贪心算法的应用实例

最大收益=40+50+30+30
【算法分析】 本题转化成模型就是：在一个无向图中，对于每个点，取一条和它相关联的边（如果这 样的边存在的话） ，使得取出来的所有边的权和最大。 首先，如果这个图是不连通的，那么它的各个连通分量之间是没有任何联系的。对这些 连通分量中的问题可以分别独立地解决， 合并起来就是整个问题的解。 所以我们在下面的讨 论中假定图是连通的。 直观地考虑， 如果图中存在度为 1 的点， 那么就把这一点上的唯一的一条边分配给这个 点（将某条边“分配”给某个点的含义是：将这条边作为和这一点相关联的边取出来，同时 这一点就失效了，因为和它相关联的其他边都不能再取了） 。如果不存在这样的点，那么此 时有两种情况： 一种是边数等于点数， 那么这个图就是一个环， 这时可以取出图中所有的边； 一种是边数大于点数， 那么就可以把这个图中权最小的一条边直接删去， 因为这条边 “显然” 不会被取到的。 依据这样一个直观思想，本题可以用贪心法来解决。 贪心算法（用于连通图） ： 1、如果图中只有一个点，直接结束算法。 2、如果图中存在度为 1 的点，执行 3；否则转 4。 3、任意找一个度为 1 的点 v，将 v 上的唯一一条边分配给它。转 2。 4、如果图中的边数等于点数，执行 5；否则转 6。 5、设图中的点数（也就是边数）为 n。任取一条边 e1，将它分配给它的两个端点中的任意
在任意两个城市之间，这样的交易只能进行一次。因为你第二次贩运你的商品时，人们 对它们就不会感兴趣了。 现在你只身来到这个大陆上， 用有限的资金在每个城市中购买了一支商队。 你需要想办 法让你的这 N 支商队给你带来最大的经济收益。
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任务说明 给出这个大陆的地图和每两个城市之间的贸易值 （如果这两个城市之间有路可通的话） ， 你需要指挥你的 N 支商队进行一次经商，使得这 N 支商队在这次经商中获得的总收益最大。 注意： 你的每支商队只能进行一次交易， 即它们只能从它们所在的城市到达一个相邻的城市。 当然，它们也可以不进行任何交易。 输入数据 输入文件的第一行有两个整数 N（1 N 100） 、M（M 0） ，分别表示这个大陆上的 城市数和道路数。 接下来有 M 行，每行包括三个整数 i、j（1 i,j N 且 i j） 、v(1 V 10000)， 表示一条道路的信息。其中 i 和 j 表示这条路在城市 i 和城市 j 之间，v 表示沿着这条路进 行一次交易所得的收益。i 和 j 的顺序是无关的，并且任意两个城市之间最多存在一条路。 输出数据 你的输出文件应该 2 行， 第 1 行包含 N 个整数。 其中第 k 个整数表示你在城市 k 中的商 队将要前往哪个城市进行交易（如果这支商队进行交易的话）或者为 0（如果这支商队不进 行任何交易） 。第 2 行输出最大收益值。 输入输出样例 input.in 4 1 1 2 2 3 5 2 3 3 4 4 40 30 50 30 20 output.out 2 3 1 2 150 样例图示
例 6．数字游戏 【题目描述】 小 W 发明了一个游戏，他在黑板上写出一行数字 a1，a2，…an,然后给你 m 个回合的机 会，每个回合你可以从中选一个数擦除它，接着剩下来的每个数字 ai 都要递减一个值 bi。 如此重复 m 个回合，所有你擦除的数字之和就是你得到的分数。 编程帮小 W 算算，对于每个给出的 an 和 bn 序列，可以得到的最大得分是多少？ 数据输入： 由文件 game. in 提供输入数据。文件的第 1 行一个整数 n（1≤n≤200） ，表示数字的 个数；第二行一个整数 m（1≤m≤n） ，表示回合数；接下来一行有 n 个不超过 10000 的正整 数，a1，a2，…an，表示原始数字；最后一行有 n 个不超过 500 的正整数，b1，b2，…bn， 表示每回合每个数字递减的值。 结果输出: 程序运行结束时，将计算结果输出到文件 game. out 中。一个整数，表示最大可能的 得分。 