4解析几何 第二版 课后答案(丘维声 著) 北京大学出版社

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��� � ��� � ���� ���� λ OA + µ OB + υ OC + ω OD = 0, λ + µ + υ + ω = 0
2
第一章 向量代数
其中 O 是任意一点。 证明:必要性:若
��� � ���� ���� A, B, C , D 共面,则 AB, AC , AD 共面,则有不全为零的实数 k1, k2 , k3 ,使得
充分性: λ 则
( − µ − υ − ω ) OA + µ OB + υ OC + ω OD = 0 ,
整理得 µ
( AO + OB ) + υ ( AO + OC ) + ω ( AO + OD ) = 0 ,所以 µ AB + υ AC + ω AD = 0 ,
���� ��� �
���� ����
� � �
� � � a , b, c
共面,则有
� � � λ a + µ b + υ c = 0 , 其 中 λ , µ ,υ
不全为零,则若
wenku.baidu.com
λ ≠ 0 ,那么
, 则
� µ� υ� a = − b − c , 同 理 可 讨 论 µ ,υ ; 因 为 λ , µ ,υ 不 全 为 零 , 那 么 若 λ = 0 λ λ � � � � � � λ a + µ b + υ c = µ b + υ c = 0 ,则 a 不能表示成其他向量的线性组合,同理可讨论 µ ,υ 。 ���� �
���� � ��� � ��� � ��� � ��� � 1 � � ���� ��� � 1 � � ⎧ ⎪ AC = a = AB + BC � � ��� � ���� ,可得 AB = −CD = a − b , AD = − DA = a + b ⎨ ��� 2 2 ⎪ ⎩ BD = b = BA + AD
: : 9. 证明 证明: 点 M 在直线 AB 上的充要条件是 上的充要条件是: 有实数 λ , µ 使 OM 是任意一点。 证明:点 M 在直线 一点 O ,有
��� � ��� � = λ OA + µ OB, λ + µ = 1 ,其中 O
���� � ��� � AB 上当且仅当 AM , AB 共线, AM , AB 共线当且仅当 AM = k AB ,即对任意
���� � ���� ���� � ��� � ABCD 对角线 AC , BD 的交点,那么 AM , AC ; BM , BD 分别共线,所以
其中 O 是任意一点。 证 明 : 由 12 题 可 知
���� � ��� � ���� AM = λ ′ AB + µ ′ AC , λ ′ + µ ′ ≤ 1
, 那 么 对 任 意 一 点
O
, 有
���� ���� � ���� ��� � ���� ���� AO + OM = λ ′ AO + OB + µ ′ AO + OC
(
)
(
)。
2. 已知平行四边形 ABCD 的边 BC , CD 的中点分别为 K , L ,设 AK
����
� � ��� � ��� � � ��� = k , AL = l ,求 BC , CD 。 4� 2 � l− k 3 3 2� 4 � l− k 3 3
� � ���� ��� � 1 ��� � ��� � 1 ��� � ⎧ ��� ⎧ ���� � ��� BC = = = + = + = − + AK k AB BK AB BC CD BC ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 , 解得 ⎨ 解: 在平行四边形中 ⎨ ��� � � ���� ��� � ���� ���� ��� � ��� � ��� � ⎪ AL = l = AD + DL = AD + 1 DC = BC − 1 CD ⎪CD = ⎪ ⎪ ⎩ 2 2 ⎩ ���� � � ��� � 1 ��� OA + OB 。 2 ���� ���� � ���� � ��� � AO + OM = MO + OB =
12. 证明:点 M 在三角形 ABC 内(包括三边)的充要条件是:存在非负实数 λ , µ 使得
���� � ��� � ���� AM = λ AB + µ AC , λ + µ ≤ 1
证明:点 M 在三角形 且 仅 当 当 ABC 内(包括三边)当且仅当存在 BC 边上一点 D ,使得 M 在线段 AD 上, ���� ��� � ���� ���� � ���� , 即 AD = k1 AB + k2 AC , AM = k AD, k1 + k2 = 1, 0 ≤ k ≤ 1
3. 证明: M 是线段 AB 中点的充要条件是:对任意一点 O 有 OM
(
)
解:若
M
是线段
AB
中点当且仅当
���� � ���� AM = MB
,即
,整理得
���� � 1 ��� � ��� � OM = OA + OB 2
( (
)。 )
M 是 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 的 交 点 , 证 明 : 对 任 意 一 点 O 有 ���� � 1 ��� � ��� � ���� ���� OM = OA + OB + OC + OD 。 4 解 : 设 M 是 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 的 交 点 , 则 由 14 题 结 论 可 知 M 平 分 对 角 线 , 即 ���� � ���� � ���� � ���� � AM + BM + CM + DM = 0 ,那么对任意一点 O 有
���� � ��� � ��� � ���� OM = λ OA + µ OB + υ OC , λ + µ + υ = 1
其中 O 是任意一点。 证明:因为
A, B, C
不共线,则 ,
��� � ���� AB, AC 不 共 线 , 那 么 点 M
不 全 为 零 , 即

