凸函数的性质及其应用
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推论 ：若 ， 为 区间 ｊ ∽ 上的 凸函 数， ｘ） 区间 珀 ｑ 则 在 内点连 续， 定理 ７ ， 为 区间 ａ 】 的凸 函数 日 对 Ｖｘ ａ 】 ３ ∈Ｒ ：㈤ ，上 ｂ ０ ， ， 仅 Ｅ［ｂ ，
ｓ 对 ｘ∈ Ｉ ． ｔ 奄
， ≥ ｏ（ ∽ ｔ 卜 来自百度文库 ｔ
定义 １ ：设 ｆ ） 区间 Ｊ 在 上有 定 义 ， ） Ｊ 成为 凸函数 当 ， 在 上 且仅 当对 Ｖ ｘ，ｘ ∈Ｉ 一 ２ ，Ｖ Ａ∈（， 有 ， Ａ ＋１ ０１ ） （ 。（一Ａ） ） Ａ， ｘ） ≤ ２ （ Ｉ ＋
，
故对 Ｖｏ （） ｔ ≥当 ｘ＜ｘ 时有 ， ≥ ｏ ） ｃ ０ ） ｔ 一 同理 ，当取 仅≤ 因为 ） ≤ ） ， 当 ＞Ｘ 时有 ， ≥ 仅 时 ０ ） ）
牟 ）砉 ≤ ） 吾
，
） ，故对 Ｖ ： （ ） 仅≤ ｘ≤ ｏ
） Ｖｘ Ｅ ａ 】 对 ０ ［， ｂ
另 ：设 ． ） ０ Ｒ上 的凸 函数 ，但 ＝ 一 仍 为 凸 函数 厂 （ ＝ｔ＞ 为
定理 ６ ：若－（ 为 区间 Ｊ 厂 ｘ） 上的凸函数 ，对 Ｖｘ∈Ｉ ，Ｋｘ Ｊ 为 的 内点 ， 则单侧导数厂（ ， （ 皆存在，且厂（ ≤ ） Ｖ ｅＤ ） ） ） （ （
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２７ ・月 下 ０年 ８ ・期 ０
学 理 现 代 衾－ 术・ 论 业 ｆ
凸函数的性质及其应用
（ 长江 大学 杜 厚 维 湖北 荆州 ４ ４２ ３ ０ ３）
摘 要 ：本 文 给 出 了 凸函 数 几 种 等 价 定 义 ， 并 讨 论 了 凸函 数 的 一 些性 质 及 其 应 用 关键 词 ：凸 函数 凸 函数 性质 Ｊｎｅ 不 等式 ｅ ｓｎ
，（ Ａ ｊ ）≤ Ａ ｆ（ ） ，
厂 ≥仅 一 ∽ ‘
）
（ Ｖ ｘ∈［．】 ａｂ）
≥ 仅 ≥—
在上 式 中分 令 ： ， ： 得 —ｘ （ ） ｆ ３ ｆｘ （） ， －
即 证 。
ｆｘ） （ ） （ ｘ ２ ｆ １ －
，
。 ‘
从 而ｆ（ｔ ｙ≥ ｃ ｘ＋ ｆ ｏ ＋ ） ｔ ） ∽＝仅１ ｒ ｌｙ ｌｘ ｇ ｆ（ ｒ＋ Ｌ ｎ＝ｎ “ｙ 或 Ｉ ｏ Ｙ ｎ（ｔ ＋ ）≥ ｌ（“ ｎ ｙ ） ｘ
由 矿的单调 增加性 ： ‘ ’ Ⅱ ，即 仅 ＋ Ｙ ｘ Ｙ ｑ ｎ ≥ “ ＂ ≥ “ 例 ２ 证明： ： 对 何正数 Ｙ ， 证 明 ：注 意不 等式 系数 之 和 １ 百 ＝ ，且 、 及 系数 均 为 １１ Ｙ
