杨超2013考研数学导学班讲义

第一部分 考研数学基本情况
一．试卷分类及使用专业
根据工学、经济学、管理学各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求，硕士研究生入学统考数学试卷分为3种，其中针对工学门类的为数学一、数学二，针对经济学和管理学门类的为数学三.招生专业须使用的试卷种类规定如下：
1.须使用数学一的招生专业
1）工学门类中的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等20个一级学科中所有的二级学科、专业.
2）授工学学位的管理科学与工程一级学科。

2.须使用数学二的招生专业
工学门类中的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等5个一级学科中所有的二级学科、专业。

3.须选用数学一或数学二的招生专业（由招生单位自定）
工学门类中的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业选用数学一，对数学要求较低的选用数学二。

4.须使用数学三的招生专业
1）经济学门类的各一级学科。

2）管理学门类中的工商管理、农林经济管理一级学科。

3）授管理学学位的管理科学与工程一级学科。

二.考试形式和试卷结构
1.试卷满分及考试时间
试卷满分150分，考试时间为180分钟。

2.答题方式
答题方式为闭卷、笔试。

3.试卷内容结构
数学一： 高等数学 %
56
线性代数 %
22
概率论与数理统计 %
22
数学二： 高等数学 %
78
线性代数 %
22
数学三： 微积分 %
56
线性代数 %
22
概率论与数理统计 %
22
4.试卷题型结构
各卷种试卷题型结构为：
单项选择题 8小题，每小题4分，共32分
填空题 6小题，每小题4分，共24分
解答题（包括证明题） 9大题，共94分
三.考研数学全国平均成绩
2006年2007年2008年2009年2010年 数学一83.0 62.2 70.7 68.1 70.9
数学二91.4 72.3 85.8 77.6 64.7
数学三81.2 68.6 69.4 68.3 73.4
四.考研数学试题、试卷的特点及对策
1.考试内容多、题量大
数学一和数学三考三门课（高等数学；线性代数；概率论与数理统计），数学二考两门课（高等数学；线性代数）。

各卷种都是23道题。

2.客观题比例大
1）选择题 共8道，每题4分，共32分。

主要考察基本概念和基本理论
2）填空题 共6道，每题4分，共24分。

主要考察基本运算和基本原理
例1 ∫−1
02d 2x x x =
例2 设,d )(111)(1022∫−++=x x f x x
x f 则∫10d )(x x f = 例3 设)(x f 连续,则dx
d ∫−x t t x tf 022d )(= . (A))(2x xf (B))(2x xf − (C) )(22x xf (D) )(22x xf −
3.考题的灵活性
例 曲线432)4()3()2)(1(−−−−=x x x x y 的拐点是
(A)).0,1( (B)).0,2( (C) ).0,3( (D) )0,4(
4.考题的综合性
例 设函数)(x f 在]3,0[上连续，在)3,0(内存在二阶导数，且
∫+==2
0)3()2(d )()0(2f f x x f f （I ）证明存在)2,0(∈η，使)0()(f f =η；
（II ）证明存在)3,0(∈ξ，使0)(=′′ξf .
第二部分 考研数学复习指导
数学复习可分为三个阶段：
1.基础阶段：(7月之前)
全面复习，打好基础。

基本概念、基本理论、基本方法
在这个阶段考生应根据考试大纲的要求选定教材（该课程的教科书），利用教材对所学过的基本概念、基本理论、基本方法进行全面系统的复习，对概念、理论和方法不能只停留在记忆，而要理解和消化。

