，
当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =.
故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件.
故选：B .
【点睛】
本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.
20．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线()2
20y px p =>上，若4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2p x =
的距离为1，则p 的值为 （ ） A ．1
B ．1或3
C ．2
D ．2或6 【答案】B
【解析】 4AF BF +=1212442422
p p x x x x p x p ⇒+++=⇒+=-⇒=-中
因为线段AB 的中点到直线2
p x =的距离为1，所以121132
p x p p -=∴-=⇒=中或 ，选B. 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02
p PF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．。