高等数学习题集[附答案及解析]

第一章 函数与极限
§1 函数
必作习题
P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17
必交习题
一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从
出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；
(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、 证明函数1
2+=
x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin
)(2= ；
(2)1
212)(+-=x x x f ；
(3))1ln()(2++=x x x f 。

四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数
必作习题
P31－33 1，8，9，10，16，17
必交习题
一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：
(1))(x e f ；
(2))(ln x f ；
(3))(arcsin x f ；
(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e
f -；
(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；
(3)设x
x f -=
11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。

)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。

四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,
20,
2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

P42 3 (3) (4)，4，5，6
必交习题
一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =
；
(2)n n n n x n ++++++=
22212111Λ；
(3)n
x n x n n n
)1(1211122-=+++=-，Λ。

二、已知n
x n
n )1(1-+=，用定义证明：0lim =∞→n n x
P50 1 (2) (4)，2(2)，3，4，7，9
必交习题 一、用极限的定义证明：41
22 lim 21=--→x x x 。

二、用极限的定义证明：656 lim =+∞→x
x x 。

三、研究下列函数在0=x 处的左、右极限，并指出是否有极限： (1)x x x f ||)(=
；
(2)⎪⎩
⎪⎨⎧<+=>-=0,10,
00,1)(2x x x x x x f
四、用极限的定义证明：2)106( lim 22
=+-→x x x
§5 无穷大与无穷小 §6 极限运算法则
必作习题
P54-55 3，4，5； P63 1，2，3
必交习题
一、举例说明(当0→x 时)：(1)两个无穷小的商不一定是无穷小；(2)无界量不一定为无
穷大量。

二、求下列数列的极限： (1))121( lim 2
22n n n n n -+++∞→Λ=
(2)n
n n n n 6565 lim 1
1++++∞→=
(3))3
)1(27191311( lim 11
--∞→-++-+-n n n Λ=
三、求下列函数的极限： (1)1
1 lim 1--→x x x =
(2)h
x h x h 3
30)( lim -+→=
(3)))(( lim x a x x x -++∞
→=
(4))1311( lim 31x
x x ---→=
四、设21
2)1( lim 2334-=-++++∞→x x bx x a x ，求b a ,。

§7 极限存在准则 ，两个重要极限 §8
无穷小的比较 必作习题
P 71 1，2，4； P 74 1，2，3，4
必交习题
一、 求下列极限： (1) x
x x 3sin lim ∞→=
(2)a
x a x a x --→22sin sin lim =
(3)114sin lim 0-+→x x x =
(4)114 lim +∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛++x x x x =
(5)x
x x x 1011 lim ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+→=
二、用极限存在准则求证下列极限：
(1)设1(0=>i a i ～),m },,m ax {1m a a M Λ=；证明： M a a a n n
m n n n =+++∞→Λ21lim
(2)设31>x ，),2,1(3)1(31Λ=++=+n x x x n
n n 。

证明此数列收敛，并求出它的极限。

三、确定k 的值，使下列函数与k x ，当0→x 时是同阶无穷小： (1)
x x +-+111；
(2)53243x x -；
(3)x x sin 1tg 1--+。

四、已知11 lim 21=-++→x b a x x ，求b a 和. 。

三、用极限定义证明：
(1) 若)(∞→→n a x n ，则对任一自然数k ，也有)(∞→→+n a x k n ；
(2) 若)(∞→→n a x n ，则)(||||∞→→n a x n ，并举例说明反之未必成立；
(3) 若)(0||∞→→n x n ，则)(0∞→→n x n 。

四、 设数列}{n x 有界，又0 lim n =∞→n y ，证明0 lim n =∞
→n n y x 。

§9 函数的连续性与间断点
必作习题
P80 1，2，3
必交习题
一、当0=x 时下列函数)(x f 无定义，试定义)0(f 的值，使)(x f 在0=x 连续： (1)1111)(3-+-+=
x x x f ；
(2)x
x x f 1sin sin )(⋅=。

二、指出下列函数的间断点并判定其类型： (1)311)(x x x f ++=
；
(2))
1(||)(22--=x x x x x f ；
(3)⎪⎩
⎪⎨⎧≤<-+>=-0
1)1ln(0)(1
1x x x e x f x 。

三、确定b a 和，使函数)
1)(()(---=x a x b e x f x 有无穷间断点0=x ；有可去间断点1=x 。

四、设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且对任何21,x x 有
)()()(2121x f x f x x f +=+，
证明：若0)(=x x f 在连续，则),()(+∞-∞在x f 上连续。

§10 连续函数的运算与初等函数的连续性
§11 闭区间上连续函数的性质
必作习题
P85-86 1，2，3； P91 1，2，3
必交习题
一、 欲使
⎪⎩
⎪⎨⎧->++-=-<+=1)ln(111)(22x x x b x x x a x f ，，，
在1-=x 处连续，求b a ,。

二、求下列极限： (1)x a
a x x ln )ln( lim 0-+→=
(2)x
x x e x 1
)( lim 0+→=
(3)x (x-x cos 21)
sin lim 33-→π
π=
(4)x x x 2sin 1
)(cos lim →=
三、证明方程=-x x 351至少有一根介于1和2之间。

四、设函数)(x f 在区间]2,0[a 上连续，)2()0(a f f =，证明在区间],0[a 上至少存在一
点0x 使得)()(00a x f x f +=。