这个阶段考生需做一些基本练习题，可做三种题，一种是教科书上的例题；第二种是教材后的练习题（章末练习题）
，这个阶段一般应在放暑假前
完成。

1）参考书
（1）教科书
（2）《考研数学基础题集》 武忠祥主编
2）关于基本概念的复习
（1）会叙述（数学表达）
（2）理解内含（数学意义，作用，几何意义等）
（3）相关概念之间的关系（必要条件，充分条件，充要条件，既非充分条件又非必要条件.
例 导数的概念
例1设函数)(x f 在0=x 处可导，且,0)0(=f 则=−→3
320)(2)(lim x x f x f x x （A）).0(2f ′− （B）).0(f ′−
第三种：《题源解析１０００题》主编　杨超　张宇
（C）).0(f ′ （D）0
例2设a x x f =在)(的某个邻域内有定义，则a x x f =在)(处可导的一个充分条件是 （A）)](1([lim a f h a f h h −++∞→存在； （B）)]()1([lim a f n
a f n n −+∞→存在； （C）h h a f h a f h 2)()(lim 0−−+→存在； （D）h
h a f a f h )()(lim 0−−→存在； 例3函数)(x f 在点0x 处可导，是)(x f 在该点连续的
（A) 充分条件而非必要条件； （B) 必要条件而非充分条件；
（C) 充分必要条件； （D) 既非充分条件又非必要条件.
例4 二元函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数),(),,(0000y x f y x f y x ′′存在，是 ),(y x f 在该点连续的
（A) 充分条件而非必要条件； （B) 必要条件而非充分条件；
（C) 充分必要条件； （D) 既非充分条件又非必要条件.
2）关于基本理论（定理、性质）的复习
（1）会叙述（数学表达）
（2）理解内含
（3）凡大纲要求掌握或理解的定理、性质不但要会用而且还要会证明；凡大纲要求了解或会用的定理、性质要会用；
例1 极限的性质
1）唯一性
2）局部有界性
3）保号性 设A x f x x =→)(lim 0
（1） 如果0>A ,则存在0>δ,当),(0δx U x D
∈时，0)(>x f .
（2） 如果当),(0δx U x D
∈时,0)(≥x f ,那么0≥A .
例 已知)(x f 在0=x 某邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim 0=−→x x f x ，则在点0=x 处)(x f .
A)不可导 B)可导且0)(≠′x f C)取得极大值 D)取得极小值
例2 连续函数的最值定理、介值定理、零点定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、微积分基本定理（变上限求导定理）、积分中值定理
3）关于基本方法(法则)的复习
（1）条件
（2）结论（公式）
（3）如何用
例1 极限的有理运算法则
若B x g A x f ==)(lim ,)(lim .
则 1） B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[
2）B A x g x f x g x f ⋅=⋅=)(lim )(lim )]()(lim[ 3）)0( )(lim )(lim )()(lim ≠==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛B B A x g x f x g x f
例2 等价无穷小代换 若~,~ββαα且β
αlim 存在， 则 β
αβαlim lim = 例3 罗比达法则
若1）0)(lim )(lim 0
0==→→x g x f x x x x (或∞)
2）)(x f 、)(x g 在0x 点的某去心邻域内可导，且;0)(≠′x g 3) A x g x f x x =′′→)
()(lim 0（或∞）； 则 .)()(lim )()(lim 00
x g x f x g x f x x x x ′′=→→ 2．强化阶段：(7月~11月底)
把握整体，形成体系。

总结题型、方法、重点、难点。

这个阶段应选择一本较好的考研辅导书进行系统复习。

进一步加强对基本概念、基本理论、基本方法的难点和重点的复习。

要逐步学会灵活运用基本概念，基本理论和基本方法来解决问题，加强综合题的练习，以提高用所学知识分析问题和解决问题的能力。

本阶段也要做一定量的练习，特别是综合题，一般可做你选定的考研辅导书后的练习题和历届考题，通过做题，归纳题型和方法，做到题型和方法心中有数。

这个阶段应在考前四十天完成。

1）参考书
（1）《数学考研历年真题分类解析》 武忠祥主编 例 1. n n n n 321lim ++∞
→ 2..lim 21n n
m n n n a a a +++∞→" 其中),2,1(,0m i a i "=> 3. 设,0b a <<，则=+−−∞→n
n n n b a 1)(lim （ ） ()A a .
()B 1−a . ()C b . ()D 1−b . 4.)0(,)2
(1lim 22≥++∞→x x x n n n 。

5. 极限.__________))((lim 2
=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝
⎛+−∞→x x b x a x x (A) 1. (B) e . (C) b a −e . (D) a b −e .
6. 求极限.)1ln(lim 110−→⎟⎠⎞⎜⎝⎛+x e x x x
7. ._________221lim 10=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛+→x x x 8. 设,)31(lim )(0
t x
t t x x f +=→则._________)(=′x f 9. ]sin 1[sin lim x x x −++∞
→ 10. x
x e e x
x x −−→sin lim sin 0 11. 40cos )cos(sin lim
x
x x x −→ 12. 1arctan [arctan lim 2+−∞→n a n a n n 3．冲刺阶段：(12月开始)
查缺补漏，实战演练。

