高等数学 第8-10章讲义

高等数学（下）零基础教材课精讲
主讲：高昆轮
第八章 向量代数与空间解析几何（仅数一）
第一节 向量及其线性运算
一、 向量的概念与向量的坐标表示 1.向量的概念
,.
,,,10AB AB AB α既有大小又有方向的量称为,记为或用有向线段表示向量线段的长度表示向量的大小又称向量的长度或大小相等方向相同的两个向量称为，
模等于的向量称为,模等于 的向量称为.
定义1:向量模相等单位向量零向量
2.向量的坐标表示
()()()(),,,,,,.,,,,,,,,.
x y z x y z x x y y z z Oxyz OM M x y z x y z a a a b b b b b a b a b a b ααααα=====⇔===在空间直角坐标系中,若点的坐标称为的坐标记为设则
3.向量的模与方向余弦
()2
2
2
,,,,.,,,;cos ,cos ,cos .Oxyz x y z x
y
z
x y z x y z ααβγααααααβγα
α
α
==++=
=
=
在空间直角坐标系中,称与三个坐标轴轴的夹角为的设则的模的方向角方向余弦
二、 向量的线性运算
()()()()(
)()
()()()()(),,,,,,,,,,,.,
;
,
,.
x y z x y z x x y y z z x y z a a a b b b b b a b a b a b a a a b b b c a b c a a a a a a a b a b ααλαλλλαα
αλμμλλμλμλμλλλ==+=+++=+=+++=++==+=++=+设则
向量的加法与数乘有以下性质:加法:数乘:
(()121211,3,0,.M M M M ==⎡⎤⎣⎦例已知两点和计算向量的模、方向余弦和方向角
第二节 数量积 向量积 混合积
一、两向量的数量积
1.:cos ,
2.:,,,,,,
3.,,
4.:00.
x y z x y z x x y y z z x x y y z z a b a b a b a a a a b b b b a b a b a b a b a b b a a b c a c b c a b a b a b a b a b a b a b θθλλ⋅===⋅=++⋅=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=⋅⇔⋅=⇔++=⊥几何表示其中是与的夹角；
代数表示设（）（）则；运算规律:（）（）（）；应用（判定两向量垂直）
二、两向量的向量积
1.:.
sin ,.
2.:,,,,,,
3.,,x y z x y z x
y z x
y
z
a b a b a b a b a b a b i
j k a a a a b b b b a b a a a b b b a b b a a b c a c b c a b a b a b θθλλλ⨯⨯=⨯==⨯=⨯=-⨯+⨯=⨯+⨯⨯=⨯=⨯几何表示是一个向量模:其中是与的夹角；方向:同时垂直于和代数表示设（）（）则；运算规律:（）（）（）（）（）/4..
/:0y x z x y z
a a a a
b a b b b b ⇔⨯=⇔==；应用（判定两向量平行）
()()()123122311,1,23,3,13,1,3,.M M M M M M M -⎡⎤⎣⎦例设、和求与、
同时垂直的单位向量 三、混合积
1.:,,,,,,,,,,,.
2.,4.:x
y z x y z x y z x y z x
y z x
y
z a b c a b c abc a a a a a a a b b b b c c c c a b c b b b c c c abc bca cab abc acb cba bac ⨯⋅===⨯⋅====-=-=-定义称（）为三个向量的混合积,记为（）.设（）（）（）则（）运算规律:（）（）（）（）（）（）（）；
应用（判定,,0.
a b c a b c ⇔⨯⋅=三向量共面）共面（）
第三节 平面及其方程
一、建立平面方程
,.平面由一个定点与法向量确定与平面垂直的向量称为它的法向量基本点:
1.平面的点法式方程
()()()()()0000000,
,,,,.
A x x
B y y
C z z x y z n A B C -+-+-==这里为平面上一定点,为平面的法向量
2.平面的一般式方程
()0,,,Ax By Cz D n A B C +++==这里为平面的法向量.
