基于小波变换的图像融合算法研究毕业论文

基于小波变换的图像融合算法研究
摘要
本文给出了一种基于小波变换的图像融合方法，并针对小波分解的不同频率域，分别讨论了选择高频系数和低频系数的原则。

高频系数反映了图像的细节，其选择规则决定了融合图像对原图像细节的保留程度。

本文在选择高频系数时，基于绝对值最大的原则，低频系数反映了图像的轮廓，低频系数的选择决定了融合图像的视觉效果，对融合图像质量的好坏起到非常重要的作用。

图像融合是以图像为主要研究内容的数据融合技术，是把多个不同模式的图像传感器获得的同一场景的多幅图像或同一传感器在不同时刻获得的同一场景的多幅图像合成为一幅图像的过程。

MATLAB小波分析工具箱提供了小波分析函数，应用MATLAB进行图像融合仿真，通过突出轮廓部分和弱化细节部分进行融合，使融合后的图象具有了两幅或多幅图象的特征，更符合人或者机器的视觉特性，有利于对图像进行进一步的分析和理解，有利于图像中目标的检测和识别或跟踪。

关键词小波变换；融合规则；图像融合
Image Fusion Algorithm Based on Wavelet
Transform
Abstract
In this paper, the image fusion method based on wavelet transform, and for the wavelet decomposition of the frequency domain, respectively, discussed the principles of select high-frequency coefficients and low frequency coefficients. The high-frequency coefficients reflect the details of the image, the selection rules to determine the extent of any reservations of the fused image on the original image detail. The choice of high-frequency coefficients, based on the principle of maximum absolute value, and consistency verification results. The low-frequency coefficients reflect the contours of the image, the choice of the low frequency coefficients determine the visual effect of the fused image, play a very important role in the fused image quality is good or bad.
MATLAB Wavelet Analysis Toolbox provides a wavelet analysis function using MATLAB image fusion simulation, highlight the contours of parts and the weakening of the details section, fusion, image fusion has the characteristics of two or multiple images, more people or the visual characteristics of the machine, the image for further analysis and understanding, detection and identification or tracking of the target image.
Keywords Wavelet transform; Fusion rule; Image Fusion
目录
摘要 (I)
Abstract (II)
第1章绪论 (5)
1.1 课题研究的意义及背景 (5)
1.1.1 本课题的研究背景 (5)
1.1.2 课题研究的实际意义 (7)
1.2 本文的主要内容 (7)
第2章小波变换理论基础 (10)
2.1小波变换 (10)
2.1.1小波变换的思想 (10)
2.1.2 连续小波基函数 (11)
2.1.3 连续小波变换 (12)
2.1.4 离散小波变换 (13)
2.1.5 二进小波变换 (13)
2.2多分辨率分析与离散小波快速算法 (14)
2.2.1 多分辨率分析 (14)
2.2.2尺度函数和尺度空间 (15)
2.2.3 离散小波变换的快速算法 (15)
2.3几种常用的小波 (16)
2.4 Mallat的快速算法 (18)
2.5 本章小结 (19)
第3章基于小波变换的图像融合方法研究 (20)
3.1图像融合概述 (20)
3.2图像融合的方法 (20)
3.3基于小波变换的图像融合算法原理 (21)
3.3.1 基于小波分解的融合算法流程 (21)
3.3.2 高频系数融合规则 (22)
3.3.3低频系数融合规则 (23)
3.4 本章小结 (25)
第4章实验结果及分析 (26)
4.1 实验的仿真 (26)
4.2 实验的结果分析 (27)
4.3 本章小结 (28)
致谢 (30)
参考文献 (31)
附录A (32)
附录B (34)
第1章绪论
1.1课题研究的意义及背景
1.1.1本课题的研究背景
图像融合是以图像为主要研究内容的数据融合技术，是把多个不同模式的图像传感器获得的同一场景的多幅图像或同一传感器在不同时刻获得的同一场景的多幅图像合成为一幅图像的过程。

由于不同模式的图像传感器的成像机理不同，工作电磁波的波长不同，所以不同图像传感器获得的同一场景的多幅图像之间具有信息的冗余性和互补性，经图像融合技术得到的合成图像则可以更全面、更精确地描述所研究的对象．正是由于这一特点，图像融合技术现已广泛地应用于军、遥感、计算机视觉、医学图像处理等领域中。