证 明 ：（ 必要 性 ）已知 － ） 区间 ［， 上 的凸 函数 ，则 由定理 厂 为 ａｂ 】 ６ ，对 Ｖｘ ∈ ａｂ ∽存 在 ，且 知 ｏ ，， 】 单 增趋 于 ） 。
， （ ） 阜 ≤
定义 ３ ：设 － 在 区间 Ｊ 厂 ㈥ 上有 定 义 ， ） Ｊ 成 为 凸函数 当且 ， 在 上 仅 当对 Ｖｘ ，ｘ，… ， ∈ Ｉ ２ ｘ ，有
推论 １ ：若 ｆ ） 区间 Ｊ 为 凸 函数 ，则对 Ｊ Ｖｘ ， ， 在 上 上 Ｉ ＜ 有
ｆ ２ ｓ 。 ｆ ３厂 。 ） ） ） ） ３ － ． ： ，ｆ ）
总有 ，∽ ≥ 仅
） ０ 。
２ ） —了 ■一 每—了 ■一 每 —了 丁一
３ 、应 用 举 例 ：
例１ ：用 凸函数 方法 证 明 ｙｕ ｇｒ ｏ ｎｅ 不等 式 ：ｘ Ｙ。 仅肿 ｙｘ ≤ （， Ｙ 仅， 均 为 正数 ， 仅＋ ： ） ， １ 证 明 ：令 ｆｘ＝ｒ ，则 ， ∽＝ 了 ＜０ ， 为 凹 函数 。 （ ｌｘ ） ｔ 一１ ， ）
（一Ａ ， ） … …… １ ） （ Ａ）
若 （ 式 不 等 号反 向 ，则 称，（） Ｉ 的 凹函数 。 Ａ） 为 上 若 （ Ａ）式 “ ≤” 改为 “ ＜” 则 称． 为 Ｊ 的严 格 凸函数 。 厂（ ） 上 定义 ２ ：设 ，（ 区间 Ｊ 有 定 义 ， ） Ｊ 神在 上 ， 在 上成 为 凸 函数 当且 仅 当对 Ｖｘ ，ｘ ． ，∈Ｉ ，有
（ 分 性 ）对 充 使 得
．
＜ ，＜ ∈ ａｂ， 由题 设 ，对 ‘ ，存 在 ｏ， ［，】 ｔ
注 ：若 ｆ（ 在 Ｊ 连续 ，则上 述 定 义 １ ，３ 价 ｘ） 上 ，２ 等 ２ 性 质 、 定理 １ ：若 ｆ ） 区间 Ｊ 为 凸 函数 ，对 Ｖ ｋ≠ ０则 ： ｉ 在 ｘ 上 ， ｋ０时 ， ㈣ 在 区间 上为 凸 函数 ＞ ｋ０ ， 切 在 区问 上为 凹 函数 ＜时 定理 ２ ：若 ） ） 区间 Ｊ 为 凸函数 ，对 Ｖｋ， ∈Ｒ ，ｇ 在 上 ｌ ， ｋ ｋ ０ ２０ ， ｌ ，＞ 时 ＞ｋ ） ， ） ， 的凸函数 ｇ 为 上 ｋ ０ ０ ，七 ）七 ｌ， 时 ＜ ＜ ＋ ） Ｊ 的凹 函数 为 上 注 ： 定 理 ２中的 ． ， ， 有一 个 为零 时 ，即为定 理 １ 定理 ３ ：若ｆ（） ） 区间 Ｊ 为 凸函数 ，则 ｍ ｘ ｘ ， ） ｘ ，ｇ 在 上 ａ￣（） ｝ ｇ 为 Ｊ 的 凸函 数 上 定理 ４ Ｊｎｅ 不 等式 ） Ｖ Ａ ≥ ０ （ ＝ １ ，…ｎ 且 ：（ｅｓｎ 对 ， ｉ ，２ ） Ａ ＝ ，则 对 Ｖｘ ∈， ＝ ，２ １ ，ｉ１ ，…ｎ 。有
凸 函数 是 一 类 非常 重 要 的 函数 ，广 泛应 用 于数 学 规 划 、控 制 论 等 领 域 ，本 文 讨 论 了凸 函 数 几 种 等 价 定 义 ，相 关 性 质 及 应 用 。
１ 、定 义
