基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一.docx

1.2. 2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一》

教学目的：1熟练掌握基本初等函数的导数公式。

2掌握导数的四则运算法则；

3能利用给出的公式和法则求解函数的导数。

教学重点难点 重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学安排：两课时

教学过程：

引入：复习巩固导数的基本公式，及其基本运算规律。 知识讲解：

一：基本初等函数的导数公式

为了方便我们将可以直接使用的基本初等函数的导数公式表如下:

函数 导数 y = c y =0 y = ^ y =1 y = x 2 y =2x

1 1

y=- y 一 2

X X y = 4x y,=^

y = f(x) = x n (n^Q^ y = nx n ~[

且

[/(x) + c]‘ 二广(兀) \_Af

= Af (x) [/(x) + g(x)]‘ =/'(x) + g(x)'

和该幕函数降一次的幕的乘积。即： 八丿

v=fM=sinx 3正弦函数 的导数是余弦函数。即： y — f (工)一COS X

余弦函数~ 的导数是正弦函数的相反数。

x) =-sinx

从图像上来看，正弦函数在区间上单调递增，瞬时变化率为正,

和余弦函数在该区间的正负是一致的,

余弦函数在区间上是单调递减，瞬时变化率为负,

和正弦函数在该区间的正负是相反的，故

有一个负号。

y = f(x) = ci A a x lntz

4指数函数 '7 的导数是指数函数 与 的乘积。特别的函

y = f(x} = e x ,

数八丿 的导数是它自身。

y=f(x) = l (gx 丄 」一

5 对数函数 八)°的导数是反比例函数尢与In 。的乘积。特

函数

导数 y = c

y =0

y = nr"」 y = sin x

• y =cosx y = cos x

f y =-sinx y = f(x) = a x

y = a* • In Q (a > 0) y = f(x) = e x y = e x

/(兀)=log “ x

y_ 1 x\na f(x) = lnx f (x)=- X

关于表特别说明: 1常数函数

数是以对应幕函 数的指数为系数 数是0;即")" "W 的导

2 舉函数 (sinx) =cosx

cos

v = f （x ） = lnx —

别的函数 ' 7 的导数是反比例函数兀。

例1计算下列函数的导数

y = 2' y = 3' y = log 3 x 1 1 1

F

▼書 幕函数和指数函数是两种不同的函数，关键是看变量所处的 位置是

在底数上还是在指数上。

导函数的定义域决定于原函数的定义域。 练习：求下列函数的导数。

y=\fx y = ~r y = 5V y = e 5

X 例2.（课本P14例巧假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%, 物价〃（单位：元）与时间/ （单位：年）有如下函数关系 p （t ）=卩（）（1+5%y ，其中#0为r=o 时的物价•假定某种商品的/?0=i, 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少 （精确到0.01） ?

分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系/?（/） = （1+5%/的导数。

解：根据基本初等函数导数公式表，有p （r ） = l.O5/ In 1.05

所以 p （10） = 1.05,0 In 1.05 « 0.08 （元/年）

在第10个年头，这种商品的价格约为0. 08元/年的速度上涨.

提出问题：如果上式中某种商品的A ）=5,那么在第10个年头，这种 商品的价格

上涨的速度大约是多少（精确到0.01） ?

二导数的计算法则 导数运算法则

y = x

yTgx 强调：1 2

[f(x)±g(x)] =f\x)±gXx)

[fMg(x)] =fXx)g(x)±f(x)g(x)

r '~-^2 (g(x)HO)

[g⑴]

记忆口诀：

乘法口诀：前导后不导加上后导前不导除法口诀：上导下不导减

去下导上不导，除以除数的平方。

推论1： [/(x) + d]' = /(x)(将一个函数加上或减去一个常数，函数的

导数不变)

2: [cfM]=cf'(x)(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数

的导数》

-广(无)

[/(<

解决问题：当Po=5时,p(O = 5(l+5%y ,

根据基本初等函数导数公式和求导法则，有“(0 = 5x1.05'In 1.05

p (10) = 5 x 1.05'° In 1.05 « 0.4 (元/年)

即：在第10个年头，这种商品的价格约为0.4元/年的速度上涨.

例3根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数，并注明定义域。

(1 ) y =疋 - 2兀 + 3

解析：(丘—2兀+3)' = (%3)' + (―2兀)+ 3' = 3/ — 2

练习：y = 2x4-y-4x(解析：y'=8/—3Tn3 —4)

(2) y = x sinx :

角争析： y = (x sinx) =x-sinx4-x (sinx) =sinx + xcosx

y = (2x 2

一 5x+l)・"； 解析：y = [(2r-5x+l)-e v ]/=(2r-5x+iy-/+ (2『-5尢 +1)•(町

=(2x 2 —5x+ l + 4x —5)心=(2x 2 -x-4)-e x

lnx , 1-lnx y = 一 y=—— x jr % . 1-cosx-xsinx y = ---------- y = --------------------- -- 1-cos% (1-cosx)2

强调：1求导数是在定义域内实行的.

2求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.

例4 (P15例3)日常生活中的饮水通常是经过净化的•随着水纯净 度的提高，

所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净 度为;V%时所需费用(单位：元)为

c(x) = 5284 (80

的瞬时变化率：(1 ) 90% (2) 98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

.、/ 5284 . 5284' x (100 - %) - 5284 x (100 - x)

c (X) = ( ------- ) = -------------------------- --------------- 100-兀 (100-x)2 0x(100 —

兀)—5284x(—1) _ 5284

一 (100-x)2 ~(100-x)2 (1) 因为c(90) = — =52.84,所以，纯净度为90%时，费 (100 - 90)2

练习： 5 y = --------------- x 4 + 3x — 8

-5(4/+3)

(才4

+3兀-8)~ (3) r ；