数理逻辑与集合论前两章作业答案

第一章命题逻辑的基本概念

作业1.1判断下列语句是否是命题，并对命题确定其真值：

(1)火星上有生命存在.

(2)12是质数。

(3)香山比华山高。

(4)x+y=2。

(5)这盆茉莉花真香！

(6)结果对吗？

(7)这句话是错的。

(8)假如明天是星期天，那么学校放假。

解答：

(1)“火星上有生命存在”是命题，但现在不能确定其真值；

(2)“12是质数”是命题，其真值为假；

(3)“香山比华山高”是命题，其真值为假；

(4)“x+y=2”不是命题，因为含有公认是变量的东西，从而不具有确定的真值；

(5)“这盆茉莉花真香！”是感叹句，因而不是命题；

(6)“结果对吗？”是疑问句，因而不是命题；

(7)“这句话是错的”是语义悖论，因而不是命题；

(8)“假如明天是星期天，那么学校放假”是命题，其真值为真。

点评：实际上，确定一个具体命题的真值不是数理逻辑研究的内容，但是不能说一个命题没有真值。

作业1.2令p表示今天很冷，q表示正在下雪，将下列命题符号化：

(1)如果正在下雪，那么今天很冷。

(2)今天很冷当且仅当正在下雪。

(3)正在下雪的必要条件是今天很冷。

用自然语言叙述下列公式：

¬(p∧q)¬p∨¬q p→q¬p∨q¬¬p¬p↔q

解答：

(1)“如果…那么…”是典型的表蕴涵的连词，因此句子“如果正在下雪，那么今天很冷”符号化为q→p；

(2)“当且仅当”是典型的表等价的连词，因此句子“今天很冷当且仅当正在下雪”符号化为p↔q；

(3)“正在下雪的必要条件是今天很冷”相当于“只有今天很冷，（才）正在下雪”，也即“如果正在下雪，那么意味着今天很冷”，因此应该符号化为q→p。

对于公式的自然语言叙述，我们有：

(1)公式¬(p∧q)的自然语言叙述可以是：“并非今天很冷且正在下雪”；

(2)公式¬p∨¬q的自然语言叙述可以是：“并非今天很冷或者并非正在下雪”，或者“今天不很冷或者没有正在下雪”；

(3)公式p→q的自然语言叙述可以是：“如果今天很冷，那么正在下雪”；

(4)公式¬p∨q的自然语言叙述可以是：“今天不很冷或者正在下雪”；

(5)公式¬¬p的自然语言叙述可以是：“并非今天不很冷”；

(6)公式¬p↔q的自然语言叙述可以是：“今天不很冷当且仅当正在下雪”。

点评：

1.当然这种题目的答案不惟一，但是有些同学的自然叙述十分不符合汉语习惯。另外，从汉语语义来说，¬p通常不应该理解为“今天不冷”，而应正确理解为“并非今天很冷”，或者“今天不很冷”。通常，“不很冷”与“不冷”的含义并不相同。第1个公式有许多人叙述为“今天不是很冷而且没有正在下雪”，这是错误的。

2.另外，对于上面将自然语言命题的符号化，不少同学将第3小题符号化为p→q，这是由于粗心所犯的错误。

作业1.3将下列命题符号化：

(1)他个子高且很胖。

(2)他个子高但不很胖。

(3)并非他个子高或很胖。

(4)他个子不高也不胖。

(5)他个子高或者他个子矮而很胖。

(6)他个子矮或他不很胖都是不对的。

(7)如果水是清的，那么或者张三能见到池底或者他是个近视眼。

(8)如果嫦娥是虚构的，而如果圣诞老人也是虚构的，那么许多孩子受骗了。

解答：

(1)令p表示“他个子高”，q表示“（他）很胖”，则句子“他个子高且很胖”符号化为p∧q；

(2)令p表示“他个子高”，q表示“（他）很胖”，则句子“他个子高但不很胖”符号化为p∧¬q；

(3)令p表示“他个子高”，q表示“（他）很胖”，则句子“并非他个子高或很胖”符号化为¬(p∨q)，注意，按照我对自然语言的理解，并非通常是否定后面整个句子，而非只是否定“他个子高”；