3.平面的截距式方程
1,,,0x y z
a b c a b c
++=这里分别为平面在三个坐标轴上的截距且均不为. 二、 平面与平面的位置关系
()()()1232,1,41,3,20,2,3.M M M ---⎡⎤⎣⎦例1求过三点、和的平面方程
()()121,1,10,1,10,.M M x y z -++=⎡⎤⎣⎦例2一平面通过两点和且垂直于平面求它的方程
第四节 空间直线及其方程
一、 建立空间直线方程
空间直线由一个定点与方向向量确定,与直线平行的非零向量称为它的方向向量.基本点:
1.空间直线的点向式方程
()()000
000,,,,,x x y y z z x y z s m n p m n p
---===这里为直线上一定点,为直线的方向向量. 2.空间直线的参数式方程
()()000000,,,,,x x mt y y nt x y z s m n p z z pt
=+⎧⎪
=+=⎨⎪=+⎩
这里为直线上一定点,
为直线的方向向量. 3.空间直线的一般式方程
11111222220
,.0
A x
B y
C z
D s n n A x B y C z D +++=⎧=⨯⎨
+++=⎩这里的直线为两个平面的交线,方向向量 二 、空间直线与空间直线、平面与空间直线的位置关系 三、一组距离公式
()()
()()1111222200002
2
0000
00001.,,,,2.,,03.,,,
,,,.
P x y z P x y z d P x y z Ax By Cz D d B C
P P s x x y y z z P x y z d m n p
s
P s m n p =
+++==++⨯---====两点和的距离点到平面的距离点到空间直线
的距离这里是直线上任一点（）是直线的方向向量
10
.2340x y z x y z +++=⎧⎡⎤⎨⎣⎦-++=⎩例1用点向式及参数方程表示直线
()21,2,4340.x y z --+-=⎡⎤⎣⎦例求过点且垂直于平面2的直线方程
()3432513,2,5.x z x y z -=--=-⎡⎤⎣⎦例求与两平面和的交线平行且过点的直线方程
第五节 曲面及其方程
一、 曲面的方程
(),,0,F x y z S =三元方程在空间表示一张曲面叫做曲面的一般式.
二、 旋转曲面
1.旋转曲面的概念
,.
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴定义1:
2.建立旋转曲面方程
(
)(
)(,0
:,0
0;,0f y z yoz L x z f z y f y ⎧=⎨
=⎩==1.设坐标面上的一条曲线绕轴旋转一周所得旋转曲面方程为:绕轴旋转一周所得旋转曲面方程为:
22
221x z xoz z x a c -=⎡⎤⎣⎦例1将面上的曲线分别绕轴和轴旋转一周,求所生成的旋转曲面方程.
三、 柱面
1.柱面的概念
,.
C L C L 平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹叫做柱面,定曲线叫做柱面的准线动直线叫做柱面的母线定义2:
2.建立柱面方程
()(),0,0.0
F x y F x y z xoy z ⎧==⎨=⎩方程在空间中表示柱面,它的母线平行于轴,准线是面上的曲线
三、二次曲面
第六节 空间曲线及其方程
一、 空间曲线的方程
()()()()(),,0
,,,0,F x y z C G x y z x x t y y t C z z t =⎧⎪⎨=⎪⎩=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
方程组在空间表示一条曲线叫做空间曲线的一般式.
方程组在空间表示一条曲线叫做空间曲线的参数式.
二、 空间曲线在坐标面上的投影
()()()(),,0
:,
,,0
,0,,0
0,.
F x y z C
G x y z z
H x y C xoy H x y z C xoy z =⎧⎪⎨=⎪⎩=⎧==⎨=⎩设由空间曲线在此方程组中消去得它表示空间曲线关于面的投影柱面,若在令即表示空间曲线在面上的投影
z z xoy ==⎡⎤⎣⎦
例1求上半球面面上的投影.
第九章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、二维邻域的概念
()()()()()(
{
}
()()(
){
}
000000000o
o
000,,,,,,,,,,.
,,,,0.
