向量的概念
向量的概念：既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。
向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
平行向量与相等向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量a、b、c平行，记作a∥b∥c。0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，数学上规定0与任一向量平行
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a与b相等，记作a=b。零向量与零向量相等。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
（一）向量的概念及表示
1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2、向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母、等表示；
③用有向线段的起点与终点字母表示：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||。
3、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的。
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量。零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向。
4、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定与任一向量平行。向量、、平行，记作∥∥。
5、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量。
（1）向量与相等，记作＝；
（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。6、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。
（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系。
7、相反向量
把与向量长度相等方向相反的向量叫做的相反向量，记作－
规定：的相反向量仍是零向量，对任意向量有－（－）＝
（二）向量的加法
1、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。
2、作两向量的加法：如图，已知向量、。在平面内任取一点，作，，则向量
叫做与的和，记作，即
特殊情况：
对于零向量与任一向量，有
探究：（1）两向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，＋的方向不同向，且|＋|<||＋||；
（3）当与同向时，则＋、、同向，且|＋|＝||＋||，当与反向时，若||>||
，则＋的方向与相同，且|＋|＝||－||；若||<||，则＋的方向与相同，且|＋|＝| |－||。
3、向量加法的交换律：＋＝＋
4、向量加法的结合律：(＋) ＋＝＋(＋)
（三）向量的减法
1、向量的减法的定义：
若＋x＝，则x叫做与的差，记作-
2、求作差向量：已知向量、，求作向量
∵(-) ＋＝＋(-) ＋＝＋＝
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O，
作＝，＝，则＝-
即-可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。
注意：1︒表示-差向量，“箭头”指向被减向量
（四）向量的数乘
1、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|＝|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ＝0时λ＝2、运算定律结合律：λ(μ)＝(λμ)
分配律：(λ＋μ)＝λ＋μλ(＋)＝λ＋λ
3、向量共线定理
如果有一个实数λ，使＝λ(≠0)，那么与是共线向量；反之，如果
与(≠0) 是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得＝λ
4、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使＝λ1＋λ2
说明：(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一。λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。
典型例题】
例1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确。单位向量模均相等且为1，但方向并不确定。
③不正确。零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的。
④不正确。如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同。
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好。
例2. 如图，一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为
，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示)。
解：设表示船垂直于对岸行驶的速度，表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD ，则就是船的实际航行的速度。
在中，，
所以
因为
答：船的实际航行的速度的大小为，方向与水流速间的夹角为
例3. 平行四边形中，，，用，表示向量、。
解：由平行四边形法则得：
＝＋，＝＝-
变式一：当，满足什么条件时，＋与-垂直？（|| ＝||）
变式二：当，满足什么条件时，|＋| ＝|-|？（，互相垂直）
变式三：＋与-可能是相当向量吗？（不可能，∵平行四边形对角线方向不同）例4.如图平行四边形ABCD的两条对角线交于点M，且＝，＝，用，表示，，
和。
解：在平行四边形ABCD中，∵＝＋＝＋，＝-＝-
∴＝-＝-(＋)＝--，
＝＝(-)＝-
＝＝＋
＝-＝-＝-＋
例5. 设，是两个不共线向量，已知＝2＋k，＝＋3，＝2－，若三点A，B，D共线，求k的值。
解：＝－＝(2－)－(＋3)＝－4
∵A，B，D共线∴，共线∴存在λ使＝λ
即2＋k＝λ(－4) ∴∴k＝－8
模拟试题】
1. 下列各量中不是向量的是（）
A. 浮力
B. 风速
C. 位移
D. 密度
2. 下列说法中错误的是（）
A. 零向量是没有方向的
B. 零向量的长度为0
C. 零向量与任一向量平行
D. 零向量的方向是任意的
3. 把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）
A. 一条线段
B. 一段圆弧
C. 圆上一群孤立点
D. 一个单位圆
4. 下列等式:①＋＝②＋＝＋③－(－)＝④＋(－)＝0 ⑤＋(－)＝－
正确的个数是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
5. 下列等式中一定能成立的是( )
A. ＋＝
B. －＝
C. ＋＝
D. －＝
6. 化简－＋＋的结果等于( )