应对前两个阶段所复习的基本内容，常考题以及解题方法进行归纳总结，使其系统化，条理化。

这个阶段也需要做一定的练习题，主要做模拟试卷和考研真题，以熟悉试卷结构，查找自己的不足和漏洞。

1）参考书
（1）《历年试卷》
（2）《模拟试卷》
《考研数学冲刺5套卷》 武忠祥主编
第三部分 考研数学复习几点建议
为了使考生更好的复习数学，达到事半功倍。

我们给考生提供以下四个方面的建议：
一、了解命题的指导思想
1．以教育部颁布的《硕士研究生入学统一考试大纲》为指导进行命题。

考试内容、考试要求、内容比例、题型比例符合大纲规定，不出超纲题、偏题、怪题。

2．试题以考查数学的基本概念、基本思想和基本原理为主，在此基础上加强对考生的运算能力、抽象概括能力、逻辑思维能力和综合运用所学知识解决实际问题的能力的考查。

3．确定试卷题量的标准使优秀水平的考生能在规定的时间里完成试题作答并有一定的检查时间。

试题的排列顺序遵循先易后难，先简后繁的原则，有利于考生发挥其真实水平。

4．充分发挥各题型的功能。

填空题主要考查三基以及数学的重要性质，一般不出纯粹只靠计算的大计算量题，以中、低等难度试题为主。

选择题主要考查考生对数学概念、数学性质的理解并能进行简单的推理、判定、计算和比较，以中等难度试题为主。

主观性试题也有坡度，有些考查基本运算，有些考查综合应用，有些考查逻辑推理，有些考查分析问题和解决问题的能力。

5．试题有一定的内容覆盖面，但不要求面面俱到。

由于数学考试内容广泛，而考试时间有限，数量有限 ，一般要求保证重点章节被考查。

作为硕士研究生入学考试，应注重考查能力，试题不追求面面俱到，节节有题。

二、几点思考和建议
1．近几年数学试题在难度上进行了调整，普遍反映试题难度不是很高，但 考生得分并不理想，平均分偏低，主要问题是基本题失分严重。

2.考生应注重基础，从考卷中反映出考生基本知识不牢固，很多考生只是背
题型，按照套路做题，对基本概念不够重视，理解不深，不能灵活应用，不能从基本概念入手解决问题。

在阅卷中发现一些考生在答卷中出现很初等的错误，这是基本功不扎实的表现，可能是考生在复习中出现偏差，一些考生
在复习中追求难题，而对基本概念、基本理论、基本方法注重不够，投入不足。

从近几年试题可以看出，基本概念、基本方法和基本性质是考察的重点，对数学基础知识的考察要求全面又突出重点、注意层次。

注重基础是复习的基本方向，要求考生不仅能明确概念的要素、性质的基本特征，而且要理解概念与性质的内涵和外延。

3．注重能力训练，在数学考试中，需要经过计算解答的试题有一定比例，而一些应用题、证明题和综合题也是通过计算完成的。

因此，加强计算能力的训练是非常重要的。

运算的准确性是对运算的基本要求，要求考生根据算理和题目的要求，有根有据的一步一步地实施运算。

考试中重点强调的是：在运算过程中使用的概念要准确无误，使用的公式要准确无误，使用的法则要准确无误，最终才能保证运算结果的准确无误。

运算的熟练是对考生思维敏捷性的考查。

给考生以充裕的时间去想怎么算，而不是把时间花在冗长的计算过程的书写上。

过繁的计算消耗考生的时间和精力，将会影响对其基本概念、方法和能力的考查。

运算的简捷是指运算过程中所选择的运算路径短、运算步骤少、运算时间省，这就要求考生在运算过程中要灵活应用概念，恰当选择公式，合理使用数学思想方法。

三.应注意的几个问题：（历届考生的经验教训）
七忌：
1）强背方法技巧，不重理解； 2）只看例题，不动笔练习；
3）只追高难，不重基础； 4）题海战术，不归纳总结；
5）闷头做题，不互相交流； 6）做题翻书，不牢记公式；
7）突击复习，不持之以恒。