P x y xoy P x y P x y P U P U P x y P U P U P x y δδδδδδδδδδ=
<=
<<设是平面上的一个点是某一正数,
与点距离小于的点的全体称为点的记作即点的,记作即邻域去心邻域
二、二元函数的概念
()(),,,,,,,,,,,.
,,,.x y z x y D D P x y f z z x y z f x y x y D z =设有三个变量变量的变化域为若对中每一点按照某一对应规则变量都有唯一确定的一个值与之对应,则称变量是变量的二元函数记作这里称为自变量称为定义域称为因变量（函数值）
定义1:
(),.z f x y =二元函数的图形是一张曲面注:
三、多元函数的极限
()()()()()0
00lim ,,,,.x x y y f x y A f x y A x y x y →→=⇔→→ 定义2:
()()()()()00
00lim ,,,0,,.x x y y f x y A f x y A x y x y αα→→=⇔=+→→ 其中定理:
()()00,,3.x y x y →1.二元函数中是指的沿任意路径方式;
2.除洛必达法则、单调有界准则外其余求极限的方法适用于二重极限；要会用不同的路径或某一特殊的路径说明二元函数极限不存在.
注: (
)222200
11lim sin .x y x y x y →→+⎡⎤⎣⎦+例求()
2
sin 2lim .x y xy x →→⎡⎤⎣⎦例求12
3lim .
x y x y
xy →→+⎡⎤⎣
⎦例
求2200
00
4:1lim 23x x x y y y xy
x y →→→→→→⎡⎤⎣⎦+例求（）；（）））
四、多元函数的连续性
()()()()00
0000lim ,,,,,.x x y y f x y f x y f x y x y →→=若则称二元函数在处连续定义3:
()()00,,2.3.f x y x y 1.二元函数在处若不连续是不讨论其间断点类型的;二元连续函数具有与一元连续函数相同的运算结论；
（二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）或复合仍连续）二元连续函数具有与一元连续函数在闭区间相同的基本定理；（有界性与最大值最小值定理、介值定理）
注:
第二节 偏导数
一、 偏导数的定义及其几何意义
1.偏导数的定义
()()()()()
()()()
()()
00
0000000000
0000000000
,,,,,lim lim .,,,,,lim
lim
.
x x x x y y y y f x x y f x y f x y f x y f x y x x x f x y y f x y f x y f x y f x y y
y y ∆→→∆→→+∆--'==∆-+∆--'==∆-定义1:
2
1sin 2.z x y =⎡⎤⎣⎦
例求的偏导数 ()(
)(),1arcsin
,1.x f x y x y f x '=+-⎡⎤⎣⎦例2设求()()()()()()()220,0,,0,01,;2,.
0,,0,0xy
x y x y f x y f x y x y x y ⎡⎤⎣⎦⎧≠⎪+==+⎨⎪=⎩
例3讨论下列函数在点的连续性与可偏导性:
（）（） 2.偏导数的几何意义
()()()()()()()()0000000000000000,,,,,;,,,,,x y f x y z f x y y y P x y f x y x f x y z f x y x x P x y f x y y '====是曲面与平面的交线在点处的切线对轴的斜率是曲面与平面的交线在点处的切线对轴的斜率.
()2242,4,544x y z x y ⎧+=
⎪⎡⎤⎨⎣⎦
⎪=⎩
例曲线在点处的切线对轴的倾角是多少？
二、高阶偏导数
()()()()()()2222,,,,,,,,,,,:,,,,x y xx
xy z z z z
z f x y D f x y f x y D x y x y x y
z f x y z z
z z
f x y f x y x x x
y x x y
z z
x y y x
∂∂∂∂''===∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''''===
= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂∂=
⎪∂∂∂∂⎝⎭设在区域内具有偏导数
在内均是的函数如果这两个函数的偏导数也存在称它们是的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同二阶偏导数有以下四个()()2222,,,..
yx yy
z z
f x y f x y y y y
z z x y y x
⎛⎫∂∂∂''''=== ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂其中和称为混合偏导数
()()()
()0000220022,,,,,
.