A. B. C. D.
7. 已知两向量、不共线，＝2＋，＝3－2λ，若与共线，则实数λ＝。
8. 已知、是两非零向量，且与不共线，若非零向量与共线，则与必定。
9. 已知＝，＝，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|－|＝。
10. 在正六边形ABCDEF中，＝，＝，则＝。
11. 已知、是非零向量，则|－|＝||＋||时，应满足条件。
12. 在平行四边形ABCD中，设对角线＝，＝，试用，表示，
13.如图，，不共线，＝t(t∈R)，用，表示
【试题答案】
1. C
2. D
3. B
4. D
5. A
6. D
7. －
8. 不共线
9. 13 10. －11. 与反向
12. 解：＝＝＝＝
∴＝＋＝－＝－
＝＋＝＋＝＋
13. 解：∵＝t
∴＝＋＝＋t
＝＋t(-)＝＋t-t＝(1-t) ＋t
14.
向量的基本概念与运算法则
向量的基本概念与运算法则 一、向量的基本概念 向量是数学中经常使用的一个概念，它指的是有大小和方向的量。向量通常用字母加上一个箭头表示，例如向量a可以写作a→。向量的大小可以用模表示，记作|a|。向量的方向可以用角度表示，在平面中通常以与正 x 轴的夹角θ 来表示。 二、向量的表示方法 1. 平行四边形法则 平行四边形法则是常见的向量表示法之一。在平面直角坐标系中，我们可以使用平行四边形的两条边来表示向量。具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的大小和方向在坐标系中画出一条射线，再从射线的终点倒回来形成一个平行四边形，这个平行四边形的两条边就可以表示向量。 2. 分量表示法 另一种常见的向量表示方法是分量表示法。在平面直角坐标系中，我们可以使用向量在 x 轴和 y 轴上的投影来表示向量。具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的终点在坐标系中画出一条线段，从线段的终点与坐标原点相连，分别画出与 x 轴和 y 轴平行的两条线段，这两条线段的长度即为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。 三、向量的运算法则
1. 加法 向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。具体做法是将 两个向量的起点重合，然后将两个向量的终点连接起来形成一个新的 向量。 2. 减法 向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。具 体做法是将两个向量的起点重合，然后将第二个向量以相反的方向画 出来，并将它的终点与第一个向量的终点连接起来形成一个新的向量。 3. 数量乘法 向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。具体做法是将向量的大小乘以标量，并保持向量的方向不变。 4. 内积（点积） 向量的内积，也称为点积，是指将两个向量相乘得到一个数。具体 做法是将两个向量的对应分量相乘，然后将所有的乘积相加起来。 5. 外积（叉积） 向量的外积，也称为叉积，是指将两个向量相乘得到一个新的向量。具体做法是将两个向量的大小与它们夹角的正弦值相乘，然后按照右 手定则确定新向量的方向。 四、总结
初中数学知识点向量的概念与性质
初中数学知识点向量的概念与性质初中数学知识点：向量的概念与性质 向量是数学中的重要概念之一，在数学、物理等学科中有着广泛的应用。本文将介绍初中数学中向量的概念、向量的性质以及相关的解题方法。 一、向量的概念 向量是有大小和方向的量，通常用有向线段表示。在平面直角坐标系中，向量可以由两个有序实数表示，分别表示向量在x轴和y轴上的分量。向量用字母加箭头表示，例如向量AB用→AB表示。 二、向量的表示方法 除了坐标表示法之外，还可以使用表示向量的两个点的坐标差值来表示向量。例如向量AB可以表示为向量OA减去向量OB的结果，即→AB = →OA - →OB。这种表示方法叫做点表示法。 三、向量的相等与相反 两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同。如果两个向量的大小相等，但方向相反，则称其为相反向量。相反向量的表示方法是一个向量加一个负号，即−→AB就是→BA。 四、向量的运算
1. 向量的加法：设→AB和→BC是两个向量，则→AB + →BC = →AC。向量的加法满足交换律和结合律，即→AB + →BC = →BC + →AB，(→AB + →BC) + →CD = →AB + (→BC + →CD)。 2. 向量的减法：设→AB和→AC是两个向量，则→AB - →AC = →AB + (−→AC)。即向量减法等于向量加法的负向量。 3. 向量的数乘：数乘是指一个向量乘以一个实数。例如a为实数，→AB为向量，则a→AB表示向量→AB的长度变为原来的a倍，并且方向不变。 五、向量的性质 1. 零向量：零向量是长度为0的向量，表示为→0。任何向量与零向量相加仍为其自身，即→AB + →0 = →AB。 2. 单位向量：单位向量是长度为1的向量，表示为→u。任何非零向量除以自身的模长得到单位向量，即若→AB≠→0，则→u = →AB/|→AB|。 3. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们为平行向量。平行向量具有以下性质： a) 平行向量的模长相等或成比例； b) 两个平行向量之间可以通过数乘得到：若→AB // →CD，则存在实数k，使得→CD = k→AB。
向量的概念
1.1向量的概念 一、向量的定义、几何表示、记法 1．既有大小又有方向的量。简称为式。例如力、速度等。 注：在中学也学过向量，不过是平面上的向量，我们这里所讲的向量一般是空间中的向量。 2．用有向线段表示向量。也就是说，在几何中，我们把向量看成有向线段。有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。有向线段的始点与终点分别叫向量的始点与终点。 3．始点为A ，终点为B 的向量记作AB 。 有时用a ,b ,x 或黑体字母a ，b ，x 表示向量。 4. 向量的模：向量的大小称为向量的模。 向量AB 与a 的模分别记为|AB |与|a |。 二、几种特殊向量 1．单位向量：模为1的向量称为单位向量。与a 有同一方向的单位向量称 为a 的单位向量，记为0a 。 2．零向量：模等于零的向量，记为0或0 ，即起点与终点重合，方向不确 定（方向任意），否则为非零向量。 3．向量的平行与相等： 向量a 与b 相互平行：表示它们的有向线段所在的直线平行，记为a ∥b ， 类似有一个向量与一条直线或一个平面平行的概念等等。 注：（i ）平行的两向量不一定同向。 （ii ）位于同一直线上的两个向量不叫平行（因重合的直线不叫平行）。 a 与 b 相等：若a 与b 的模相等且方向相同，记为a =b ，规定：所有零向量都相等。 注：(i)模相等的两向量不一定相等，因为她们的方向可能不同。 (ii)设AB 与B A ''为不在同一直线上的非零向量，则AB =B A ''当且仅当四边形ABB /A /为平行四边形。 证 根据两向量相等的定义，对于不在同一直线上的两个相等的非零向量a
