MF-DFA算法步骤

MF-DFA 算法步骤：

（1）对于长度为N 的时间序列{x k , k =1, 2,…, N }构造去均值的和序列：

∑=-=i

k k x x i Y 1)()(，N i ,,2,1 = (1) 式中∑==N k k x

N x 11

（2）将新序列Y (i )划分为长度为s 的N s 个不相交的区间（即改变时间尺度），其中N s =int(N /s )。为了保证序列Y (i )的信息在划分过程中不至于丢失，对Y (i )按照i 由小到大和由大到小各划分1次，这样，共得到2N s 个区间。

（3）对每个区间v （v = 1, 2,…, 2N s ）内的s 个点，用最小二乘法进行k 阶多项式拟合，得到:

1121)(+-++++=k k k k v a i a i a i a i y ,2,1 ;,,2,1==k s i （2）

（4）计算均方误差),(2v s F

当s N v ,,2,1 =时

212

})(])1[({1),(∑=-+-=s

i v i y i s v Y s v s F （3） 当s s s N N N v 2,,2,1 ++=时

212

})(])([{1),(∑=-+--=s i v s i y i s N v N Y s v s F （4） （5）对于2N s 个区间，求),(2v s F 的均值，得到q 阶波动函数)(s F q

q N v q s q s v s F N s F /1212/2)],([21)(⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑= （5）

式中q 可取任意不为零的实数。当q =0时，波动函数为

⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=s

N v s v s F N s F 2120)],(ln[21exp )( （6） F q (s )是关于数据长度s 和分形阶数q 的函数，随着s 的增大，F q (s )呈幂律关系增加，即)()(q h q s s F ∝，当q =2时，F q (s )就是标准的DFA 。H =h (q )就是赫斯特指数，

因此这里h (q )称作广义赫斯特指数。

当原始序列为单一分形时，均方误差),(2v s F 在所有长度为s 的区间标度是一致的，因此，h (q )为独立于q 的一个常数；当h (q )随q 变化时，{x k }展现多重分形特性。

当h (2)=0.5时，原始时间序列{x k }为一独立过程或者短程相关；当0.5＜h (2)≤1时，该序列存在长程相关性；当h (2)＜0.5时，该序列存在负长程相关性，即反持久性。

广义Hurst 指数h (q )与标度指数)(q τ有如下关系：

1)()(-=q qh q τ （7）

根据Legendre 变换式：

⎩⎨⎧-==)()()('q q f q ταατα （8）

由（7）、（8）式可得到奇异指数α、奇异谱f (α)与广义Hurst 指数h (q )有如下关系：

（9）

1)]([)(+-=q h q f αα （10）

奇异指数α的大小决定着波动过程在某局部上的光滑或不规则程度，多重分形的最深刻本质就是奇异指数取值具有多样性。

奇异指数α越大，说明信号在该局部的奇异性越弱，正则性越强，信号越平滑。相反，奇异指数α越小，说明信号在该局部的奇异性越强，正则性越弱在局部变化越激烈。平滑和剧烈变化都是信号的几何结构特征，信号的多重分形谱可以反映信号指数α的分布。

（1）α0（f max =f (α0)，],[max min 0ααα∈）表征压差波动信号的规则程度，α0越大说明压差波动信号越不规则，波动越剧烈。

（2）奇异谱的宽度min max ααα-=∆，反映了在标度不变的情况下，整个分形

结构上概率测度分布不均匀性的程度和过程的复杂性，刻画了数据集的波动幅度。Δα越大，压差波动信号分布越不均匀，数据波动越剧烈；Δα=0，则说明压差波动信号为完全均匀分布。

（3）)()(min max ααf f f -=∆主要体现了在标度不变的情况下，压差波动信号处于波峰和波谷位置数目的比例。若Δf <0，表示压差波动信号更多地处于波谷；若Δf >0，表示压差波动信号更多地处于波峰。