第十章 离散沃尔什函数
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第十章 离散沃尔什函数
第一节 沃尔什函数的定义及三种排列的关系
沃尔什(Walsh)函数系是只取1±、完备的正交函数系，最早由沃尔什在1923年把不完备的雷德麦彻函数加以完备化形成的，因此叫做沃尔什函数。
从排列次序(或编号方法)区分，沃尔什函数有三种类型：
（1）按沃尔什排列，又称按自然顺序(natural order)排列，以符号),(θk Wal W 表示； （2）按佩利(Paley)排列，又称按二进顺序(binary order)排列或并元排列，以符号
),(θk Wa l P 表示；
（3）按阿达玛(Hadamard)排列，以符号),(θk Wal H 表示。 下面统一用雷德麦彻函数来定义，以便得到它们之间的关系。
一、按沃尔什排列的沃尔什函数),(θk Wal W
∏=-=p
m k g W m m R k Wal 1)(1)],([),(θθ
(10.1)
式中，)( 2 1-N ,0,1,2,为正整数p N k p == ，10<≤θ
）的雷德麦彻函数是标号为p m m m R ≤≤(1),(θ
}1,0{)(1)(11∈---m m k g m p k k g 位，位格雷码的第的是
表10.1 前八个),(θk Wal W 的表达式(10<≤θ)
把雷德麦彻函数的定义式(9.5b) 2,3,,1m )1,0[ )1(),(1=∈-=-θθθm m R 代入(10.1)式，得
),(θk Wal W 的指数形式：
∑-=∑-=-==--=----⊕=∏p
m m m m p
m m m m m k k k g p
m k g W k Wal 1
111
1
11
1)
()(1
)()
1()
1()
1(),(θθθθ (10.2)
式中，)( 2 1-N ,0,1,2,为正整数p N k p ==
位点后第的二进制表示式的小数是1 1--m m θθ
位位格雷码的第的是1)(1--m p k k g m
p m <≤1
11101---=⊕==-p p p
m m k k k k p m m m p k k k
，时，位。当、位二进制表示式的第的是、
图10.1 按沃尔什排列的沃尔什函数(N=8)
θ
θ
θ
θ
,4(θW Wal θ
),1(θW Wal ,6(θW Wal θ
θ
,2(θW Wal ,5(θW Wal θ
),0(θW Wal ,7(θW Wal ,3(θW Wal θ
二、按佩利排列的沃尔什函数),(θk Wal P
由佩利引入的沃尔什函数定义为
∏=-=p
m k P m m R k Wal 11)],([),(θθ
(10.3)
其指数形式为
∑-=-==----∏=p
m m m m m k p
m k P k Wal 1
1
11
1)
1()
1(),(1
θθθ (10.4)
上述两式中，)( 2 1-N ,0,1,2,为正整数p N k p == ，10<≤θ
）的雷德麦彻函数是标号为p m m m R ≤≤(1),(θ
位位二进制表示式的第的是11--m p k k m
位点后第的二进制表示式的小数是1 1--m m θθ
表10.2 前八个),(θk Wal P 的表达式(10<≤θ)
三、按阿达玛排列的沃尔什函数),(θk Wal H
),(θk Wal H 是从阿达玛矩阵得来的。N 阶阿达玛矩阵的每一行对应一个归一化时间变量θ在)1,0[上的沃尔什函数，并按自上而下的顺序安排序号k (0~N-1)。),(θk Wal H 的定义式：
∏=><-=p
m k H m m R k Wal 11)],([),(θθ
(10.5)
其指数形式为
∑-=∑
-=-==--=---->
<=>
<∏p
m m
p m p
m m m m m k k p
m k H k Wal 1
11
1111)
1()
1()
1(),(1
θθθθ (10.6)
上述两式中，)( 2 1-N ,0,1,2,为正整数p N k p == ，10<≤θ
）的雷德麦彻函数是标号为p m m m R ≤≤(1),(θ
位的第位二进制表示式反写后的是1 1-><-m p k k m
位点后第的二进制表示式的小数是1 1--m m θθ
m p m p m m p p p k k k k k k k k k k k k ------->=<>=<=11110021 )( )(显然，则二
表10.3 前八个),(θk Wal
的表达式(10<≤θ)
θθθ0.5
θ,3(θH Wal θ,4(θH Wal ,5(θH Wal
θθ,6(θH Wal ,7(H Wal θ,0(θH Wal ,1(θH Wal ,2(θH Wal )
,7(),6(),5(),4(),3(),2(),1()
,0(11
111111
11
11111111
11111111
11111111
11111111
11111111
11111111
111111
θθθθθθθθH H H H H H H H Wal Wal Wal Wal Wal Wal Wal Wal ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
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