向量的基本概念公式
向量的基本概念公式: 1. 向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 ；字 母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量：a O 为单位向量?｜a O ｜＝ 1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）???==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. ()(a b c a b ++=++AC BC AB =+ AB BA =-,OA OB =-||||a a λλ=>0时, a a λ与同向; a a 与异向; 0a =. ()()a a λμλμ= )a a a μλμ=+ )a b λλ=+ //b a b λ?= 3已知两个非零向量与b ，作OA =a , =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量与b 的夹角。 4．两个向量的数量积： 已知两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则·b =︱︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影．
5．向量的数量积的性质： 若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则e ·a =a ·e =︱a ︱cos θ (e 为单位向量); a ⊥ b ?a ·b =0?12120x x y y +=（a ，b 为非零向量）;︱a ︱ ; cos θ= a b a b ?? ． 6 ．向量的数量积的运算律： ·b =b ·;(λ)·b =λ(·b )=·(λb );(＋b )·c =·c +b ·c ． 7.重要定理、公式 (1) 平面向量基本定理 e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. (2) 两个向量平行的充要条件 a ∥ b ?a ＝λb (b ≠0)?x 1y 2－x 2y 1＝O. (3) 两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ?a ·b ＝O ?x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4) 线段的定比分点公式 设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，则 ??? ????++=++=.1,12 12 1λ λλ λy y y x x x (线段定比分点的坐标公式) 当λ＝1 时，得中点公式： OP ＝21（1＋2OP ）或??? ????+=+=.2,2 2121y y y x x x
向量的概念
向量的概念： 既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。 [编辑本段]向量的几何表示 具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→） 有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。 有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。 相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量， 向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a， 在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量） 长度等于0的向量叫做零向量，记作0。 零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 [编辑本段]平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=λ1i+λ2j 我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a=（x，y）， 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。 在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。 向量的运算 加法运算 向量加法的定义 已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=AB+BC=AC AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点） 已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。 对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。 |a＋b|≤|a|＋|b|。 向量的加法满足所有的加法运算定律。 减法运算 AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减向量） 与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。
向量的概念
