任意阶极点留数的Matlab计算方法

１ 引 言
Ｍａｔｌａｂ在数 值计 算 、符号 运 算 和 图形 处 理 的三 大基 本科 学 计算 领 域 中有 强 大 的 功 能 ，因此 现 已成 为 国际公 认 的优 秀 的工 程 应 用 开 发 环境 ，是 影 响 最 大 ，流行 最 广 的科 学 计 算 语 言 ，在 许 多 领 域 得 到 广 泛 的 应 用 Ｌ１］．
（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｕｂｅｉ Ｗ ａｔｅｒ Ｒｅｓｏｕｒｃｅｓ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｗ ｕｈａｎ ４３００７２，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｒｏｃｋ ａｎｄ Ｓｏｉｌ Ｍ ｅｃｈａｎｉｃｓ，Ｃｈｉｎｅｓｅ Ａｃａｄｅｍｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｗ ｕｈａｎ ４３００７１，Ｃｈｉｎａ）
数 ．本 文 首 先 根 据 孤 立 奇 点 的 特 点 ，提 出 了用 Ｍａｔｌａｂ确 定 极 点阶 次 的 方 法 ，然 后 再根 据 高 阶 极 点 的 留 数 公 式 ，基 于
符 号 运 算计 算 该 极 点 处 的 留数 ．在 此 过 程 中 ，还 解 决 了 Ｍａｔｌａｂ无 法 直 接 求 解 复 数 点 处 极 限 的 问题 ．该 方 法 的 优 点 是 不 需要 事 前 判 断 极 点 阶 次 ，可 以计 算 任 意 类 型 函 数 的 留数 ，使 得 留数 的 计 算 更 加 简 单．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
李 翠 华 ，薛 艳 ，张 少坤 ，刘 海 韵
（ 湖 北 水利 水 电 职 业 技 术 学 院 建 筑 工 程 系 ，湖 北 武 汉 ４３００７２ 。中 国 科 学 院 武汉 岩 土 力 学 研 究 所 ，湖 ｊＥ 武 汉 ４３００７１）
摘 要 留数 又 称 残 数 ，它是 复 变函 数 论 中 的 一 个 重 要 概 念 ，但 Ｍａｔｌａｂ中 的 Ｒｅｓｉｄｕｅ函 数 仅 能 处 理 多项 式 分 式 函
留数 （或 残数 ）是 复变 函数 中的重 要 内容 之 一 ，一 些 难 以解 决 的积 分问题往 往可 以转化 为 留数 的求 解． 因此 ，利用 Ｍａｔｌａｂ把 复 杂 繁琐 的 留数计 算 交 给 计 算 机 求解非 常重要 ［２］．但 Ｍａｔｌａｂ提供 的 ｒｅｓｉｄｕｅ（ａ，ｂ）函
Ｒｅｓ（厂（Ｚｏ
［（Ｚ－２：０Ⅳ （ｚ）］．
（２）
因此 ，我 们 在 用 Ｍａｔｌａｂ求 解 任 意 阶 极 点 留 数 时 ，首先 要 求 出函数 （ｚ）在 点 处 的极 点 阶 次 ，然 后再 利 用该 公式 求 出相应 的 留数 ．
２ 极 点 阶 次 的 计 算
对 于某 些复 杂 的 复 函数 ，我 们 很 难 一 眼 就 能 看
，（ｚ） 南 ＋．．斗 —（ｚ－—
０） ＋ｆｏ＋‘
ｅｌｓｅ ｉｆ ｚＯ一 一 ０ ｒ — ｌｉｍｉｔ（ｆｋ，ｚ０）； ｅｌｓｅ
Ｃ１（ｚ一 ）＋ Ｃ２（ 一 ）２＋ … ． 显 然
（３）
ｌｉｍ（Ｚ－Ｚｏ）ｋｆ㈤ ｌ ！∞：， 惫，： ｍ ㈤
第 ２１卷 第 ４期 ２０１８年 ７月
高 等 数 学 研 究
ＳＴＵ ＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ ＬＬＥＧ Ｅ Ｍ Ａ ＴＨ ＥＭ Ａ ＴＩＣＳ