x y x y z z
z f x y x y x y y x z z x y
y x
∂∂=∂∂∂∂∂∂=
∂∂∂∂若的两个二阶混合偏导数和在在点处连续则定理1:
2222ln :0.z z
z x y ∂∂=+=⎡⎤⎣⎦∂∂例5验证函数
()()2,,0,,.f z f x y f x y x y ∂==⎡⎤⎣⎦∂∂例6设在全平面有连续的偏导数且求
第三节 全微分
一、全微分的定义
()()()()()
(
()()()()()
000000000000,,,,,,
,,,,,.
x y z f x y x y z f x x y y f x y z A x B y o A B x y z f x y x y A x B y z f x y x y dz
A x
B y ρρ=∆=+∆+∆-∆=∆+∆+=
∆∆=∆+∆==∆+∆设在点的某邻域有定义,若全增量可表示为,其中和是不依赖于和的常数则称在点处可微,而称为在点处的微分记为定义1:
二、可微的必要条件与充分条件
1.必要条件
()()()()()()()()()()00000000000000,,,,,,,1,,2,,,.
x y x y x y x y z f x y x y f x y x y f f f f f x y x y dz x y dx dy x
y
x
y
=∂∂∂∂=
∆+
∆=
+
∂∂∂∂若在点处可微则（）在点处连续；（）在点处可偏导且
2.充分条件
()()()()0000,,,,,f f
z f x y x y z f x y x y x y
∂∂==∂∂若的两个偏导数
都在点处连续,则在点处可微. 22
.z x y y =+⎡⎤⎣⎦
例1计算函数的全微分
()()()()()()(),0,0,,,0,0.0,,0,0x y f x y f x y x y ⎧
≠⎪=⎡⎤⎨⎣⎦⎪=⎩例2设讨论在点是否可微()()()()()()()22
22,,0,03,,,0,0.0,,0,0x y x y x y
f x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎡⎤⎨⎣⎦⎪=⎩
例设讨论在点是否可微 ()()()()()()()()()()3342234
4,410315125,,.,,,,,,,.u u x y du x xy y dx x y xy y dy u x y du x y P x y dx Q x y dy u x y P x y dx Q x y dy ==+-+-+⎡⎤⎣⎦
⎡=++⎤⎣⎦
例设满足求若称为的原函数注:
第四节 多元复合函数的求导法则
一、 链式求导法则
()()()()()()()1212,,,,,,,,,,,,,.u u x y v v x y x y x y z f u v z f u x y v x y x y z f u f v u v z f u f v u v f f f f x u x v x x x y u y v y y y
====∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂''''=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂设在点处有对的偏导数在对应点可微则复合函数对的偏导数存在且
；
()2,,.w w w f x y z xyz f x x z ∂∂=++⎡⎤⎣⎦∂∂∂例1设具有二阶连续偏导数,求及
()22,,,,.y
z z f u x y u xe f x y ∂==⎡⎤⎣⎦∂∂例设具有二阶连续偏导数,求
22222223600,.
u x y z z z z a v x ay x x y y u v z =-⎧∂∂∂∂+-==⎡⎤⎨⎣⎦=+∂∂∂∂∂∂⎩例用变换可把方程化简为求值,
其中有二阶连续偏导数 第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
()()(),,0,,0,.y x y F x y F F dy
F x y y y x dx F '≠'===-'
设有连续一阶偏导数且则方程确定且
隐函数存在定理1
()()(),,,0,,,0,,.
z y x z z F x y z F F F z
z F x y z z z x y x F y F '≠''∂∂===-=-''
∂∂设有连续一阶偏导数且则方程确定且，隐函数存在定理2 二、方程组情形（仅数一）
()()()(
),,,0
,,,,
,,,00,.