向量的概念 既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。 向量的几何表示 具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个→） 有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。 有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。 相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量， 向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a， 在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量） 长度等于0的向量叫做零向量，记作0。（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的） 零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得 a=x i+y j 我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作 a=（x，y）， 其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。 在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。 注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样，平面向量的坐标是相对的。而点的坐标是绝对的。若一向量的起点在原点，例如该向量为（1，2）那么该向量上的所有点都可以用（a，2a）表示。即，若一向量的起点在原点，那么该向量上的任意一点的横纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的。 向量的运算
向量的定义与基本运算
向量的定义与基本运算 向量是数学中的一个重要概念，在各个领域都有广泛应用。本文将 介绍向量的定义和基本运算，以帮助读者更好地理解和应用向量的相 关知识。 一、向量的定义 在数学中，向量是由大小和方向共同确定的量。通常用字母加上一 个箭头来表示，例如向量a 可以写作→a 或a。向量有两个重要的属性：大小（模）和方向。大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。 二、向量的表示形式 向量有多种表示形式，常用的有坐标表示和分量表示。 1. 坐标表示 在二维空间中，向量可以表示为一个有序数对 (x, y)，其中 x 表示 向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别表示向量在x、y 和 z 轴上的分量。 2. 分量表示 向量的分量表示是指将向量在坐标轴上的投影值表示为一个有序数列。在二维空间中，向量 a 的分量表示为 (a₁, a₂)，其中 a₁表示向量 在 x 轴上的分量，a₂表示向量在 y 轴上的分量。在三维空间中，向量
a 的分量表示为 (a₁, a₂, a₃)，其中 a₁、a₂和 a₃分别表示向量在 x、y 和 z 轴上的分量。 三、向量的基本运算 向量的基本运算包括加法、减法和数量乘法。 1. 向量的加法 设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的和向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ + b₁，c₂ = a₂ + b₂，...，cₙ = aₙ + bₙ。 2. 向量的减法 设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的差向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ - b₁，c₂ = a₂ - b₂，...，cₙ = aₙ - bₙ。 3. 数量乘法 设有向量 a，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，k 为实数，则向量 a 与实数 k 的乘积向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = k * a₁，c₂ = k * a₂，...，cₙ = k * aₙ。 四、向量的性质
数学向量知识点大全
数学向量知识点大全 向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。 本文将介绍数学向量的基本概念、运算规则以及常见应用，帮助读者全面了解数学向量。 一、向量的基本概念 1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，常用有向线 段表示。向量通常用字母加上一个箭头表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。 2. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0→，它没有方向，但是可以指向任意点。 3. 向量的模长：向量的模长表示向量的长度，记作|AB→|，可以通过勾股定理求得。若AB→=(x1, y1)，则|AB→|=√(x1²+y1²)。 4. 单位向量：单位向量是模长为 1的向量，常用e表示，如e→=(1, 0)和e→=(0, 1)。 二、向量的运算规则 1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即 AB→+BC→=AC→和AB→+BC→=AC→+CD→。 2. 向量的数量乘法：向量的数量乘法 是将向量的每个分量乘以一个实数，得到新的向量。若k为实数，向量AB→的数 量乘法为kAB→，即kAB→=(kx1, ky1)。 3. 向量的点乘法：向量的点乘法是将两个 向量的对应分量相乘后相加。向量AB→和CD→的点乘法为AB→·CD→=x1x2+y1y2。 4. 向量的叉乘法：向量的叉乘法是将两个向量的长度和夹角通过向量积公式得到新的向量。向量AB→和CD→的叉乘法为AB→×CD→=(y1z2-y2z1, z1x2-z2x1, x1y2- x2y1)。 三、向量的常见应用 1. 几何应用：向量在几何中常用于表示线段、直线、面、 多边形等几何图形的性质和关系。 2. 物理应用：向量在物理学中广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。 3. 计算机图形学：向量在计算机图形 学中常用于表示点、方向、颜色等图像元素，用于实现图像的渲染和处理。 4. 数 据分析：向量在数据分析中常用于表示数据集合，通过向量的运算和变换，可以进行数据的统计和分析。 通过以上的介绍，相信读者对数学向量有了更清晰的认识。数学向量作为数学 的基础概念之一，在数学及其应用领域都有着重要作用。希望本文对读者理解和掌握数学向量有所帮助。