图像融合的目的和意义在于对同一目标的多个图像可以进行配准、合成，以克服单一图像的局限性，使有关目标图像更趋完备，从而提高图像的可靠性和清晰度。

以获得对某一区域更准确、更全面和更可靠的描述，从而实现对图像的进一步分析和理解，或目标的检测、识别与跟踪。

基于小波变换的图像融合方法可以聚焦到图像的任意细节，被称为数学上的显微镜。

近年来，随着小波理论及其应用的发展，已将小波多分辨率分解用于像素级图像融合。

小波变换的固有特性使其在图像处理中有如下优点：完善的重构能力，保证信号在分解过程中没有信息损失和冗余信息；把图像分解成平均图像和细节图像的组合，分别代表了图像的不同结构，因此容易提取原始图像的结构信息和细节信息；小波分析提供了与人类视觉系统方向相吻合的选择性图像。

但是，图像融合的大多数方法是针对静态图像，在一些实时性要求高的场合缺乏必要的实时性，限制了应用范围。

小波分析（wavelet）是在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科，近十几年来得到了飞速的发展．作为一种新的时频分析工具的小波分析，目前已成为国际上极为活跃的研究领域．从纯粹数学的角度看，小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；从应用科学和技术科学的角度来看，小波分析又是计算机应用，信号处理，图形分析，非线性科学和工程技术近些年来在方法上的重大突破．由于小波分析的“自适应性”和“数学显微镜”的美誉，使它与我们观察和分析问题的思路十分接近，因而被广泛应用于基础科学，应用科学，尤其是信息科学，信号分析
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。

正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家grange，place以及A.M.Legendre的认可一样。

幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Yammerer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法棗多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。

它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展[1]。

Matlab 是MathWorks 公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件，它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。

在Matlab环境下，对图像的分析和处理可采用人机交互的方式，用户只需按Matlab的格式要求给出相应的命令，其分析处理结果便以数值或图形方式显示出来。

作为一种应用广泛的编程工具，Matlab在图形处理方面有着明显的优势：具有强大的矩阵运算功能，时观察图形的变化；带有丰富的图像处理函数库，其图像处理工具箱(image processing toolbox)几乎涵盖了所有常用的图像处理函数，Matlab在图像处理中的应用都是由相应的Matlab函数来实现[3]。

随着计算机性能的不断提高，人们发现工程上的许多问题可以通过计算机强大的计算功能来辅助完成。

如此一来，MATLAB软件强大的数值运算核心开始被关注。

经过近20年的发展，MATLAB的核心被进一步完善和强化，同时许多工程领域的专业人员也开始用MATLAB构造本领域的专门辅助工具，这些工具后来发展为MATLAB的各种工具箱。

特别值得一提的是，MATLAB 是一种开放式的软件，任何人经过一定的程序都可以将自己开发的优秀的应用程序集加入到MATLAB工具的行列。

这样，许多领域前沿的研究者和科学家都可以将自己的成果集成到MATLAB之中，被全人类继承和利用。

因此，我们现在看到的MATLAB才会如此强大和丰富[2]。

小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面；例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。

在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。

在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。

在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。

(1)小波分析用于信号与图像融合是小波分析应用的一个重要方面。

它的特点是融合准确度高，融合效果好，融合后能保持信号与图像的总数据量不变，且在传递中可以抗干扰。

基于小波分析的融合方法很多，比较成功的有基于多分辨分析的图像融合，应用Mallat小波变换算法进行图像数据融合等。

(2)小波在信号分析中的应用也十分广泛。

它可以用于边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。

(3)在工程技术等方面的应用。

包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面[3]。

MATLAB是功能强大地科学及工程计算软件，它不但具有以矩阵计算为基础的强大数学计算和分析功能，而且还具有丰富的可视化图形表现功能和方便的程序设计能力。

MATLAB的应用领域极为广泛，除数学计算和分析外，还被应用于自动控制、系统仿真、数字信号领域、图形图像分析、数理统计、人工智能、虚拟现实技术、通信工程、金融系统等领域[4]。

目前小波分析在许多工程领域中都得到了广泛的应用，成为科技工作者经常使用的工具之一。

MATLAB作为一种高性能的数值计算和可视化软件，经过各个领域专家的共同努力，现已包含信号处理、图像处理、通信、小波分析、系统辨识、优化以及控制系统等不同应用领域的工具箱。

