知识讲解对数函数及其性质基础

对数函数及其性质
【学习目标】
1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；
2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；
3．了解反函数的概念，知道指数函数x
y a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠．
【要点梳理】
要点一、对数函数的概念
1．函数y=log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件： （1）系数为1；
（2）底数为大于0且不等于1的常数；
（3）对数的真数仅有自变量x ．
要点诠释：
（1）只有形如y=log a x(a>0，a≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。

（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含
有字母的式子要注意分类讨论。

要点二、对数函数的图象与性质
a＞1 0＜a＜1 图
象
性质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过定点（1，0），即x=1时，y=0
在（0，+∞）上增
函数
在（0，+∞）上是减函数
当0＜x＜1时，y
＜0，
当x≥1时，y≥0
当0＜x＜1时，y＞0，
当x≥1时，y≤0
要点诠释：
关于对数式log a N的符号问题，既受a的制约又受N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.
以1为分界点，当a，N同侧时，log a N>0；当a，N异侧时，log a N<0.
要点三、底数对对数函数图象的影响
1．底数制约着图象的升降．
如图
要点诠释：
由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关
的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．
2．底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图
象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)
要点四、反函数
1．反函数的定义
设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ϕ=也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称函数()x y ϕ=是函数()y f x =的反函数，
记作1
()x f
y -=，在1()x f y -=中，y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成1
()y f x -=（,x B y A ∈∈）
的形式．函数1
()x f
y -=（,y B x A ∈∈）与函数1()y f x -=（,x B y A ∈∈）为同一函数，因为自变量的
取值范围即定义域都是B ，对应法则都为1
f
-．
由定义可以看出，函数()y f x =的定义域A 正好是它的反函数1
()y f x -=的值域；函数()y f x =的
值域B 正好是它的反函数1
()y f
x -=的定义域．
要点诠释：
并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2
y x =．一般说来，单调函数有反函数．
2．反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．
（2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则(),b a 必在其反函数图象上，反之，若(),b a 在反函数图象上，则(),a b 必在原函数图象上．
【典型例题】
类型一、对数函数的概念
例1.下列函数中，哪些是对数函数？
（1）log 0,1)a
y a a =>≠；
（2）2log 2;y x =+ （3）28log (1)y x =+； （4）log 6(0,1)x y x x =>≠； （5）6log y x =．
【答案】（5）
【解析】（1）中真数不是自变量x ，不是对数函数．
（2）中对数式后加2，所以不是对数函数．
（3）中真数为1x +，不是x ，系数不为1，故不是对数函数．
（4）中底数是自变量x ，二非常数，所以不是对数函数．
（5）中底数是6，真数为x ，符合对数函数的定义，故是对数函数．
【总结升华】已知所给函数中有些形似对数函数，解答本题需根据对数函数的定义寻找满足的条件．
类型二、对数函数的定义域
求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注
意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.
例2. 求下列函数的定义域：
(1)2
log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且.
【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <．
【解析】由对数函数的定义知：2
0x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.
(1)因为2
0x >，即0x ≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为；
(2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为.
【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，
且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都
有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >．
举一反三：
【变式1
】求函数y =.
【答案】(1，
23) (2
3
，2] 【解析】因为121
2
10
log (1)0log (1)1x x x ⎧⎪
->⎪⎪
-≥⎨⎪⎪-≠⎪⎩， 所以101132x x x ⎧⎪>⎪<-≤⎨⎪⎪≠⎩，
所以函数的定义域为(1，
23) (2
3
，2]. 类型三、对数函数的单调性及其应用
利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.
要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域
优先的观念.
例3. 比较下列各组数中的两个值大小：
(1)33log 3.6,log 8.9； (2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5； (4) 3log 5与6log 4．
(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．
【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。

