中考数学第19讲 等腰三角形(含答案)

第19讲 等腰三角形

【回顾与思考】

等腰三角形60⎧⎧⎧⎪⎪

⎨

⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎧

⎨⎪⎨⎪⎩⎪

⎪⎪︒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎩等边对等角

性质三线合一

腰与底边不等的等腰三角形等角对等边

判定定义

三边相等性质三角都相等

有一个角等于

的等腰

等边三角形三角形

判定三边都相等(或三角都相等)的

三角形

【例题经典】

一．根据等腰三角形的性质寻求规律

例1．在△ABC 中，AB=AC ，∠1=1

2∠ABC ，∠2=1

2∠ACB

，BD 与CE 相交于点O ，如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什

么关系？

若∠1=1

3∠ABC ，∠2=1

3∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关

系如何？

若∠1=1

n ∠ABC ，∠2=1

n ∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关

系如何？

【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，

根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE ，

即可得到∠1=1

2∠ABC ，∠2=1

2∠ACB 时，∠BOC=90°+1

2∠A ；

∠1=1

3∠ABC ，∠2=1

3∠ACB 时，∠BOC=120°+1

3∠A ；

∠1=1

n ∠ABC ，∠2=1

n ∠ACB 时，∠BOC=1

n n -·180°+∠A ．

【点评】在例1图中，若AE=1

n AB ，AD=1

n AC ．类似上题方法同样可证得BD=CE ．

•

上述规律仍然存在．

二．会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，一腰上的中线BD•将这

个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及

底边长．

【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两

种情况讨论．

三．利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．（2006年常德市）如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的

形状，并说明理由．

【分析】（1）把△ABP 绕点B 顺时针旋转60°即可得到△

CBQ ．•利用等边三角形的性质证△ABP ≌△CBQ ，得到

AP=CQ ．（2）连接PQ ，则△PBQ 是等边三角形．PQ=PB ，AP=CQ

故CQ ：PQ ：PC=PA ：PB ：PC=3：4：5，∴△PQC

是直角三角形．

【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．

基础训练

1．如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC=_____°．

（1） （2） （3）

2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，•若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长是_______．

3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．

4．（2006年烟台市）如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．

（4）（5）（6）5．（2006年包头市）如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）．

6．（2006年诸暨市）等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B 开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P•运动的时间应为________．

7．如图6，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A•′的坐标为_______．

8．

（2006年江阴市）如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20•°，且AE=•AD，则∠CDE=________．

（7）（8）（9）

9．（2005年常州市）如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）

A．44° B．68° C．46° D．22°

10．（2006年海南省）如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，•使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）

A．L1B．L2C．L3D．L4

11．（2006年日照市）如图10，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．•则∠A等于（）

A．30° B．36° C．45° D．72°

（10）（11）

12．（2006年怀化市）同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，•是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，•则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于（）

A．25° B．50° C．60° D．130°