与矩形波导类似

2Ez y 2
kc2 Ez
0
kc2

k2

k
2 z
考虑到 Ez Ez0 (x, y)e jkzz，其振幅 Ez0 也应满足 上述方程， 即
2Ez0 x 2

2Ez0 y 2

kc2 Ez0

0
2Ez0 x 2

2Ez0 y 2

kc2 Ez0

0
采用分离变量法求解上述方程。
mπ a
x sin
nπ b
y e jkz z
Ey

j kz E0 kc2

nπ b
sin
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hx

j
E0
kc2

nπ b
sin
mπ a
x cos
第九章 导行电磁波
主要内容 几种常用的导波系统、矩形波导传播特性、 圆波导传播特性、谐振腔、同轴线
1. TEM波、TE波及TM波 2. 矩形波导传播特性 3. 矩形波导中TE10波 4. 电磁波的群速
5. 圆波导传播特性 6. 波导传输功率和损耗 7. 谐振腔 8. 同轴线
沿一定的路径传播的电磁波称为导行电磁波， 传输导行波的系统称为导波系统。
常用的导波系统有双导线、同轴线、带状线、 微带、金属波导等。
本章仅介绍同轴线和金属波导。尤其是矩形 金属波导的传播特性。
几种常用导波系统的示意图
双导线
同轴线
矩形波导
圆波导
带状线
微带
介质波导 光纤
1. TEM 波、TE 波及TM 波
TEM波、TE波及TM波的结构。
E
E
E
S
H TEM波
H TE波
S
S
c

Z
ZTM Z
2
1
fc f

Z
1

c
2
同理可得，TE波的波阻抗为
ZTE
Z

1
fc f
2
Z
1

c
2
可见，当 f fc ， c 时，ZTM 及 Z TE均为虚数，表明
kc 称为截止传播常数。
kc2 kx2 ky2
kc2


mπ a
2


nπ b
2
由 k 2πf 求出对应于截止传播常数 kc 的截止
频率 fc ， 即
fc
kc
2π
2
1


m
2


n
2
a b
传播常数 kz k
为了保证仅传输TE10波，应该满足下列不等式
a (a 2a)
2
b
(a 2b)
2
窄壁尺寸的下限取决于传输功率，容许的波导
衰减以及重量等。
将可获知，窄壁减小会使传输衰减增大。
工程上常取 a 0.7左右，b (0.4 ~ 0.5)a或(0.1 ~ 0.2)a 。
Ex

1 kc2

jkz
Ez x

j
H z y

Ey

1 kc2

jkz
Ez y

j
H z x

Hx

1 kc2

j
Ez y

jkz
H z x

Hy

1 kc2

j
Ez x

jkz
H z y

j kz r
Ez


j
H z r

Hr

1 kc2

j

r
Ez

jkz
H z r

H
1 kc2
j
Ez r

j kz r
H z


2. 矩形波导传播特性 矩形波导如图所示，宽壁的内尺寸为 a ，窄 壁的内尺寸为 b 。
横向电场与横向磁场相位相差 π ，因此，沿 z 方向
2
没有能量单向流动，这就表明电磁波的传播被截止。
例 某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺
令
Ez0 (x、y) X (x)Y ( y)
得
X X

Y Y

kc2
式中，X 表示 X 对 x 的二阶导数；Y 表示Y 对 y
的二阶导数。
式中的第二项仅为 y 函数，而右端为常数，因 此，若对 x 求导，得知左端第一项应为常数。
若对 y 求导，获知第二项应为常数。
令
X X
式中
kc2

k2

k
2 z
只要求出 z 分 量，其余分量即可 求出。
z 分量为纵向 分量，因此这种方 法又称为纵向场法。
对于圆波导，选择圆柱坐标系，r 和 横向
分量可用 z 纵向分量表示为
Er


1 kc2
jkz
Ez r

j
r
H z


E

1 kc2

mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hy


j
E0
kc2

mπ cos a
mπ a
x sin
nπ b
y e jkz z
上应上mT由在M半述为及于3z124个T非，15，方，1n表波m，M，驻零当的z向由示及。波大相等波的每上m于为的mn位于整的一或为均非m=m仅常数数种行1不均n及及与,数。目组为波n为匀n变的。n合=m零，零的为模量平1构为时在，平多的式面宽成z，故面值x场称为有壁一及上矩波，结为波关上种述形y。因构高面，的模方各波此，次。而半式向个导场具模但振个，上分中结有，振幅驻以形量T构这小辐与MT波成均均种的M与波的驻为x具场m,称的数x波n零y有,表结为最y目。有，多示构低有低，关因种。的次关模。此n模波模，例式为因式m称。因如是窄此及。为此壁，n TM11波。
差
> 3m
好
> 10cm
差
厘米波
差
厘米波
好
厘米波、毫米波
好
厘米波、毫米波
差
光波
根据导波系统横截面的形状选取直角坐标系或 者圆柱坐标系，且令其沿 z 轴放置，传播方向为正 z 方向。
以直角坐标系为例，则电场与磁场可以分别表
示为
E(x, y, z) E0 (x, y) e jkzz
H (x, y, z) H0 (x, y) e jkzz
1
fc f
2

k





1 jk
fc f
2
,
2
fc f

1,
f fc
f fc
当
f

f
c
时，
k
为实数，因子
z
e
jk
z
z
代表向正
z
方向
传播的波。 当f fc 时，k z为虚数，因子
e e jkz z
kz
nπ b
y e jkz z
Hy