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１８．０４．０２９
Ｖｏｌ＿２１，Ｎｏ．４ Ｊｕｌｙ，２０１８
任 意 阶极 点 留数 的 Ｍａｔｌａｂ计 算 方 法
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｒｅｓｉｄｕｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ Ｍ ａｔｌａｂ ｗｏｒｋｓ ｏｎｌｙ ｆｏｒ ｒａｔｉｏｎａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ． Ｗ ｅ ｐｒｏｐｏｓｅ ａ ｍ ｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｒｅｓｉｄｕｅｓ ｏｆ ａｎｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗ ｉｔｈｏｕｔ ｔｈｅ ｋｎｏｗ ｌｅｄｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｉｔｓ ｉｓｏｌａｔｅｄ ｐｏｌｅｓ ｉｎ ａｄｖａｎｃｅ． Ｏ ｕｒ ｍ ｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｂｅ ｕｓｅｄ ｔｏ ｆｉｎｄ ｌｉｍ ｉｔ ａｔ ａ ｃｏｍ ｐｌｅｘ ｐｏｉｎｔ ａｓ ｗ ｅｌ１． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｒｅｓｉｄｕｅ，ｉｓｏｌａｔｅｄ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ，ｐｏｌｅ， ｏｒｄｅｒ，Ｍ ａｔｌａｂ
关 键 词 二 阶 留 数 ；孤 立 奇 点 ；极 点 ；阶 次 ；Ｍａｔｌａｂ
中 图 分 类 号 Ｏ１７５．１４
文 献 标 识 码 Ａ
文 章 编 号 １００８—１３９９（２０１８）０４—００９０—０３
Ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ Ｒｅｓｉｄｕｅｓ ｏｆ Ｐｏｌｅｓ ｂｙ Ｍ ａｔｌａｂ
ＬＩ Ｃｕｉｈｕａ ，ＸＵ Ｅ Ｙａｎ ，ＺＨ Ａ ＮＧ Ｓｈａｏｋｕｎ ，ａｎｄ ＬＩＵ Ｈ ａｉｙｕｎ
第 ２１卷 第 ４期
李 翠 华 ，薛 艳 ，张 少 坤 ，刘 海 韵 ：任 意 阶极 点 留数 的 Ｍａｔｌａｂ计 算 方 法
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出其 极点 的 阶次 ，因 此 ，我 们 寻 求 一 种 从 数 值 上 求
ｒ 一 ０ ０
解 极 点 阶 次 的 方 法 ． 设 厂（ｚ）在 ｚ。的 Ｌａｒｅｎｔ级 数 为
收 稿 日期 ：２０１７一Ｏ５—３１
修 改 日期 ：２０１７—１２—１１
作 者 简 介 ：李 翠 华 （１９８１一），女 ，湖 北 省 武 汉 市 人 ，博 士 ，副 教 授 ，从
事 岩 土 计 算 力 学 方 面 的 理 论 及 其 应 用 研 究 ．Ｅｍａｉｌ：
４７１７２８０８＠ ｑｑ．ｃｏｒ ｎ
数仅 能求 解形 如 厂（ｚ）一 ｂｍｚ ＋ｂ －＿ｌ 一 ＋ … ｂ１ ｚ＋ ｂｏ
ａｎＺ ＋ ａ 一１ 。一 ＋ … ｎ１ ｚ＋ ａ０
（１）
的多项 式 分式 ，其 中 ａ一 ［ｎ … ａ ａ。］和 ｂ—Ｅｂ …ｂ ｂ。］是 多项式 的 系数 ．
对 于 在 ｚ— 点 存在 ｍ 阶极 点 的 函数 ｆ（ ），可 以采用 如 下 的公式 进行 计算 其 在 。的 留数 Ⅲ ：