由于 ， （ ） （ ） ２（ Ｙ≥ ｙ
Ｙ ， （ 式 成立 ，结 论得 证 。 ）故 Ｄ）
ｓ 对 ｘ∈ Ｉ ． ｔ 奄
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定义 １ ：设 ｆ ） 区间 Ｊ 在 上有 定 义 ， ） Ｊ 成为 凸函数 当 ， 在 上 且仅 当对 Ｖ ｘ，ｘ ∈Ｉ 一 ２ ，Ｖ Ａ∈（， 有 ， Ａ ＋１ ０１ ） （ 。（一Ａ） ） Ａ， ｘ） ≤ ２ （ Ｉ ＋
，
故对 Ｖｏ （） ｔ ≥当 ｘ＜ｘ 时有 ， ≥ ｏ ） ｃ ０ ） ｔ 一 同理 ，当取 仅≤ 因为 ） ≤ ） ， 当 ＞Ｘ 时有 ， ≥ 仅 时 ０ ） ）
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，
） ，故对 Ｖ ： （ ） 仅≤ ｘ≤ ｏ
） Ｖｘ Ｅ ａ 】 对 ０ ［， ｂ
另 ：设 ． ） ０ Ｒ上 的凸 函数 ，但 ＝ 一 仍 为 凸 函数 厂 （ ＝ｔ＞ 为
定理 ６ ：若－（ 为 区间 Ｊ 厂 ｘ） 上的凸函数 ，对 Ｖｘ∈Ｉ ，Ｋｘ Ｊ 为 的 内点 ， 则单侧导数厂（ ， （ 皆存在，且厂（ ≤ ） Ｖ ｅＤ ） ） ） （ （
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２７ ・月 下 ０年 ８ ・期 ０
学 理 现 代 衾－ 术・ 论 业 ｆ
凸函数的性质及其应用
（ 长江 大学 杜 厚 维 湖北 荆州 ４ ４２ ３ ０ ３）
摘 要 ：本 文 给 出 了 凸函 数 几 种 等 价 定 义 ， 并 讨 论 了 凸函 数 的 一 些性 质 及 其 应 用 关键 词 ：凸 函数 凸 函数 性质 Ｊｎｅ 不 等式 ｅ ｓｎ
，（ Ａ ｊ ）≤ Ａ ｆ（ ） ，
厂 ≥仅 一 ∽ ‘
）
（ Ｖ ｘ∈［．】 ａｂ）
≥ 仅 ≥—
在上 式 中分 令 ： ， ： 得 —ｘ （ ） ｆ ３ ｆｘ （） ， －
即 证 。
ｆｘ） （ ） （ ｘ ２ ｆ １ －
，
。 ‘
从 而ｆ（ｔ ｙ≥ ｃ ｘ＋ ｆ ｏ ＋ ） ｔ ） ∽＝仅１ ｒ ｌｙ ｌｘ ｇ ｆ（ ｒ＋ Ｌ ｎ＝ｎ “ｙ 或 Ｉ ｏ Ｙ ｎ（ｔ ＋ ）≥ ｌ（“ ｎ ｙ ） ｘ
由 矿的单调 增加性 ： ‘ ’ Ⅱ ，即 仅 ＋ Ｙ ｘ Ｙ ｑ ｎ ≥ “ ＂ ≥ “ 例 ２ 证明： ： 对 何正数 Ｙ ， 证 明 ：注 意不 等式 系数 之 和 １ 百 ＝ ，且 、 及 系数 均 为 １１ Ｙ
证 明 ：（ 必要 性 ）已知 － ） 区间 ［， 上 的凸 函数 ，则 由定理 厂 为 ａｂ 】 ６ ，对 Ｖｘ ∈ ａｂ ∽存 在 ，且 知 ｏ ，， 】 单 增趋 于 ） 。