【答案】(1)< ；(2) <；(3) >；(4) >；(5) 略．
【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.
(1)解法1：画出对数函数3log y x =的图象，横坐标为3.6的点在横坐标为8.9的点的下方，所以，
33log 3.6log 8.9<；
解法2：由函数3log y x =在R +上是单调增函数，且3.6<8.9，所以33log 3.6log 8.9<；
(2)与第(1)小题类似，0.2log y x =在R +上是单调减函数，且1.9<3.5，所以0.20.2log 1.9log 3.5>； (3)函数2log y x =和7log y x =的图象如图所示．当1x >时，2log y x =的图象在7log y x =的图象上方，这里5x =，27log 5log 5∴>．
(4)
3366log 5log 31log 6log 4,>==>
36log 5log 4∴>
(5) 注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小.
解法1：当1a >时，log a y x =在(0，+∞)上是增函数，且4.2<4.8，所以，log 4.2log 4.8a a < 当01a <<时，y=log a x 在(0，+∞)上是减函数，且4.2<4.8，所以，log 4.2log 4.8a a > 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，
令1log 4.2a b =，则1b a =4.2，令2log 4.8a b =，则2 4.8b
a =，
当1a >时，x
y a =在R 上是增函数，且4.2<4.8，
所以，b 1<b 2，即log 4.2log 4.8a a <
当时01a <<，x
y a =在R 上是减函数，且4.2<4.8 所以，b 1>b 2，即a a log 4.2>log 4.8.
【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是：
（1）比较同底的两个对数值的大小，常利用对数函数的单调性．
（2）比较同真数的两个对数值的大小，常有两种方法：①先利用对数换底公式化为同底的对数，再利
用对数函数的单调性和倒数关系比较大小；②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小．
（3）若底数与真数都不同，则通过一个恰当的中间量来比较大小．
【高清课堂：对数函数369070 例1】
例4．利用对数函数的性质比较0.2
3、3log 2、5log 4的大小． 【答案】0.2
3
5log 4>>3log 2
【解析】
0.231>，3log 21<，5log 41<，∴只需比较3log 2与5log 4的大小即可
3222952222log 2log 5log 5log 5
log 51log 4log 3log 42log 3log 9
====< ∴3log 2<5log 4 ∴0.2
3
5log 4>>3log 2
【总结升华】本题也可以使用一个常用的结论：类似于
1234
2345
<<<的一个结论，2345log 1log 2log 3log 4<<<，得出三个数的大小．
举一反三：
【变式1】（2014年福建三明月考）设13
log 2a =，12
log 3b =，0.3
1
()3
c =，则（ ）
A ． a ＜b ＜c
B ． a ＜c ＜b
C ． b ＜c ＜a
D ． b ＜a ＜c
【思路点拨】直接判断对数值的范围，利用对数函数的单调性比较即可．
【答案】D
【解析】∵13
log 20a =<，12
log 30b =<，
11113
2
3
2
log 2log 2log 2log 3<<<，
0.31
()03
c =>．
∴b ＜a ＜c ．
故选：D ．
【总结升华】本题考查对数函数的单调性，对数值的大小比较，用单调性比较大小是函数单调性的一
个重要应用．
例5．（2014年安徽亳州月考）已知函数2
2()log (3)f x x ax a =-+在区间[2，+∞）上递增，则实数a
的取值范围是（）
A ． （－∞，4）
B ． （－4，4]
C ． （－∞，－4）∪[2，+∞）
D ． [－4，2）
【思路点拨】由题意知函数22()log (3)f x x ax a =-+是由2log y t =和2
()3t x x ax a =-+复合而来，
由复合函数单调性结论，只要t （x ）在区间[2，+∞）上单调递增且f （x ）＞0即可．
【答案】B
【解析】令2
()3t x x ax a =-+，由题意知：
t （x ）在区间[2，+∞）上单调递增且t （x ）＞0
2
2
(2)4230
a t a a ⎧≤⎪⎨⎪=-+>⎩又a ∈R +解得：－4＜a ≤4 则实数a 的取值范围是（－4，4]
故选B ．
【总结升华】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的根
本．
举一反三：
【变式1】求函数()
22log 4y x =+的值域和单调区间． 【答案】[)2,+∞；减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞．
【解析】设24t x =+，则2
44t x =+≥，∵ y=2log t 为增函数，2222log log (4)log 42t x ∴=+≥=
()22log 4y x ∴=+的值域为[)2,+∞．
再由：2
2log (4)y x =+的定义域为R
24t x ∴=+在()0,+∞上是递增而在(),0-∞上递减，而2log y t =为增函数
∴ 函数y=2
2log (4)x +的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.
类型四、函数的奇偶性
例6. 判断下列函数的奇偶性.
(1)2-()ln
;2x
f x x
=+ (2)())f x x =. 【思路点拨】判断函数奇偶性的步骤是：（1）先求函数的定义域，如果定义域关于原点对称，则进行
（2），如果定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数。

（2）求()f x -，如果()()f x f x -=，则函
数是偶函数，如果()()f x f x -=-，则函数是奇函数。

【答案】（1）奇函数；（2）奇函数．
【解析】首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.
(1)由
2-0-222x
x x
><<+可得 所以函数的定义域为：(-2，2)关于原点对称
又1222()ln
ln()-ln (),()()222x x x
f x f x f x f x x x x
-+---====--=--++即 所以函数2-()ln
2x
f x x
=+是奇函数； 【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明
判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
(2)0x x R >∈可得 所以函数的定义域为R 关于原点对称
又
(-)))-()f x x x f x =====
即f(-x)=-f(x)；所以函数())f x x =是奇函数.
【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌
握.
类型五、利用函数图象解不等式
例7．若不等式2log 0x
a x -<，当10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时恒成立，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】画出函数2x
y =的图象与函数log a y x =的图象，然后借助图象去求借。