x u v x u v F x y u v u u x y v v x y G x y u v u v F F F u v x x
x u v x x G G G x x =⎧⎪==⎨=⎪⎩∂∂⎧'''++=⎪∂∂⎪∂∂⇒⎨∂∂∂∂⎪'''++=⎪∂∂⎩
设有方程组确定在方程两端直接对求偏导,有
()()22
2
00
2
1100,1,.x x dy
d y
x y y y x dx
dx ==+-==⎡⎤⎣⎦例验证方程在点附近能确定函数并求和
22
2
2
2240,.z x y z z x ∂++-=⎡⎤⎣⎦∂例设求 0,,,.1xu yv u u v v
yu xv x y x y -=⎧∂∂∂∂⎡⎤⎨⎣⎦+=∂∂∂∂⎩
例3设求和 ()()()
4,,0,.
u v cx az cy bz z f x y z z
a b c x y
ϕϕ--==⎡⎤⎣⎦∂∂+=∂∂例设具有连续偏导数,证明由方程所确定的函数满足 ()()()5,,,,,0,
,.
y f x t t t x y F x y t dy
f F dx
===⎡⎤⎣⎦例设而是由方程所确定的函数其中都具有一阶连续偏导数,求 第六节 多元函数微分学的几何应用（仅数一）
一、 曲面的切平面与法线
()()()():,,0,=,,:,,=,,1.
x y z x y F x y z n F F F z f x y n f f '''∑=''∑=-曲面以隐式给出法向量；曲面以显示给出法向量
()222
1141,2,3.x y z ++=⎡⎤⎣⎦
例求曲面在点处的切平面及法线方程 ()22212,1,4.z x y =+-⎡⎤⎣⎦例求曲面在点处的切平面及法线方程
二、空间曲线的切线与法平面
()
()()()()()()()()12:,,=,,,,0
:,=.
,,0
x x t L y y t t x t y t z t z z t F x y z L n n G x y z αβττ=⎧⎪
'''=≤≤⎨⎪=⎩=⎧⎪⨯⎨=⎪⎩空间曲线以参数形式给出切向量；
空间曲线以一般式给出切向量 ()2
331,1,1.x t
y t z t =⎧⎪=⎡⎤⎨⎣⎦
⎪=⎩
例求曲线在点处的切线及法平面方程 ()2226
41,2,1.0
x y z x y z ⎧++=-⎡⎤⎨
⎣⎦++=⎩例求曲线在点处的切线及法平面方程
第七节 方向导数与梯度（仅数一）
一、方向导数的定义
()()()()()
00000000
,,cos ,cos cos ,cos ,lim .
l P t z f x y P x y e f x t y t f x y f
l
t
αβαβ+
→==++-∂=∂二元函数在点处沿着方向的方向导数
定义1:
二、方向导数的存在性及计算
()()()()()()0
0000000000,,,,,,cos ,cos ,cos ,cos .
P x y z f x y P x y z f x y P x y f
f x y f x y l l
αβαβ==∂''=+∂若在点可微则在点沿任一方向的方向导数都存在,且其中是方向的方向余弦
()()()2112,1.y
z xe P P Q =-⎡⎤⎣⎦
例1求函数在点，0处沿从点，0到点的方向导数 三、梯度
()()()000000,,,.x y gradf x y f x y i f x y j ''=+定义2:
()()()()()()()
()()()000000,000000000000,cos ,cos ,,,cos ,cos ,,cos ,,x y x y y f
f x y f x y l
f x y f x y gradf x y l gradf x y gradf x y l αβαβθθ∂''=+∂''=⋅=⋅=其中是与的夹角.
方向导数与梯度向量的关系:
221
.grad x y
⎡⎤⎣⎦+例2求 ()()()()()()()()2
200001,,1,1,:2
1,,2,,3,.
f x y x y P f x y P f x y f x y P f x y f x y P =
+⎡⎤⎣⎦例3设求（）在处增加最快的方向以及沿这个方向的方向导数；（）在处减少最快的方向以及沿这个方向的方向导数；
（）在处变化率为零的方向
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
()()()()()()()()00000000000,,,,,,,,,,z f x y P x y P x y x y f x y f x y P x y f x y =<>设在点的某邻域内有定义,对该邻域内任何异于的点有（）则称是的极大（小）值点.