输入文件示例 输入： 3 3 10 20 30 4 5 6 输出： 47 【算法分析】 本题上面一排数是作为被减数的，若对被减数采用贪心算法不一定能得到全局最优 解。因为被减数小减数大，其差小会导致最大得分少。先运用贪心的思想对第二排减数进行 从大到小排序，再运用动态规划思想递推求解。 #include<iostream>//数字游戏 using namespace std; struct XX {int a,b; }a[201]; int n,m,f[2][201],i,j; int comp(const void *a,const void *b) { return(*(XX*)b).b-(*(XX*)a).b; } int main()
贪心算法的应用实例
例 2．排队问题 【题目描述】 在一个医院 B 超室，有 n 个人要做不同身体部位的 B 超，已知每个人需要处理的时间 为 ti， （0<i<=n）,请求出一种排列次序，使每个人排队等候时间总和最小。 输入数据：第 1 行一个正整数 n（你<=10000》 ，第 2 行有 n 个不超过 1000 的正整数 ti. 输出要求：n 个人排队时间最小总和。 输入输出样例 输入：4 5 10 8 7 输出： 67 【算法分析】 本题贪心算法：n 个人时间从小到大排序，就是这 n 个人最佳排队方案。求部分和的和 即为所求。 反证法证明：假设有最优解序列：s1,s2…sn,如 s1 不是最小的 Tmin，不妨设 sk=Tmin, 将 s1 与 sk 对调，显然，对 sk 之后的人无影响，对 sk 之前的人等待都减少了，(s1-sk)>0, 从而新的序列比原最优序列好，这与假设矛盾，故 s1 为最小时间，同理可证 s2…sn 依次最 小。
例 3．:数列极差问题 【题目描述】 在黑板上写了 N 个正整数做成的一个数列，进行如下操作：每一次擦去其中的两个数 a 和 b，然后在数列中加入一个数 a×b+1，如此下去直至黑板上剩下一个数，在所有按这种操 作方式最后得到的数中，最大的 max，最小的为 min，则该数列的极差定义为 M=max-min。 编程任务：对于给定的数列，编程计算出极差 M。 输入输出样例： 输入： 4 2 1 4 3 输出： 13 【算法分析】 当看到此题时，我们会发现求 max 与求 min 是两个相似的过程。若我们把求解 max 与 min 的过程分开，着重探讨求 max 的问题。 下面我们以求 max 为例来讨论此题用贪心策略求解的合理性。 讨论：假设经（Ｎ－3）次变换后得到３个数：a ,b , max＇ （max＇≥ａ≥ｂ） ，其中 max＇是（Ｎ－２）个数经（Ｎ－３）次ｆ变换后所得的最大值，此时有两种求值方式，设 其所求值分别为 z1，z2，则有：z1＝(ａ×ｂ＋１）×max＇＋１，z2＝(ａ×max＇＋１） ×ｂ+１所以 z1－z2＝max＇－ｂ≥０若经（Ｎ－２）次变换后所得的３个数为：ｍ，ａ，
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} int work(){ qsort(a+1,n,sizeof(a[0]),cmp);//按区间右端点由小到大排序 int i,j,k; int a1,a2; a1=a[1].right-1;a2=a[1].right;result=2; for(i=2;i<=n;i++) { if(a[i].left<=a1&& a[i].right>=a2)continue;//完全包含 if (a[i].left>a2 )//完全不包含 {a1=a[i].right-1;a2=a[i].right;result=result+2;} if (a[i].left>a1 && a[i].right>a2 && a[i].left<=a2) {a1=a2;a2=a[i].right;result++;}//只包含一个 } return result; } int main(){ freopen("range6.in","r",stdin); freopen("range6.out","w",stdout); cin>>n; int i; for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].left>>a[i].right; cout<<work()<<endl; return 0; } 例 5．