高考数学讲义导数及其应用.板块四.导数与其它知识综合1-函数.教师版

1．导数与函数的性质、基本初等函数的结合，这是导数的最主要的考查内容； 常常涉及到函数与方程的知识，有时需要结合函数图象求解； 2．导数与数列的结合，要注意数列作为函数的特殊性；

3．导数与三角函数的结合；

4．导数在不等式的证明中的运用，经常需要构造函数，利用导数去求单调性，证明不等式．

题型一：导数与函数综合

方程的根的问题

【例1】 若方程3320x ax -+=有三个不同实根，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．0a >

B ．1a >

C ．13a <<

D ．01a <<

【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】选择

【关键词】

【解析】 令3()32f x x ax =-+，22()333()f x x a x a '=-=-，要方程有三个不同实根，必须0a >（否则

()0f x '≥，()f x 单调增长，最多只有一根）

． 此时()f x 在(,)a -∞-上单调增加，在(,)a a -上单调减少，在(,)a +∞上单调增加． 要()0f x =有三个零点，当且仅法()0f a ->，且()0f a <． 解得1a >．

【答案】B

【例2】 已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值

1(0)m m -≠．设()()

g x f x x

=． ⑴若曲线()y f x =上的点P 到点()02Q ，的距离的最小值为2，求m 的值；

⑵若函数()y f x kx =-有且仅有一个零点，求k 的值，并求出相应的零点． ⑶()k k ∈R 如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．

【考点】导数与函数综合

【难度】3星

【题型】解答

【关键词】2009，广东，高考，题20

【解析】 ⑴依题可设2()(1)1g x a x m =++- （0a ≠），则()()2122g x a x ax a '=+=+；

知识内容

典例分析

板块四.导数与其它知识综合

又()g x '的图像与直线2y x =平行，∴22a =，1a =． ∴()()2

2112g x x m x x m =++-=++， ()()2g x m

f x x x

x

=

=+

+， 设()00P x y ，，则()

2

2

2

2

2

000002m PQ x y x x x ⎛⎫=+-=++ ⎪⎝

⎭

2

20

20

222|2m x m m m m x =+++=+≥

当且仅当2

20

20

2m x x =时，2||PQ 取得最小值，即||PQ

当0m >

=1m ；

当0m <

=1m =．

⑵由()()120m

y f x kx k x x

=-=-+

+=（0x ≠）

，得()2120k x x m -++= ① 当1k =时，方程①有一解2m x =-，函数()y f x kx =-有一零点2

m

x =-；

当1k ≠时，方程①有一解()4410m k ⇔∆=--=，解得1

1k m

=-．

此时有零点1

1

x m k ==--．

⑶∵0x ≠，由⑵知，函数()y f x kx =-存在零点⇔()2120k x x m -++= ①有解．

当1k =时，方程①有一解2m x =-

，函数()y f x kx =-有一零点2

m x =-； 当1k ≠时，方程①有一解()4410m k ⇔∆=--=，1

1k m

=-，

此时函数()y f x kx =-有一零点1

1

x m k ==--；

方程①有二解()4410m k ⇔∆=-->， 若0m >，11k m

>-

，

函数()y f x kx =-有两个零点x =，即x

若0m <，1

1k m

<-

，

函数()y f x kx =-有两个零点x =

，即x

综上，当1k =时，函数()y f x kx =-有一零点2

m

x =-；

当11k m >-（0m >）或1

1k m

<-（0m <）时，

函数()y f x kx =-有两个零点x =

当11k m =-时，函数()y f x kx =-有一零点1

1

x m k ==--．

【答案】⑴1m =-；⑵1

1k m

=-，零点x m =-；

⑶当1k =时，函数()y f x kx =-有一零点2

m

x =-；

当11k m >-

（0m >）或1

1k m

<-（0m <）时，

函数()y f x kx =-有两个零点x =；

当11k m =-时，函数()y f x kx =-有一零点1

1

x m k ==--．

【例3】 已知函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+为奇函数，

⑴求()f x 的解析式；

⑵求()f x 的单调区间．

⑶若()f x m =有三个不同的实根，求m 的取值范围．

【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】

【解析】 ⑴∵函数()f x 是奇函数，所以10a b ==，，于是3()48f x x x =-，

⑵∴2()3483(4)(4)f x x x x '=-=-+，

∴当(44)x ∈-，时，()0f x '<；当(4)(4)x ∈-∞-+∞U ，，时，()0f x '>． 所以()f x 在(44)-，上单调递减，在(4)-∞-，与(4)+∞，上单调递增． ⑶()(4)128f x f =-=极大，()(4)128f x f ==-极小， 当x →-∞时，()f x →-∞； 当x →+∞时，()f x →+∞， 故当(128128)m ∈-，时，()f x m =有三个不同的实根．

【答案】⑴3()48f x x x =-；⑵()f x 在(44)-，上单调递减，在(4)-∞-，与(4)+∞，

上单调递增． ⑶(128128)m ∈-，．

【例4】 设函数()32()f x x bx cx x =++∈R ，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数．

⑴求b 、c 的值．⑵求()g x 的单调区间与极值．

⑶若()g x m =有三个不同的实根，求m 的取值范围．

【考点】导数与函数综合 【难度】3星 【题型】解答

【关键词】2006，安徽，高考

【解析】 ⑴∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++．

从而322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++32(3)(2)x b x c b x c =+-+--是一个奇函数，故303

00b b c c -==⎧⎧⇒⎨

⎨-==⎩⎩

；

⑵由⑴知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，

由此可知，(-∞，

和)+∞是函数()g x 的单调递增区间；(是函数()g x 的单

调递减区间；

()g x 在x =极大值为()g x 在x =时取得极小值，极小值为- ⑶当x →-∞时，()g x →-∞；当x →+∞时，()g x →+∞，

故当(m ∈-时，()g x m =有三个不同的实根．

【答案】⑴3,0b c ==；

⑵(-∞-，

和)+∞是函数()g x 的单调递增区间；(是函数()g x 的单调递减区间；()g x 在x =()g x 在x =-

⑶(m ∈-．