定义1:
()()()()
()()()()()()()()()()()()2
2
20
,,0,0lim 1,
0,0,0,0,0,0,0,0,x y f x y xy
f x y x
y
A f x y
B f x y
C f x y
D f x y →→-=⎡⎤⎣⎦+例1已知函数在点的某个邻域内连续,且则下列说法正确的是____.
点不是的极值点点是的极大值点点是的极小值点
根据所给条件无法判断是否为的极值点
二、极值的必要条件和充分条件
1.必要条件
()()()()()00000000,,,,0,,0.x y z f x y x y x y f x y f x y ''===设在处具有偏导数,且在处取极值,则
2.充分条件
()()()()()()()()()()()()()()()00000000000020000002002,,,0,,0,,,,,0,,,,0,,0,,0,,,x y xx
xy yy z f x y x y f x y f x y f x y A f x y B f x y C B AC x y f x y A x y f x y A x y f x y B AC x y f x y B AC ''===''''''===-<><->-设在的某邻域内有二阶连续偏导数,且记，，则（1）若则是的极值点且
时,为的极小值点；时,为的极大值点.（2）若则不是的极值点.
（3）若()()000,,,x y f x y =则可能是也可能不是的极值点.
()33222,339f x y x y x y x =-++-⎡⎤⎣⎦
例求的极值. ()()2223,246110,,z z x y x y z x y z z z x y =++-+--==⎡⎤⎣⎦
例设由方程确定求的极值.
三、条件最值
()()()()()()()()()()()()()(),,0,,,,,,0,,0,0,.
,,,,0,,0
,,0
x x x
y y y z f x y x y F x y f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y z f x y z x y z x y z x y z λϕλλϕλϕλϕϕϕϕφ===+'''=+=⎧⎪
'''=+=⎨⎪'==⎩===⎧⎪⎨=⎪⎩求在条件下的最值
（1）构造拉格朗日函数，（2）列方程组，
（3）解上述方程组，
（4）根据实际问题所得即所求上述方法可推广求在一个条件或两个条件下的最值.
构造()()()
()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,0.
F x y z f x y z x y z F x y z f x y z x y z x y z λλϕλλϕμφ=+=++=或
()1111
4,,,0.u xyz x y z a x y z a
=++=>⎡⎤⎣⎦例求在条件下的最值 四、连续函数在闭区间上的最大值最小值
()()(),,,z f x y D f x y D f x y D =以二元函数为例:求连续函数在有界闭区域上的最值（1）求在内部的偏导数为零和偏导数不存在的点，（2）求在的边界上的最值点，
（3）比较上述各函数值的大小,最大的为最大值,最小的为最小值.
()2222
:1,,2.D x y x y T x y x +≤⎡⎤⎣⎦
=+-例5设有一圆板占有平面闭区域该圆板被加热,以致在点的温度是求该圆板的最热点和最冷点.
第十章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、 二重积分的概念及其几何意义
1.二重积分的概念
()()()()0
1
,lim ,,.
,,,n
i i i i i D
f x y d f f x y D f x y D λσξησλσ→==∆∆∑⎰⎰其中表示最大小区域的直径在上存在二重积分也称在上可积.
定义1:
2.二重积分的几何意义
()()(),0,,,D
f x y f x y d z f x y D σ≥=⎰⎰若则表示以曲面为顶,以区域为底,
侧面是柱面的曲顶柱体的体积.
二、二重积分的性质
()()()()()()()()()()()()()1
2
12121
21211,,,,,,,,,1,,,,,,2,,3,D D
D
D
D
D
D D D
D
D
D
d A k f x y k g x y d k f x y d k g x y d f x y d f x y d f x y d D D D D D D f x y g x y f x y d g x y d f x y d f x y d D m f σσσσσσσσσσσ=+=+⎡
⎤⎣⎦=+==Φ≤≤≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（）；
（2）；（3）；
（）在上若则；
（）；
（）在上若1.等式性质2.不等式性质
()()()()()(),,,,,,,,=,.