因此，对此次课题的研究有着十分广泛的意义[3]。

1.2本文的主要内容
本文给出了一种基于小波变换的图像融合方法，针对原图像小波分解的不同频率域，分别讨论了高频系数和低频系数的选择原则。

高频系数反映了图像的细节，其选择规则决定了融合图像对原图像细节的保留程度。

本文在选择高频系数时，基于绝对值最大的原则，并对选择结果进行了一致性验证。

低频系数反映了图像的轮廓，低频系数的选择决定了融合图像
在某些情况下，由于受照明、环境条件、目标状态、目标位置以及传感器固有特性等因素的影响，单一的图像信息不足以用来对目标或场景进行更好的检测、分析和理解，需要多幅图像融合来得到更全面的信息。

图像融合是将两幅或多幅图像融合在一起，帮助理解图像并快速地获取感兴趣的信息。

图像融合技术得到的合成图像则可以更全面、更精确地描述所研究的对象，所以在多方面图象融合的意义还是十分的巨大的，这也是我选择此课题的原因。

本文的具体内容如下
(1)什么是图像融合及图像融合。

图像融合就是通过一种特定的算法将两幅或多幅图像合成为一幅新的图像。

以获取对同一场景的更为精确、更为全面、更为可靠的图像描述。

融合算法应该充分利用各原图像的互补信息，使融合后的图像更适合人的视觉感受，图像融合可分为三个层次：像素级融合，特征级融合，决策级融合。

其中像素级融合是最低层次的融合，也是后两级的基础。

它是将各原图像中对应的像素进行融合处理，保留了尽可能多的图像信息，精度比较高，因而倍受人们的重视。

(2)什么是基于小波变换的图像融合。

在众多的图像融合技术中，基于小波变换的图像融合方法已成为现今研究的一个热点。

这类算法主要是利用人眼对局部对比度的变化比较敏感这一事实，根据一定的融合规则，在多幅原图像中选择出最显著的特征，例如边缘、线段等，并将这些特征保留在最终的合成图像中。

在一幅图像的小波变换中，绝对值较大的小波系数对应于边缘这些较为显著的特征，所以大部分基于小波变换的图像融合算法主要研究如何选择合成图像中的小波系数，也就是三个方向上的高频系数，从而达到保留图像边缘的目的。

虽然小波系数(高频系数)的选择对于保留图像的边缘等特征具有非常主要的作用，但尺度系数(低频系数)决定了图像的轮廓，正确地选择尺度系数对提高合成图像的视觉效果具有举足轻重的作用。

(3)传统方法与所要研究方法的优劣。

传统的基于小波变换的图像融合中大多数是采用像素平均法，这样得到的融合结果与原始图像的清晰的区域相比，其对应区域的图像质量会有所降低，而也模糊区域相比，其对对应区域的图像又得到了提高，这种方法一定程度上降低了图像的对比度，效果不是很理想，另有一种方法是平均与选择相结合的方法，这种方法是根据两幅图像的相关性采用平均法或选择法，当两幅图像的相关性较强时，就采用平均法，当两幅图像相关性较弱时，就选择局部能量较大的点，这种选择原则在一定程度上符合人眼对较显著的点比较敏感这一事实，图片效果有所提高。

但是其未考虑到图
选择最有可能是边缘的点加以保留，这样才能使得合成图像比较清晰，细节丰富。

(4)基于小波变换的图像融合的Matlab实现及程序的编写。

Matlab具有强大的计算功能和丰富的工具箱函数，例如图像处理和小波工具箱包含了大多数经典算法，并且它提供了一个非常方便快捷的算法研究平台。

本文通过Mtalab很好的完成了仿真。

第2章 小波变换理论基础
2.1 小波变换
小波分析（Wavelet Analysis ）是在现代调和分析的基础上发展起来的一门新兴学科，其基础理论知识涉及到函数分析、傅立叶分析、信号与系统、数字信号处理等诸方面，同时具有理论深刻和应用十分广泛双重意义。

我们只对小波分析的整体思想进行介绍。

2.1.1小波变换的思想
小波变换继承和发展了Gabor 的加窗傅立叶变化的局部化思想，并克服了傅立叶变换窗口大小不能随频率变化的不足，其基本思想来源于可变窗口的伸缩和平移。

小波变换利用一个具有快速衰减性和振荡性的函数(成为母子波)，然后将其伸缩和平移得到了一个函数族(称之为小波基函数)，以便在一定的条件下，任一能量有限信号可按其函数族进行时－频分解，基函数在时-频相平面上具有可变的时间-频率窗，以适应不同分辨率的需求[5]。