【答案】2112a ⎛⎫≤<
⎪⎝⎭
【解析】 要使不等式2log 0x
a x -<在10,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时恒成立，即函数log a y x =的图在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
内恒在
函数2x y =图象的上方，而2x
y =图象过点1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
．由右图可知，1log 22a ≥，
显然这里0＜a ＜1，∴函数log a y x =递减．又21
log 2log 2
a
a a ≥=，∴2
12
a ≥
，即212a ⎛⎫≥
⎪⎝⎭
．∴所求的a 的取值范围为2112a ⎛⎫≤<
⎪⎝⎭
．
【总结升华】“数”是数学的特征，它精确、量化，最有说服力；而“形”则形象、直观，能简化思维过程，
降低题目的难度，简化解题过程，把它们的优点集中在一起就是最佳组合．本例中，利用图形的形象直观
快速地得到答案，简化了解题过程．正因为如此，数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想方法之
一，因此我们必须熟练地掌握这一思想方法，并能灵活地运用它来分析和解决问题．
在涉及方程与不等式的问题时，往往构造两个函数()f x 与()g x ，则()f x =()g x 的实数解等价于两个
函数()y f x =与()y g x =的图象的交点的横坐标；而()f x <()g x 的的解等价于函数()y f x =的图象在
()y g x =的图象下方的点的横坐标的取值范围．利用图象的形象性、直观性，可使问题得到顺利地解决，
而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程．因此，我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式
的问题．
举一反三：
【变式1】 当x ∈（1，2）时，不等式2
(1)log a x x -<恒成立，求a 的取值范围．
【答案】1＜a≤2
【解析】设2
1()(1)f x x =-，2()log a f x x =，要使当x ∈（1，2）时，不等式
2(1)log a x x -<恒成立，只需21()(1)f x x =-在（1，2）上的图象在2()log a f x x =的
下方即可．当0＜a ＜1时，由图象知显然不成立．当a ＞1时，如图2-2-5所示，要使在
（1，2）上，2
1()(1)f x x =-的图象在2()log a f x x =的下方，
只需12(2)(2)f f ≤，
即2
(21)log 2a -≤，log 21a ≥，∴1＜a≤2．
类型六：对数函数性质的综合应用
例8．（1）已知函数2
lg(2)y x x a =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）已知函数2
lg(2)y x x a =++的值域为R ，求实数a 的取值范围；
（3）2
2()log (log )a a f x x x =-+的定义域为1(0,)2
，求实数a 的取值范围．
【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问
题.()f x 的定义域为R ，即关于x 的不等式2
20x x a ++>的解集为R ，这是不等式中的常规问题.
()f x 的值域为R 与22x x a ++恒为正值是不等价的，因为这里要求()f x 取遍一切实数，即要求
22u x x a =++取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数
的条件是0∆≥.
【答案】（1）1a >；（2）1a ≤；（3）11,322a ⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
． 【解析】
（1）
2lg(2)y x x a =++的定义域为R ，
∴220x x a ++>恒成立，∴440a ∆=-<，∴1a >．
（2）
2lg(2)y x x a =++的值域为R ，
∴22x x a ++取遍一切正数，∴440a ∆=-≥，∴1a ≤．
（3）由题意，问题可等价转化为不等式2
2log 0a x x -<的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，记
2122:,:log ,a C y x C y x ==作图形12C C 与，如图所示，只需2C 过点1124⎛⎫
⎪⎝⎭，，
∴021a <<，即满足102a <<
，且2211log ()22a =即可，解得132
a =．所以由图象可以看出若12C C <，则211log 24a ≥，即()1
4122a ≥，得：132a ≥，所以11,322a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭。

【总结升华】如果函数()f x 的定义域为某个区间D ，则函数()f x 在这个区间D 的任何子集内部都有
意义；如果函数()f x 在区间E 上有意义，而()f x 的定义域为D ，则必有E D ⊆．
举一反三：
【变式1】已知函数2
()lg(21)f x ax x =++.
（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取
值范围.
【答案】（1）a ＞1；（2）0≤a≤1．
【解析】（1）()f x 的定义域为R ，即：关于x 的不等式2
210ax x ++>的解集为R ，
当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R ；
当a≠0时，有⎩
⎨⎧<-=∆>0440a a ⇔ a>1.∴ a 的取值范围为a>1.
（2）f(x)的值域为R ，即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数⇔ a=0或⎩⎨
⎧≥-=∆>0
440
a a ⇔0≤a≤1，
∴ a 的取值范围为0≤a≤1.。