向量的基本概念公式
向量的基本概念公式: 1.向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字 母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O . 单位向量：a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同 (ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量. 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 1212(,)a b x x y y +=++r r a b b a +=+r r r r ()()a b c a b c ++=++r r r r r r AC BC AB =+ 向量的 减法 三角形法则 1212(,)a b x x y y -=--r r ()a b a b -=+-r r r r AB BA =-u u u r u u u r ,AB OA OB =- 数 乘 向 量 1.a λr 是一个向量,满 足:||||||a a λλ=r r 2.λ>0时, a a λr r 与同向; λ<0时, a a λr r 与异向; λ=0时, 0a λ=r r . (,)a x y λλλ=r ()()a a λμλμ=r r ()a a a λμλμ+=+r r r ()a b a b λλλ+=+r r r r //a b a b λ⇔=r r r r 3已知两个非零向量与b ，作=, =b ,则∠AOB=θ （001800≤≤θ）叫做向量与b 的夹角。 4．两个向量的数量积： 已知两个非零向量与b ，它们的夹角为θ，则·b =︱︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在方向上的投影．
向量基本概念与运算
专题：向量基本概念和运算 一、知识点总结 1、向量的基本概念： （1）向量：既有大小，又有方向的量． （2）有向线段的三要素：起点、方向、长度． （3）零向量：长度为0的向量． （4）单位向量：长度等于1个单位的向量． （5）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． （6）相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． 运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+= 坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++ 3、向量减法运算： 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． 坐标运算：（1）设()11,a x y =，()22,b x y =，则 ()1212,a b x x y y -=--． （2）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ① a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同； 当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反； 当0λ=时，0a λ=． 运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． 坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ= =． 5、向量共线定理： b a C B A a b C C -=A -AB =B
向量的基本定义向量的分量
向量的基本定义向量的分量 向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。在几何学中，向量用于表示空间中的位移和方向；在物理学中，向量用于表示物体的速度、加速度等物理量；在计算机科学中，向量用于表示数据的集合和特征等。本文将从向量的基本定义和向量的分量两个方面进行阐述。 一、向量的基本定义 向量是具有大小和方向的量，可以用来表示物理或数学上的一些量。在几何学中，向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。向量的大小通常用模来表示，向量的方向通常用角度或单位向量来表示。 二、向量的分量 向量的分量是指向量在不同方向上的投影或分解。向量可以在坐标系中表示为一个有序的数组，每个元素表示向量在坐标轴上的投影或分量。在二维空间中，向量可以表示为(x, y)，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y轴上的分量。在三维空间中，向量可以表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别表示向量在x轴、y轴、z轴上的分量。 三、向量的基本运算 向量的基本运算包括加法、减法、数量乘法和内积。向量的加法和
减法可以通过将对应分量相加或相减来实现。例如，向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)的和可以表示为A + B = (x1 + x2, y1 + y2)，差可以表示为A - B = (x1 - x2, y1 - y2)。向量的数量乘法可以通过将每个分量乘以一个常数来实现。例如，向量A = (x, y)乘以常数k，可以表示为kA = (kx, ky)。向量的内积可以通过将对应分量相乘再相加来实现。例如，向量A = (x1, y1)和向量B = (x2, y2)的内积可以表示为A·B = x1x2 + y1y2。 四、向量的线性组合 向量的线性组合是指将若干个向量按照一定的比例相加或相减得到的新向量。设有n个向量A1, A2, ..., An和n个实数c1, c2, ..., cn，它们的线性组合可以表示为c1A1 + c2A2 + ... + cnAn。线性组合常用于表示向量的线性相关性、生成子空间等问题。 五、向量的线性无关性 向量的线性无关性是指向量之间不存在非平凡的线性关系。如果存在一组向量A1, A2, ..., An和一组不全为零的实数c1, c2, ..., cn，使得c1A1 + c2A2 + ... + cnAn = 0，则称向量A1, A2, ..., An线性相关；否则，称向量A1, A2, ..., An线性无关。线性无关的向量组在向量空间中具有重要的性质和应用。 六、向量的长度和方向 向量的长度可以通过向量的模来计算，即向量的大小。在二维空间