2ωω0ω ⎝
⎛=21a (=a (=a
图2-1 小波变换的时频平面的划分 在加窗傅立叶变换中，一旦窗函数选定，在时频相平面中窗口的大小是固定不变的，不随时频位置(t ，f )而变化，所以加窗傅立叶变换的时-频分辨率是固定不变的，小波变换的时频相平面如图2-1所示，窗函数在时频相平面中随中心频率变换而改变，在高频处时窗变窄，在低频处频窗变窄，因而满足对信号进行时-频分析的要求。

它非常适合于分析突变信号和不平稳信号。

况且小波变换具有多分辨率分析的特点和带通滤波器的特性，并且可用快速算法实现[5]，因而常用于滤波、降噪、基频提取等。

但对平稳信号来说，小波分析的结果不如傅立叶变换直观，而且母小波的不
小波分析属于时频分析[6]的一种。

传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础之上的，由于傅立叶分析使用的是一种全局的变换，只提供信号的频域信息，而不提供信号的任何时域信息，因此无法表述信号的时频局域性质，而这性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。

2.1.2 连续小波基函数
小波函数的确切定义[10]为：设)(t φ为一平方可积函数，也即()R L t 2)(∈φ，若其傅立叶变换满足 ()∞<ψ⎰ωωωd R 2
则称)(t φ为一个基本小波或小波母函数，并称上式为小波函数的可容许性条件。

连续小波基函数)(,t a τφ的定义为：将小波母函数)(t φ进行伸缩和平移，设其伸缩因子(又称尺度因子)为a ，平移因子为τ，令其平移伸缩后的函数为)(,t a τφ，则有
()R a a t a t a ∈>⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-ττφφτ,0,2/1, (2-1) 称)(,t a τφ为依赖于参数τ,a 的小波基函数，由于尺度因子a 、平移因子τ是取连续变化的值，因此称)(,t a τφ为连续小波基函数。

它们是由同一母函数)(t φ经伸缩和平移后得到的一组函数系列。

定义小波母函数)(t φ窗口宽度为t ∆，窗口中心为0t ，则相应可求得连续小波)(,t a τφ的窗口中心为ττ+=0,at t a ，窗口宽度为t a t a ∆=∆τ,。

同样，设()ωψ为)(t φ的傅立叶变换，其频域窗口中心为0ω，窗口宽度为ω∆，设)(,t a τφ的傅立叶变换为)(,ωτa ψ，则有
()()ωωωττa e a j a ψ=ψ-21
, (2-2)
所以，其频域窗口中心为0,1ωωτa a = 窗口宽度为ωωτ∆=∆a
a 1, 可见，连续小波)(,t a τφ的时、频域窗口中心及宽度均随尺度a 的变化而伸缩，若我们称ω∆⋅∆t 为窗口函数的窗口面积，由于
ωωωττ∆∆=∆∆=∆∆t a
t a t a a 1,, (2-3)
不准原理证明的：ω∆∆t 大小是相互制约的，乘积2
1≥∆⋅∆ωt ，且只有当)(t φ为Gaussian 函数时，等式才成立。

由此可得到如下几点结论：
(1)尺度的倒数a
1在一定意义上对应于频率ω，即尺度越小，对应频率越高，尺度越大，对应频率越低。

如果我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信号；
(2)在任何τ值上，小波的时、频窗口的大小t ∆和ω∆都随频率ω(或者a
1)的变化而变化。

这是与STFT 的基的不同之处； (3)在任何尺度a 、时间τ上，窗口面积ω∆⋅∆t 保持不变，也即时间、尺度分辨率是相互制约的不可能同时提的很高；
(4)由于小波母函数在频域具有带通特性，其伸缩和平移系列就可以看作是一组带通滤波器。

通常将通带宽度与中心频率的比值称为带通滤波器的品质因数，通过计算可以发现，小波基函数作为带通滤波器，其品质因数不随尺度a 而变化，是一组频率特性等Q 的带通滤波器组[6]。

2.1.3 连续小波变换
将任意()R L 2空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换(Continue Wavelet Transform,简记为CWT)，其表达式为
()dt a t t f a t t f a WT R a f ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==⎰τφφττ)(1),(),(, (2-4) 由CWT 的定义可知，小波变换同傅立叶变换一样，都是一种积分变换，同傅立叶变换相似，称()τ,a WT f 为小波变换系数。