(4)令p表示“他个子高”，q表示“（他）很胖”，则句子“他个子不高也不胖”符号化为¬p∧¬q；

(5)令p表示“他个子高”，q表示“他个子矮”，r表示“（他）很胖”，则句子“他个子高或者他个子矮而很胖”符号化为p∨(q∧r)，按照我对自然语言的理解：(i).“他个子矮”不等于“并非他个子高”，因为日常生活中还常说某个人不高也不矮呢！所以我建议用不同的符号来表示这两个原子命题；(ii).句子的结构是“…或者…而…”，按我的理解，在自然语言中“而”的优先级也比“或”高。

(6)令p表示“他个子矮”，q表示“（他）很胖”，则句子“他个子矮或他不很胖都是不对的”符号化为¬(p∧¬q)。

(7)令p表示“水是清的”，q表示“张三能见到池底”，r表示“他是个近视眼”，则句子“如果水是清的，那么或者张三能见到池底或者他是个近视眼”符号化为p→(q∨r)；

(8)令p表示“嫦娥是虚构的”，q表示“圣诞老人是虚构的”，r表示“许多孩子受骗了”，则句子“如果嫦娥是虚构的，而如果圣诞老人也是虚构的，那么许多孩子受骗了”符号化为(p∧q)→r

作业1.4针对严格符合定义的公式，使用归纳法证明公式中左园括号的数目与公式中联结词的数目相同，同样右园括号的数目也与公式中联结词的数目相同。

证明对任意的公式A，按照A的结构实施归纳法：

(1)归纳基：若公式A是命题变量p，则其左园括号数目等于右园括号数目等于联结词数目等于0；

(2)归纳步：若公式A具有形式(¬B)，则按照归纳假设，B的左园括号数目等于右园括号数目等于联结词数目，则公式A比B多一个左园括号，一个右园括号以及一个联结词，因此公式A的左园括号数目也等于右园括号数目也等于联结词数目。类似地，若公式A具有形式(B⊕C)，其中⊕是∧,∨,→,↔之一，则按照归纳假设，公式B和C都满足其左园括号数目等于右园括号数目等于联结词数目，而公式A的左园括号数是B和C中左园括号数目之和加1，公式A的右园括号数也是B和C中右左园括号数目之和加1，公式A的联结词数也是B和C中联结词数目之和加1，因此公式A的左园括号数目也等于右园括号数目也等于联结词数目。

点评：许多数同学都没有做对，其关键错误在于在归纳步时，没有理解归纳假设到底是什么！另外，这一题对联结词个数进行归纳不是很妥，需要对公式的形式进行归纳。

作业1.5给定真值赋值函数t:Var→{0,1}，其中t(p)=t(q)=0,t(r)=t(s)=1，确定下列公式在真值赋值函数t下的真值：

(1).p∨(q∧r)(2).(p↔r)∧(¬q∨s)

(3).(¬p∧¬q∧r)↔(p∧q∧¬r)(4).(¬r∧s)→(p∧¬q)

解答：

(1).使用如下表格计算p∨(q∧r)在真值赋值函数t下的真值：

p q r q∧r p∨(q∧r)

00100

(2).使用如下表格计算A=(p↔r)∧(¬q∨s)在真值赋值函数t下的真值：

p q r s p↔r¬q(¬q∨s)A

00110110

(3).使用如下表格计算A=(¬p∧¬q∧r)↔(p∧q∧¬r)在真值赋值函数t下的真值：

p q r s¬p¬q(¬p∧¬q)(¬p∧¬q∧r)(p∧q)¬r(p∧q∧¬r)A

001111110000

(4).使用如下表格计算A=(¬r∧s)→(p∧¬q)在真值赋值函数t下的真值：

p q r s¬r(¬r∧s)¬q(p∧¬q)A

001100101