向量的知识点归纳总结
向量的知识点总结 1. 概述 向量是数学中一种重要的概念，用于表示具有大小和方向的量。在物理、几何、线性代数等领域有广泛的应用。本文将对向量的定义、性质、运算、线性相关性、内积、向量空间等知识点进行总结。 2. 定义 向量可以看作一个有序的数字列表或坐标。一般表示为一个小写的字母带上一个箭头，如a⃗。向量有大小和方向两个重要属性。 3. 向量的表示 向量可以用不同的方式进行表示： - 笛卡尔坐标：用 n 个实数表示一个 n 维向量。 - 列向量：将向量的分量按列排列成一个列向量。 - 行向量：将向量的分量按行排列成一个行向量。 4. 向量的性质 向量有以下基本性质： - 零向量：大小为 0 的向量，表示为0⃗⃗。 - 单位向量：大小为 1 的向量，长度为 1。 - 相等性：两个向量相等当且仅当它们对应的分量相等。 - 加法交换律：a⃗+b⃗⃗=b⃗⃗+a⃗。 - 加法结合律：(a⃗+b⃗⃗)+c⃗=a⃗+ (b⃗⃗+c⃗)。 5. 向量的运算 向量的运算包括加法、减法和数乘： - 向量加法：将两个向量对应的分量相加得到的新向量。 - 向量减法：将两个向量对应的分量相减得到的新向量。 - 数乘：将一个向量的每个分量与一个实数相乘得到的新向量。
6. 线性相关性 向量的线性相关性描述了向量之间是否存在线性关系： - 线性相关：存在一组不全为零的实数使得线性组合为零。 - 线性无关：不存在一组不全为零的实数使得线性组合为零。 线性相关性可以通过计算行列式或者高斯消元法进行判断。 7. 内积 向量的内积（点积）是两个向量相乘得到的标量值。内积有以下性质： - 结合律： (a ⃗⋅b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅(b ⃗⃗⋅c ⃗) - 分配律：(a ⃗+b ⃗⃗)⋅c ⃗=a ⃗⋅c ⃗+b ⃗⃗⋅c ⃗ - 交换律：a ⃗⋅b ⃗⃗=b ⃗⃗⋅a ⃗ 内积的计算公式为：a ⃗⋅b ⃗⃗=a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n 8. 向量的模长 向量的模长（长度）是指向量的大小。对于一个 n 维向量 a ⃗，其模长的计算公式 为：|a ⃗|=√a 12+a 22+⋯+a n 2 9. 单位向量和方向向量 单位向量是模长为 1 的向量，方向向量是指向特定方向的向量。单位向量可以通过将向量除以其模长得到。 10. 向量的投影 向量的投影可以将一个向量投影到另一个向量上，得到的投影向量与目标向量垂直。投影的计算公式为：proj b ⃗⃗a ⃗=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗|⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗| 11. 向量的夹角 向量的夹角是指两个向量之间的夹角。夹角的计算公式为：cosθ=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|
向量知识点汇总
向量知识点汇总 1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向 2向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； 3零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量， ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量 4平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ 5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量 6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 8．向量加法的交换律：+=+ 9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b ) 11．差向量的意义： = a , = b , 则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量 12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa = 13．运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb 14． 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa 15．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 16．平面向量的坐标表示 分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = 17．平面向量的坐标运算 若),(11y x a =，),(22y x b =， 则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，,(y x a λλλ=
向量知识点总结
向量知识点总结 向量是在数学中非常重要的概念，它在各个学科和领域中都有广泛的应用。本文将总结向量的基本概念、性质以及相关的运算法则。 一、向量的基本概念 1. 向量的定义：向量是有大小和方向的量，用箭头表示，常表示为字母加上一个箭头，例如a →。向量可以位于空间中的任何位置，也可以表示为起点和终点之间的有向线段。 2. 向量的表示：向量可以用坐标表示，在二维平面上用(x, y) 表示，在三维空间中用(x, y, z)表示。也可以用点表示，表示 为起点和终点的坐标差。 二、向量的性质 1. 向量的长度：向量的长度又称为模，在二维平面上可以用勾股定理计算，即向量a的长度是√(x^2 + y^2)。在三维空间中，向量a的长度是√(x^2 + y^2 + z^2)。 2. 零向量：长度为0的向量称为零向量，记为0 → 或者O →。零向量的方向是任意的，但是没有特定的起点和终点。 3. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过除以向量的长度得到。常用的单位向量有i →、j →和k →，它们分 别沿着x轴、y轴和z轴的正方向。 4. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们称为平行向量。平行向量可以用数乘表示，即一个向量乘以一个实数，结果是一个平行于原向量且长度变化的新向量。 5. 直角向量：如果两个向量的内积为0，那么它们称为直角向量。直角向量垂直于彼此，可以用点乘表示。