由于小波基不同于傅立叶基，因此小波变换和傅立叶变换有许多不同之处。

其中最重要的是，小波基具有尺度a 、平移τ两个参数。

因此，将函数在小波基下展开就意味着将一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上。

并且，由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。

与STFT 不同的是，小波变换是一种变分辨率的时频联合分析方法。

当分析低频(对应大尺度)信号时，其时间窗很大，而当分析高频(对应小尺度)信号时，其时间窗减小。

这恰恰符合实际问题中高频信号的持续时间短、低频信号持续时间较长的规律[7]。

由连续小波的概念知道，在连续变化的尺度a 及时间τ值下，小波基函数)(,t a τφ具有很大的相关性，体现在不同点上的CWT 系数满足重建核方程，因此信号()t f 的连续小波变换系数()τ,a WT f 的信息量是冗余的。

虽然在某些情况下，其冗余性是有益的(例如在去噪，进行数据恢复及特征提取时，常采用CWT ，以牺牲计算量、存储量为代价来获得最好的结果)，但在很多情况下，我们希望在不丢失原信号()t f 信息的情况下，尽量减小小波变换系数的冗余度。

减小小波变换系数冗余度的作法是将小波基函数的a 、τ限定在一些离散点上取值。

一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，
即取m m a a 0=(m 为整数，10≠a ，一般取20=a )。

关于位移的离散化，当120==a 时，()()τφφτ-=t t a ,。

通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。

为了不丢失信息，要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理，即采样频率大于等于该尺度下频率通常的2倍。

每当m 增加1，尺度a 增加一倍，对应的频带减小一半，可见采样率可以降低一半，也就是采样间隔可以增大一倍。

因此，如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ，则在尺度为m 2时，间隔可取为s m T 2。

此时()t a τφ,可表示为[7]
()()n t t m m
n m -=--222,φφ Z n m ∈, (2-5)
任意函数()t f 的离散小波变换为
()()()dt t t f n m WT n m R
f ,,φ⎰= (2-6) 2.1.5 二进小波变换
对于尺度及位移均离散变化的小波序列，若取离散栅格的20=a ，0=∆τ，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化，我们称这类小波为二进小波，表示为
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-k k t k 222,2τφφτ (2-7) 二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进小波仍具有连续小波变换的时移共变性，这是它较之离散小波变换所具有的独特优点[7]。

二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，因此二进小波仍具有连续小波变换的时移共变性，这是它较之离散小波变换所具有的独特优点[7]。

2.2 多分辨率分析与离散小波快速算法
2.2.1 多分辨率分析
多分辨率分析(Multi-Resolution Analysis ——MRA)，又称为多尺度分析是建立在函数空间[3]概念上的理论。

但其思想的形成来源于工程，其创建者S.mallat 是在研究图像处理问题时建立这套理论。

当时研究图像的一种很普遍的方法是将图像在不同尺度下分解，并将结果进行比较，以取得有用的信息。

Meyer 正交小波基的提出，使得Mallat 想到是否用正交小波基的多尺度特性将图像展开，以得到图像不同尺度间的“信息增量” [8]。

这种想法导致了多分辨率分析理论的建立。

MRA 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。

其思想又同多采样滤波器组不谋而合，可将小波变换同数字滤波器的理论结合起来。

因此多分辨率分析在正交小波变换理论中具有非常重要的地位。

若把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将照相机由远及近的接近目标，在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，可观测到目标的细微部分。

因此随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精的观察目标。

这就是多尺度(即多分辨率)的思想。

图2-2 小波空间和尺度空间的包含关系 多分辨率分析是指满足下列性质的一系列闭子空间{}Z j V j ∈,： (1)一致单调性： ⋅⋅⋅⊂⊂⊂⊂⊂⊂⋅⋅⋅--21012V V V V V
(2)渐近完全性： {}0=∈j Z j V ；()R L V j Z
j 2=∈ (3)伸缩规则性： ()
02)(V t f V t f j j ∈⇔∈ Z j ∈
(4)平移不变性： ()()00V n t f V t f ∈-⇒∈，对所有Z n ∈
(5)正交基存在性： 存在0V ∈φ，使得(){}z n n t ∈-φ是0V 的正交基，即 (){}n t span V n -=φ0，()
()n m R
dt m t n t ,δφφ=--⎰。