初二数学复习_常见辅助线
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专题学习
----几何证明中常见的 “添辅助线”方法
----“周长问题”的转化
Ⅰ.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—X和Y 语言描述:连结XY 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
Ⅰ.连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
A
AB+ BM+AM+6
13+6
B
N
M
C
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”
5.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
A
AB+AC+BC
AM+ BM+AN+NC+6
AM+ MP+AN+NP+6 M P N
连结AD
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
Ⅰ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，
OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
C
D
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD 构造两个等腰三角形
Ⅰ.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
Ⅰ.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
在证明过程中描述添法
Ⅳ.中线延长一倍
1.AD是△ABC的中线求 ， 证：AD 1 ( AB AC) 2
延长AD到点E，使DE=AE，
A
连结CE.
C B
D
E
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
2.如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
延长BE和CD交于点F
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
构造了:
全等的直角三角形
C
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
B
A
E
wk.baidu.comDF
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
BE+BC
A
B E
BE+AC
BE+AE
AB
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
2.如图,△ABC中,∠C=90o, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE
A
BD+CE+DE
BC
B
D
E
C
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
3.如图,A、A 关于OM对称, A、A 关于ON对称.
A
过点D作DE⊥AB
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
B
C
D
思考:
若AB=15cm,则△BED的周长是多少?
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B A
BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
F
过点E作EF⊥BC
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
1
2
若A A =6cm,求△ABC的周长.
12
AB+AC+BC
A1
M
A1 B+ A2 C+BC
A1 A2
O
B A
N C
A2
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
4.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长.
AB+BC+AC
A
AB+ BM+MC+6
在证明过程中描述添法
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
E
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
C D
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB
F
构造了:
D
全等的直角三角形且距离相等
O
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
C P
G EB
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
AM+AN+MN+6
B
C
13+6
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
----几何证明中常见的 “添辅助线”方法
----“周长问题”的转化
Ⅰ.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—X和Y 语言描述:连结XY 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
Ⅰ.连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
A
AB+ BM+AM+6
13+6
B
N
M
C
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”
5.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
A
AB+AC+BC
AM+ BM+AN+NC+6
AM+ MP+AN+NP+6 M P N
连结AD
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
Ⅰ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC，
OB=5cm，求OD的长.
连结BD
AC
构造全等三角形
O
D
B
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
C
D
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD 构造两个等腰三角形
Ⅰ.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,
求证:点M是CD的中点.
连结AC、AD
A
构造全等三角形
B
E
C MD
Ⅰ.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
在证明过程中描述添法
Ⅳ.中线延长一倍
1.AD是△ABC的中线求 ， 证：AD 1 ( AB AC) 2
延长AD到点E，使DE=AE，
A
连结CE.
C B
D
E
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
2.如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
延长BE和CD交于点F
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
Ⅳ.中线延长一倍
目的:构造直角三角形,得到斜边相等 适用情况:图中已经存在一条线段MN
和垂直平分线上一个点X 语言描述:连结XM和XN 注意点:双添---在图形上添虚线
构造了:
全等的直角三角形
C
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
B
A
E
wk.baidu.comDF
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
BE+BC
A
B E
BE+AC
BE+AE
AB
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
2.如图,△ABC中,∠C=90o, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE
A
BD+CE+DE
BC
B
D
E
C
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
3.如图,A、A 关于OM对称, A、A 关于ON对称.
A
过点D作DE⊥AB
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
B
C
D
思考:
若AB=15cm,则△BED的周长是多少?
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, B A
BE、CE均是角平分线,
求证:BC=AB+CD.
F
过点E作EF⊥BC
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
1
2
若A A =6cm,求△ABC的周长.
12
AB+AC+BC
A1
M
A1 B+ A2 C+BC
A1 A2
O
B A
N C
A2
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
4.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长.
AB+BC+AC
A
AB+ BM+MC+6
在证明过程中描述添法
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
A
E
过点D作DE⊥AB
B
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
C D
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB
F
构造了:
D
全等的直角三角形且距离相等
O
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
C P
G EB
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
AM+AN+MN+6
B
C
13+6
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！