例析关于原点对称的点的坐标

例析关于原点对称的点的坐标

江苏 杨大为

关于原点对称的点的坐标是在学习了旋转和中心对称基础上的拓展和延伸，充分体现了平面直角坐标系中数与形的有机结合.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）•关于原点的对称点为P ′（-x ，-y ）.要注意和两个点关于x 轴、y 轴对称的坐标特征区别开来：关于x 轴的对称点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴的对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数.

例1 点M （2，-3）关于原点对称的点的坐标是 （ ）

A ．（-2，-3）

B ．（2，3）

C ．（-2，3）

D ．（2，-3）

解析：直接根据关于原点对称的对称点的坐标横、纵坐标均互为相反数，得点M （2，-3）关于原点对称的点的坐标是(-2，3，故选C.

例2 在平面直角坐标系中，点A （3，-2）与点B(a+1，b-2)关于原点对称，则a+b= _____. 分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数来确定a 和b 的值.

解：因为点A （3，-2）与点B(a+1，b-2)关于原点对称，所以a+1=-3，b-2=2，所以a=-4，b=4，所以a+b=-4+4=0.

例3 △ABC 各顶点的坐标分别为A(2，3)，B(-2，-1)，C(1，-3)，在图1中作出△ABC 关于原点O 对称的图形.

图1 图2

解析：由点P （x ，y ）•关于原点的对称点P ′（-x ，-y ），所以△ABC 的三个顶点A(2，

3)，B(-2，-1)，C(1，-3) 关于原点的对称点分别为A ′(-2，-3)，B ′(2，1)，C ′(-1，3).依次连接A ′B ′，B ′C ′，A ′C ′即可得到△ABC 关于原点O 对称△A ′B ′C ′，如图2所示.

评注：作出原三角形各个顶点的坐标关于原点的对称点，再顺次连接，即可到处三角形关于原点的对称图形.

例4 如图3，已知双曲线(0)k y k x

=>与直线y k x '=交于A 、B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题:

(1)若点A 的坐标为（4，2），则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m, 则点B 的坐标可表示为 ；

(2)如图4，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线(0)k y k x

=>于P ，Q 两点，点P 在第一象限.

①证明：四边形APBQ 是平行四边形；

②设点A 、P 的横坐标分别为m 、n ， 四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m 、n 应满足的条件；若不可能，请说明理由.

图3 图4

分析：(1)因为正比例函数的图象和双曲线都关于原点对称，所以它们的交点A 、B 也关于原点对称；(2)利用双曲线的对称性进行判断说明即可.

解：(1)（-4，-2）；（-m, k m

-）. (2)①由于点A 和点B 关于原点对称，所以OA=OB ；同理可得OP=OQ.

所以四边形APBQ 一定是平行四边形.

②四边形APBQ 可能是矩形， m 、n 应满足的条件是mn k =.

四边形APBQ 不可能是正方形，理由是点A ，P 不可能达到坐标轴，即∠POA≠900.

评注：反比例函数()0k y k x

=≠的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形，它有两条对称轴，分别是第一、三象限和第二、四象限的角平分线所在的直线，（即直线y x =和y x =-）；坐标原点是它的对称中心.