三、向量的运算法则 1. 向量加法：向量加法满足交换律和结合律，即a → + b → = b → + a →，(a → + b →) + c → = a → + (b → + c →)。 2. 向量减法：向量减法可以通过向量加法和反向量来实现，即 a → - b → = a → + (-b →)。 3. 数乘：向量与实数相乘，即将每个分量都乘以实数，得到一个新的向量。 4. 内积：内积也叫点积，表示为a → · b →。内积满足交换律 和分配律，即a → · b → = b → · a →，(a → + b →) · c → = a → · c → + b → · c →。 5. 外积：外积也叫叉积，表示为a → × b →。外积满足反交换 律和结合律，即a → × b → = -b → × a →。 四、应用领域 1. 物理学：向量在物理学中广泛应用，用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。 2. 几何学：向量在几何学中用于描述平行、垂直、共线等关系，还用于计算向量的模和夹角。 3. 计算机图形学：向量在计算机图形学中用于描述物体的位置和旋转，也用于计算光照和颜色。 4. 金融学：向量在金融学中用于风险分析、投资组合管理等方面的模型构建和分析。 综上所述，向量是一种有大小和方向的量，它具有长度、零向量、单位向量、平行向量和直角向量等性质。向量的运算法则包括加法、减法、数乘、内积和外积。向量在物理学、几何学、
高一数学 向量的概念及表示
向量的概念及表示 基础知识 一 向量的概念及表示： 1、向量的定义： 自由向量： 2、向量的表示： 3、向量的模： 二 向量间的关系： 1、相等向量： 2、 (1)零向量： (2)单位向量： 3、基线： 4、共线向量（或平行向量）： 读作 记作 规定： 注意：：（1 ）共线向量未必在一条直线上，平行向量也未必不共线只平行。 （2）向量既有大小又有方向，不能用实数 来表示，并且不能比较大小。 5 向量可用来表示点：点A 相对于点O 的位置被向量a 所惟一确定，向量OA 叫做点A 相对于点O 的位置向量。 典型例题 例1：已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，在图中所标出的向量中： FE （1）试找出与共线的向量； FE （2）确定与相等的向量； OA BC （3）与相等吗？若不相等， 则之间有什么关系？ 例2：给出下列命题：（1）若,,==a b b c 则=a c （2）若//a b ，//c b ，则a//c （3）若=a b ，则//a b （4）若//a b ，则=a b ，（5）若|≠|a |b |，则a >b 或a
例4：（1）在四边形ABCD中，如果AB CD =，判断四边形ABCD的形状（2）如果ABCD是平行四边形，判断, AB CD是否相等。 =，则ABCD为平行四边形对吗？ （3）如果AB CD 练习 1、下列说法中正确的是( ) (A)平行向量就是向量所在直线都平行的向量 (B)长度相等的向量叫做相等向量 (C)零向量的长度为0 (D)共线向量就是在同一直线上的向量 2、下列说法中错误的是( ) (A)零向量是没有方向的 (B)零向量的长度为0 (C)零向量与任一向量平行 (D)零向量的方向是任意的 AO BO CO是（） 3、设O为△ABC的外心，则,, A、相等向量 B、平行向量 C、模相等的向量 D、起点相同的向量4：下列命题正确的是（） A a与b共线，b与c共线，则a与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 5、（1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
1、向量概念
向量概念 知识点 1、数量：只有大小没有方向的量称为数量； 向量：在数学中，既有大小又有方向的量叫作向量； 注：①数量之间可以比大小，向量之间不可以比大小； ②我们所学的是自由向量，即只有大小与方向，而无特定位置，这样的向量可作任意平移。 2、有向线段：规定了方向（起点和终点）的线段称为有向线段。 注：①以A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的 ； ②有向线段包含三个要素：起点，方向，长度。 3、向量的表示： （1）几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向； （2）代数表示：用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：、，也可 以用小写字母表示，但书写时，印刷用黑体a 、b 、c 等，书写用a 、b 、c 。 4、向量的模：向量的大小称为向量。 5、两种特殊向量： （1）零向量：长度为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向是任意的； （2）单位向量：长度等于1个单位长度的向量。 注：①若用有向线段表示零向量，则其起点与终点重合，|0|=0； ②单位向量有无数个，它们大小相等，方向不一定相同。 6、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量。向量a 与向量b 平行，记作a ∥b 。 规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a ，都有0∥a ； 相等向量：所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它们的起点位置如何。向量a 与向量b 是相同的向量，也称a 与b 相等，记作a =b ；
共线向量：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量又称为共线向量。 相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作-a。 规定：（1）零向量的相反向量还是零向量； （2）对任意一个向量a，总有-（-a）=a。 7、向量的夹角 对于两个非零向量a和b，如图，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫作向量a和b的夹角。 特殊情况： （1）θ=0°，a与b同向； （2）θ=90°，a与b垂直，记作a⊥b； （3）θ=180°，a与b反向； 小试身手 1、下列说法正确的是（） A、向量与是共线向量，则点A，B，C，D必在同一直线上 B、向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 C、向量与是两个平行向量 D、单位向量都相等 2、已知向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a与c一定平行吗？ 3、关于零向量，下列说法错误的是（） A、零向量是没有方向的 B、零向量的长度是0 C、零向量与任一向量平行 D、零向量的方向是任意的