， （ ） 阜 ≤
定义 ３ ：设 － 在 区间 Ｊ 厂 ㈥ 上有 定 义 ， ） Ｊ 成 为 凸函数 当且 ， 在 上 仅 当对 Ｖｘ ，ｘ，… ， ∈ Ｉ ２ ｘ ，有
推论 １ ：若 ｆ ） 区间 Ｊ 为 凸 函数 ，则对 Ｊ Ｖｘ ， ， 在 上 上 Ｉ ＜ 有
ｆ ２ ｓ 。 ｆ ３厂 。 ） ） ） ） ３ － ． ： ，ｆ ）
总有 ，∽ ≥ 仅
） ０ 。
２ ） —了 ■一 每—了 ■一 每 —了 丁一
３ 、应 用 举 例 ：
例１ ：用 凸函数 方法 证 明 ｙｕ ｇｒ ｏ ｎｅ 不等 式 ：ｘ Ｙ。 仅肿 ｙｘ ≤ （， Ｙ 仅， 均 为 正数 ， 仅＋ ： ） ， １ 证 明 ：令 ｆｘ＝ｒ ，则 ， ∽＝ 了 ＜０ ， 为 凹 函数 。 （ ｌｘ ） ｔ 一１ ， ）
（一Ａ ， ） … …… １ ） （ Ａ）
若 （ 式 不 等 号反 向 ，则 称，（） Ｉ 的 凹函数 。 Ａ） 为 上 若 （ Ａ）式 “ ≤” 改为 “ ＜” 则 称． 为 Ｊ 的严 格 凸函数 。 厂（ ） 上 定义 ２ ：设 ，（ 区间 Ｊ 有 定 义 ， ） Ｊ 神在 上 ， 在 上成 为 凸 函数 当且 仅 当对 Ｖｘ ，ｘ ． ，∈Ｉ ，有
（ 分 性 ）对 充 使 得
．
＜ ，＜ ∈ ａｂ， 由题 设 ，对 ‘ ，存 在 ｏ， ［，】 ｔ
注 ：若 ｆ（ 在 Ｊ 连续 ，则上 述 定 义 １ ，３ 价 ｘ） 上 ，２ 等 ２ 性 质 、 定理 １ ：若 ｆ ） 区间 Ｊ 为 凸 函数 ，对 Ｖ ｋ≠ ０则 ： ｉ 在 ｘ 上 ， ｋ０时 ， ㈣ 在 区间 上为 凸 函数 ＞ ｋ０ ， 切 在 区问 上为 凹 函数 ＜时 定理 ２ ：若 ） ） 区间 Ｊ 为 凸函数 ，对 Ｖｋ， ∈Ｒ ，ｇ 在 上 ｌ ， ｋ ｋ ０ ２０ ， ｌ ，＞ 时 ＞ｋ ） ， ） ， 的凸函数 ｇ 为 上 ｋ ０ ０ ，七 ）七 ｌ， 时 ＜ ＜ ＋ ） Ｊ 的凹 函数 为 上 注 ： 定 理 ２中的 ． ， ， 有一 个 为零 时 ，即为定 理 １ 定理 ３ ：若ｆ（） ） 区间 Ｊ 为 凸函数 ，则 ｍ ｘ ｘ ， ） ｘ ，ｇ 在 上 ａ￣（） ｝ ｇ 为 Ｊ 的 凸函 数 上 定理 ４ Ｊｎｅ 不 等式 ） Ｖ Ａ ≥ ０ （ ＝ １ ，…ｎ 且 ：（ｅｓｎ 对 ， ｉ ，２ ） Ａ ＝ ，则 对 Ｖｘ ∈， ＝ ，２ １ ，ｉ１ ，…ｎ 。有
凸 函数 是 一 类 非常 重 要 的 函数 ，广 泛应 用 于数 学 规 划 、控 制 论 等 领 域 ，本 文 讨 论 了凸 函 数 几 种 等 价 定 义 ，相 关 性 质 及 应 用 。
１ 、定 义
由于 ， （ ） （ ） ２（ Ｙ≥ ｙ
Ｙ ， （ 式 成立 ，结 论得 证 。 ）故 Ｄ）