高等数学 第8-10章讲义

高等数学（下）零基础教材课精讲

主讲：高昆轮

第八章 向量代数与空间解析几何（仅数一）

第一节 向量及其线性运算

一、 向量的概念与向量的坐标表示 1.向量的概念

,.

,,,10AB AB AB α既有大小又有方向的量称为,记为或用有向线段表示向量线段的长度表示向量的大小又称向量的长度或大小相等方向相同的两个向量称为，

模等于的向量称为,模等于 的向量称为.

定义1:向量模相等单位向量零向量

2.向量的坐标表示

()()()(),,,,,,.,,,,,,,,.

x y z x y z x x y y z z Oxyz OM M x y z x y z a a a b b b b b a b a b a b ααααα=====⇔===在空间直角坐标系中,若点的坐标称为的坐标记为设则

3.向量的模与方向余弦

()2

2

2

,,,,.,,,;cos ,cos ,cos .Oxyz x y z x

y

z

x y z x y z ααβγααααααβγα

α

α

==++=

=

=

在空间直角坐标系中,称与三个坐标轴轴的夹角为的设则的模的方向角方向余弦

二、 向量的线性运算

()()()()(

)()

()()()()(),,,,,,,,,,,.,

;

,

,.

x y z x y z x x y y z z x y z a a a b b b b b a b a b a b a a a b b b c a b c a a a a a a a b a b ααλαλλλαα

αλμμλλμλμλμλλλ==+=+++=+=+++=++==+=++=+设则

向量的加法与数乘有以下性质:加法:数乘:

(()121211,3,0,.M M M M ==⎡⎤⎣⎦例已知两点和计算向量的模、方向余弦和方向角

第二节 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积

1.:cos ,

2.:,,,,,,

3.,,

4.:00.

x y z x y z x x y y z z x x y y z z a b a b a b a a a a b b b b a b a b a b a b a b b a a b c a c b c a b a b a b a b a b a b a b θθλλ⋅===⋅=++⋅=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=⋅⇔⋅=⇔++=⊥几何表示其中是与的夹角；

代数表示设（）（）则；运算规律:（）（）（）；应用（判定两向量垂直）

二、两向量的向量积

1.:.

sin ,.

2.:,,,,,,

3.,,x y z x y z x

y z x

y

z

a b a b a b a b a b a b i

j k a a a a b b b b a b a a a b b b a b b a a b c a c b c a b a b a b θθλλλ⨯⨯=⨯==⨯=⨯=-⨯+⨯=⨯+⨯⨯=⨯=⨯几何表示是一个向量模:其中是与的夹角；方向:同时垂直于和代数表示设（）（）则；运算规律:（）（）（）（）（）/4..

/:0y x z x y z

a a a a

b a b b b b ⇔⨯=⇔==；应用（判定两向量平行）

()()()123122311,1,23,3,13,1,3,.M M M M M M M -⎡⎤⎣⎦例设、和求与、

同时垂直的单位向量 三、混合积

1.:,,,,,,,,,,,.

2.,4.:x

y z x y z x y z x y z x

y z x

y

z a b c a b c abc a a a a a a a b b b b c c c c a b c b b b c c c abc bca cab abc acb cba bac ⨯⋅===⨯⋅====-=-=-定义称（）为三个向量的混合积,记为（）.设（）（）（）则（）运算规律:（）（）（）（）（）（）（）；

应用（判定,,0.

a b c a b c ⇔⨯⋅=三向量共面）共面（）

第三节 平面及其方程

一、建立平面方程

,.平面由一个定点与法向量确定与平面垂直的向量称为它的法向量基本点:

1.平面的点法式方程

()()()()()0000000,

,,,,.

A x x

B y y

C z z x y z n A B C -+-+-==这里为平面上一定点,为平面的法向量

2.平面的一般式方程

()0,,,Ax By Cz D n A B C +++==这里为平面的法向量.

3.平面的截距式方程

1,,,0x y z

a b c a b c

++=这里分别为平面在三个坐标轴上的截距且均不为. 二、 平面与平面的位置关系

()()()1232,1,41,3,20,2,3.M M M ---⎡⎤⎣⎦例1求过三点、和的平面方程

()()121,1,10,1,10,.M M x y z -++=⎡⎤⎣⎦例2一平面通过两点和且垂直于平面求它的方程

第四节 空间直线及其方程

一、 建立空间直线方程

空间直线由一个定点与方向向量确定,与直线平行的非零向量称为它的方向向量.基本点:

1.空间直线的点向式方程

()()000

000,,,,,x x y y z z x y z s m n p m n p

---===这里为直线上一定点,为直线的方向向量. 2.空间直线的参数式方程

()()000000,,,,,x x mt y y nt x y z s m n p z z pt

=+⎧⎪

=+=⎨⎪=+⎩

这里为直线上一定点,

为直线的方向向量. 3.空间直线的一般式方程

11111222220

,.0

A x

B y

C z

D s n n A x B y C z D +++=⎧=⨯⎨

+++=⎩这里的直线为两个平面的交线,方向向量 二 、空间直线与空间直线、平面与空间直线的位置关系 三、一组距离公式

()()

()()1111222200002

2

0000

00001.,,,,2.,,03.,,,

,,,.

P x y z P x y z d P x y z Ax By Cz D d B C

P P s x x y y z z P x y z d m n p

s

P s m n p =

+++==++⨯---====两点和的距离点到平面的距离点到空间直线

的距离这里是直线上任一点（）是直线的方向向量

10

.2340x y z x y z +++=⎧⎡⎤⎨⎣⎦-++=⎩例1用点向式及参数方程表示直线

()21,2,4340.x y z --+-=⎡⎤⎣⎦例求过点且垂直于平面2的直线方程

()3432513,2,5.x z x y z -=--=-⎡⎤⎣⎦例求与两平面和的交线平行且过点的直线方程