骆驼商队 Camel Trading 【题目描述】 在一片古老的大地上， 虽然商业已经非常繁荣， 但是那里的人们仍然延续着古老的交易 方式。他们牵着骆驼在城市之间往来奔波，贩运成批的商品，换来一袋袋的金币。 这片大陆上有 N 个城市，编号为 1……N。在一些城市之间有路可通，有路就有商队。 但是在不同的城市之间经商所得的收益不同， 在下面的这个 N=4 的例子中， 在城市 1 和城市 2 之间进行一次交易可以获得 40 枚金币，在城市 2 和 3 之间交易一次可以获得 50 枚金币， 等等。 1 40 2 30 50 30 3 20 4
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ｂ（ｍ≥ａ≥ｂ）且ｍ不为（Ｎ－２）次变换后的最大值，即ｍ＜max＇则此时所求得的最 大值为： z3＝（ａ×ｂ+１）×ｍ+１此时 z1－z3＝(１+ａｂ） （max＇－ｍ）＞０ 所以此时不 为最优解。 所以若使第ｋ（１≤ｋ≤Ｎ－１）次变换后所得值最大，必使（ｋ－１）次变换后所得 值最大（符合贪心策略的特点 2） ，在进行第ｋ次变换时，只需取在进行（ｋ－１）次变换 后所得数列中的两最小数ｐ，ｑ施加ｆ操作：ｐ←ｐ×ｑ+1，ｑ←∞即可（符合贪心策略特 点 1） ，因此此题可用贪心策略求解。在求ｍin 时，我们只需在每次变换的数列中找到两个 最大数ｐ，ｑ施加作用 ｆ：ｐ←ｐ×ｑ+１，ｑ←-∞即可．原理同上。 这是一道两次运用贪心策略解决的一道问题，它要求选手有较高的数学推理能力。 例 4．整数区间 range.cpp 【题目描述】 我们定义一个整数区间[a,b],a,b 是一个从 a 开始至 b 结束的连续整数的集合。 编一个 程序，对给定的 n 个区间，找出满足下述条件的所含元素个数最少的集合中元素的个数： 对 于 所 给 定 的 每 一 个 区 间 ， 都 至 少 有 两 个 不 同 的 整 数 属 于 该 集 合 。 (1<=n<=10000, 0<=a<=b<=1000) 输入输出格式： 输入：第一行一个正整数 n，接下来有 n 行，每行给定一个区间的 a,b 值 输出：一个正整数，即满足条件的集合所包含的最少元素个数 输入输出样例 输入： 输出： 4 4 3 6 2 4 0 2 4 7 【算法分析】 本题数据规模较大，用搜索做会超时，而动态规划无从下手。考虑贪心算法。题目意思 是要找一个集合，该集合中的数的个数既要少又要和所给定的所有区间有交集。 （每个区间 至少有两个该集合中的数） 。我们可以从所给的区间中选数，为了选尽量少的数，应该使所 选的数和更多的区间有交集这就是贪心的标准。一开始将所有区间按照右端点从小到大排 序。从第一个区间开始逐个向后检查，看所选出的数与所查看的区间有无交集，有两个则跳 过，只有一个数相交，就从当前区间中选出最大的一个数（即右端点） ，若无交集，则从当 前区间选出两个数，就（右端点，右端点-1） ，直至最后一个区间。 #include <iostream>//整数区间问题 using namespace std; struct prince{ int left,right;//区间左右端点 }a[10000]; int n; int result;//存放结果中的数 int cmp(const void *a,const void *b){ return (*(prince *)a).right-(*(prince *)b).right;
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一个 v1；然后将 v1 上的另一条边 e2 分配给 e2 的另一个端点 v2；将 v2 上的另一条边 e3 分配给 e3 的另一个端点 v3； ……如此重复直到将 en 分配给 vn， 即图中所有的边都已分配， 结束算法。 6、将图中权最小的边不分配而直接删去。如果此时图仍然连通，则转 2；否则对这个图的 两个连通分量分别执行本算法。