j
E0
kc2

mπ cos a
mπ a
x sin
nπ b
y e jkz z
Ez

E0
sin

mπ a

x
sin

nπ b

ye jkz z
Ex


j
kz E0 kc2

可见，当工作波长增加时，为保证单模传输， 波导的尺寸必须相应地加大。因此，实际中金属波 导适用于3000MHz以上的微波波段。
国际上对于各波段使用的波导尺寸已有统一规定。
矩形波导的相速 vp 为

vp kz
v

2
1
fc f

v
v
2
1

c

式中，v 1 ，对于真空波导，v 1 c 。
TE10 截
式被截止。
止
当a 2a 时，只有
区 2a
c
TE10 波存在，其他模式 被截止。
当 a时，才有其他模式出现。 若工作波长满足 a 2a，即可实现单模传输， 单模传输的惟一模式就是TE10波。
TE10波为矩形波导中的常用模式或称为主模。
通常取 a 2b，以便在 a 2a 波段内实现TE10波 单模传输。
mπ a
cos
mπ a
x sin
nπ b
y e jkz z
Ey

j kz E0 kc2

nπ b
sin
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hx

j
E0
kc2

nπ b
sin
H TM波
可以证明，能够建立静电场的导波系统必然 能够传输TEM波。
根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传 输TEM波。
几种常用导波系统的主要特性
名称
双导线 同轴线 带状线 微带 矩形波导 圆波导
光纤
波型
TEM波 TEM波 TEM波 准TEM波 TE或TM波 TE或TM波
TE或TM波
电磁屏蔽 使用波段
1

c
2
式中， 为工作波长；g称为波导波长。
已知 f fc ，c ，故 g 。
波导中的横向电场与磁场之比称为波导波阻抗。
对于TM波，其波阻抗为
Z TM

Ex Hy
Ey Hx
求得
ZTM Z
1
fc f
2

Z
2
1



n
2
a b

截止频率和截止波长均与波导尺寸 a, b 及模式
m, n 有关。
模次越高，截止频率越高，截止波长越短。
TE01 TE20
TM11
0
a
TE10 2a
波导尺寸为 a 2b 时，
各种模式的截止波长分布
如图所示。
c
TE01 TE20
TM11
0
a
当 2a 时，全部模

fc f
2 1
表明电磁场没有传播，而是沿正 z 方向不断衰减
的凋落场。
对于一定的模式和波导尺寸来说，f c 是能够传输 该模式的最低频率，波导相当于一个高通滤波器。
截止波长
由 k 2π

，求得对应于截止传播常数 kc 的截止
波长 c 为
cΒιβλιοθήκη Baidu

2π kc

2

m
2

x sin
nπ b
y e jkz z
Ex

j
H
kc2
0

nπ b
cos
mπ a
x sin
nπ b
y e jkz z
Ey


j
H
kc2
0

mπ sin mπ a a
x cos nπ b
已知
Ez
0
，求出
x0,a; y0,b
kx

mπ , a
m 1,2,3,
ky

nπ , b
n 1,2,3,
那么矩形波导中TM 波的各个分量为
Ez

E0
sin

mπ a

x
sin

nπ b

ye jkz z
Ex


j
kz E0 kc2

mπ a
cos

k
2 x
Y Y

k
2 y
式中，k x 和 k y 称为分离常数。
显然
kc2

kx2

k
2 y
两个常微分方程的通解分别为
X C1 cos kx x C2 sin kx x Y C3 cos k y y C4 sin k y y
式中，常数C1 ，C2 ， C3 ， C4 取决于导波系统 的边界条件。
且满足下列矢量亥姆霍兹方程
2E x 2

2E y 2

2E z 2

k2E

0


2
H
x 2

2H y 2

2H z 2

k2H

0
上式包含了 Ex , Ey , Ez 及 H x , H y , H z 6个直角坐标 分量，分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。
可以证明， x 和 y 分量与 z 分量的关系为
已知金属波导
y
只能传输 TE 波及
b ,
x a
TM 波，若仅传输 TM 波，则 Hz = 0 。
z
按照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量，然后 即可计算其余各个分量。
已知电场强度的 z 分量可以表示为
Ez Ez0 (x, y)e jkz z
Ez 满足的齐次标量亥姆霍兹方程为
2Ez x 2

0 0
已知 f fc ， c ，求得真空波导中vp c 。
波导中的相速不能代表能速。
波导中的相速与频率有关。因此，电磁波在 波导中传播时会出现色散现象。
波导尺寸及模式不同，其相速也不同。
矩形波导中电磁波的波长 g 为
g

2π kz


1
fc f
2

y e jkz z
式中 m, n 0,1, 2,，但两者不能同时为零。
与TM波一样，TE波也具有多模特性，但是
m 及 n 不能同时为零。因此，TE波的最低模式
为TE01波或TE10波。
截止传播常数和截止频率
已知
k
2 c

k2

k
2 z
，即
k
2 z

k2
kc2
。
若 k kc ，则 kz 0 ，意味波的传播被截止，因此，
TE波
Hz

H0
cos mπ a
x cos nπ b
y e jkz z
Hx

j
k
zH kc2
0

mπ a
sin
mπ a
x cos
nπ b
y e jkz z
Hy

j
k
zH kc2
0

nπ b
cos
mπ a