高考向量的重点知识总结
高考向量考点总结 1.向量的概念 （1）向量的基本概念 ①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度，叫做向量的模。 ②特定大小或特定关系的向量 零向量，单位向量，共线向量（平行向量），相等向量，相反向量。 ③表示法：几何法：画有向线段表示，记为AB 或α。 ④在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标. AB =(x 2-x 1,y 2-y 1)，其中A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) （2）向量的运算 ①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）： a+b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a-b =(x 1-x 2,y 1-y 2)。其中a =(x 1，y 1),b =(x 2,y 2)。 运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a 。 ②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如 图5-2）： λa=λ(x,y)=(λx, λy) (1)︱ a ︱=︱ ︱·︱a ︱; (2) 当 ＞0时， a 与a 的方向相同；当 ＜0 时， a 与a 的方向相反； 当 =0时， a =0． (3)若a =（11,y x ），则 ·a =（11,y x ）． 运算律 λ（μa ）=(λμ)a,( λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)= λa+λb 。 3.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）： （1）．向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b , 则∠AOB= （001800 ）叫做向量a 与b 的夹角。 （2）．两个向量的数量积： 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为 ，则 a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos ． 其中︱b ︱cos 称为向量b 在a 方向上的投影． （3）．向量的数量积的性质：a ·b =b ·a ,(λa )·b =a ·(λb )=λ（a ·b ），（a +b ）·c =a ·c +b ·c 。若a =（11,y x ）,b =（22,y x ）则a ·b =2121y y x x （ⅰ）a ⊥b a ·b =0 02121 y y x x （a ，b 为非零向量）; （ⅱ）向量a 与b 夹角为锐角 ) ,(),(022212121y x y x y y x x
向量知识点整理
1.平面向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用，BC ，…表示. （3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. （6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. （3）运算律：a +b =b +a ；（a +b ）+c =a +（b +c ）. 3.向量的减法： （1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. 4.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，规定：|λa |=|λ||a |.当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λa 与a 平行. （2）运算律：λ（μa ）=（λμ）a ，（λ+μ）a =λa +μa ，λ（a +b ）=λa +λb . 5.两个重要定理： （1）向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ⇔b =λa （a ≠0）. （2）平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2. （1）向量的夹角：如下图，已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉. A （2）数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积， 记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ. （3）数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的模与b 在a 方向上的投影|b |cos θ的乘积. 2.数量积的性质：设e 是单位向量，〈a ，e 〉=θ. （1）e ·a =a ·e =|a |cos θ. （2）当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =－|a ||b |，特别地，a ·a =|a |2，或|a |=2a . （3）a ⊥b ⇔a ·b =0. （4）cos θ=| b ||a |b a ⋅. （5）|a ·b |≤|a ||b |. 3.运算律：（1）a ·b =b ·a ；（2）（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）；（3）（a +b ）· c =a ·c +b ·c . 4.向量数量积的坐标运算： 设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则 （1）a ·b =x 1x 2+y 1y 2； （2）|a |=2121y x +；