A, B, C

决定的平面上当且仅当 一 点
���� ����
��� �
����
����

��� � ���� ���� AB, AC , AD 共面,所以 A, B, C , D 共面。
, : 存在实 λ , µ ,υ 11. 设 A, B, C 是不在一直线上的三点 是不在一直线上的三点, 则点 M 在 A, B, C 决定的平面上的充要条件是 决定的平面上的充要条件是: 使得
, M , N 分别是 AB, CD 的中点 , : MN 6. 设 A, B, C , D 是一个四面体的顶点 是一个四面体的顶点, 的中点, 证明 证明:
���� �
=
(
)
(
)
:对任意向量 a, b 都有 7. 证明 证明:
� �
� � � � a+b ≤ a + b
,等号成立的充要条件是什么? ,这个称为三角形不等式 这个称为三角形不等式,
(
)。
��� � ���� AB, AC
表示
5. 设
AD.BE , CF
是三角形
ABC
的三条中线,用
���� ��� � ��� � AD, BE , CF
,并且求
���� ��� � ��� � AD + BE + CF 。
解:三角形
��� � ���� ��� � ABC 中, BC = AC − AB ,又 AD.BE , CF 是三条中线,那么
��� � ���� ���� k1 AB + k2 AC + k3 AD = 0 ,那么对任意一点 O ,有 ���� ��� � ���� ���� ���� ���� k1 AO + OB + k2 AO + OC + k3 AO + OD = 0
(
)
(
)
(
)
整理得 令λ
(1 − k1 − k2 − k3 ) OA + k1 OB + k2 OC + k3 OD = 0 ,
第一章 向量代数
习题 1.1
1. 己知平行四边形 ABCD 的对角线为 AC , BD ,设 AC 解:由平行四边形的对边相等且平行可得:
����
��� � ��� � ��� � ��� � � � � ��� = a , BD = b ,求 AB, BC , CD, DA
��� � ���� ��� � ���� ��� � ��� � AB = DC = −CD, AD = BC = − DA , 那 么 由
���� ���� � ���� ��� � AO + OM = k AO + OB
(
) ,整理得 OM = (1 − k ) OA + kOB ,令 λ = 1 − k , µ = k
���� �
��� �
��� �
即可得知命题得证。
10. 证明:四点 A, B, C , D 共面的充要条件是:存在不全为零的实 λ , µ ,υ , ω 使得
���� � ��� � ���� AM = kk1 AB + kk2 AC , kk1 + kk2 ≤ 1 ,命题得证。
3
第一章 向量代数
13. 证明:点 M 在三角形 ABC 内(包括三边)的充要条件是:存在非负实数 λ , µ ,υ 使得
���� � ��� � ��� � ���� OM = λ OA + µ OB + υ OC , λ + µ + υ = 1
���� � ��� � ���� AM = k1 AB + k2 AC
k1 , k2


O


���� ���� � ���� ��� � ���� ���� AO + OM = k1 AO + OB + k2 AO + OC
(
)
(
),
整理得 OM
���� �
��� � ��� � ���� = (1 − k1 − k2 ) OA + k1 OB + k2 OC ,令 λ = 1 − k1 − k2 , µ = k1 ,υ = k2 即可得证。
4. 设
���� ���� � ��� � ���� � ��� � ���� � ���� ���� � AO + OM + BO + OM + CO + OM + DO + OM = 0
整理得 OM
���� �
=
� ��� � ���� ���� 1 ��� OA + OB + OC + OD 4
1
第一章 向量代数
� ��� � ��� � 1 ��� � 1 ��� � 1 ���� ⎧ ���� ��� AD = AB + BD = AB + BC = AB + AC ⎪ 2 2 2 ⎪ ��� � ��� � ��� � ���� ��� � ���� ��� � ��� � 1 ⎪ ,所以 AD + BE + CF = 0 BE = BA + AE = AC − AB ⎨ 2 ⎪ ��� � ��� � ��� � � ���� 1 ��� ⎪ CF = CA + AF = AB − AC ⎪ 2 ⎩ � 1 ���� ��� AD + BC 。 2 ��� � ���� ���� 1 ��� � 1 ��� � 1 ��� � ���� 1 ���� 解:取 BD 边中点 E ,那么 NE = ND + DE = CD + DB = CB ,同理 ME = AD ,所以 2 2 2 2 ���� � ���� ���� 1 ���� ��� � MN = ME + EN = AD + BC 。 2
(
)
(
),
整理得 OM
���� �
��� � ��� � ���� = (1 − λ ′ − µ ′ ) OA + λ ′OB + µ ′OC ,令 λ = 1 − λ ′ − µ ′, µ = λ ′,υ = µ ′ 即可得证。
14. 用向量法证明:平行四边形的对角线互相平分。 证明:设 M 是平行四边形
证明:若 a, b 全不为零,则 a + b, a, b 首尾相接成一三角形,那么有三角形性质可得 若 a, b 有一个或者全为零( a, b 共线) ,那么显然
� �
� � � � � �
� � � � a+b < a + b

� �
� � � � a+b = a + b

8. 证明:若 a, b, c 共面,则其中至少有一个向量可以表示成其余两个向量的线性组合,是否其中每一个 向量都可以表示成其余两个向量的线性组合? 证明:若
��� �
��� �
����
����
= 1 − k1 − k2 − k3 , µ = k1 ,υ = k2 , ω = k3 即可得知必要性得证; + µ + υ + ω = 0 ,且 λ , µ ,υ , ω 不全为零,不妨设 λ ≠ 0 ,那么 λ = − µ − υ − ω , ��� � ��� � ���� ����
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