D D D
D D
x y M m A f x y d M A f x y D D f x y d f A σξησξη≤⋅≤≤⋅∈⋅⎰⎰⎰⎰则；
设在上连续则存在一点使3.中值定理
三、二重积分的对称性
1.普通对称性
()()()()()()()()1111,0,2,,,,0,,,0,2,,,,.0,,D D D D
D y D D x f x y d f x y x f x y d f x y x D x D D y f x y d f x y y f x y d f x y y σσσσ≥⎧⎪=⎨⎪⎩
≥⎧⎪=⎨⎪⎩
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
设关于轴对称是在的部分则
对是偶函数；对是奇函数设关于轴对称是在的部分则
对是偶函数
对是奇函数 2.轮换对称性
()(),,,.D
D
D y x f x y d f y x d σσ==⎰⎰⎰⎰若关于直线对称则
()()()()()()1
1
1
1:,,:0,,cos sin ____
2cos sin 24cos sin 0
D
D D D D a x a x y a D x a x y a xy x y dxdy A x ydxdy B xydxdy C xy x y dxdy D -≤≤≤≤≤≤≤≤⎡⎤⎣⎦+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例1设有平面闭区域则
()()()()()()1
2
122,,,,:
1,,,,2,,.
D D D
D
f x y f y x D D y x f x y d f y x d D D D y x f x y d f y x d σσσσ=⎡⎤⎣⎦===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例设都在上可积,关于直线对称证明（）其中分别为在的上方与下方部分；
（）
第二节 二重积分的计算法
一、 利用直角坐标计算二重积分
()()()()()()
()()()()()
()
21211212:,,,,.1:,,,,.2b
x a x D
d y c y D
D a x b x y x f x y d dx f x y dy D c y d y x y f x y d dy f x y dx
ϕϕφφϕϕσφφσ≤≤≤≤=≤≤≤≤=⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
1.若则（）
2.若则（）
12,1,
2,
y x x y D D y D y x D D x D x y ≥公式（）和（）都是将二重积分化为累次积分,不同的是前者是先对积分后对积分后者是先对积分后对积分.公式（）中区域的特点是穿过内与轴平行的直线交的边界不多于两点,是适宜先对积分后对积分的区域；公式（）中区域的特点是穿过内与轴平行的直线交的边界不多于两点,是适宜先对积分后对积分的区域.每个单积分总是上限下限,
后积分的积公式的特点:区域的特点:积分限的特点:分线是常数,先积分的积分限是后积分变量的函数.
,,11.D
D y x x y σ==-=⎡⎤⎣⎦⎰⎰
例1计算其中是由直线和围成的闭区域 2,2.D
xyd D y x y x σ==-⎡⎤⎣⎦⎰⎰
例2计算其中是由抛物线及直线所围成的闭区域 二、 利用极坐标计算二重积分
()()()()()
()
2112:,,,cos ,sin .
r r D
D D r r r f x y d d f r r rdr β
θα
θαθβθθσθθθ≤≤≤≤=⎰⎰⎰⎰
若是适合极坐标表示,即则
()2
2
,
m
n
m
n
m n y x x y f x y x y f x y f x y ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭被积函数形如或或且积分区域为圆域、环域、扇形时使用极坐标比较方便.
注:
22
,x y D
e
d D a σ--⎡⎤⎣⎦⎰⎰例3计算其中是由圆心在原点、半径为的圆周所围成的闭区域.
22222224,:.D x y dxdy D x y R a b ⎛⎫++≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝
⎭⎰⎰例计算二重积分其中
22
5,221D
xydxdy D x y x y +=+-⎡⎤⎣⎦⎰⎰例计算二重积分其中是由曲线所围成的闭区域.
(
)()()()(
)1
4
412332
00
1
1
10
61,2,,;
3,.
y y
y
dy f x y dx dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy --⎡⎤⎣⎦+⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
⎰例交换下列二次积分的次序：（）；（）（）
()(
)11
1
11,;
3,.
x
dx f x y dy dx f x y dy -⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例7化下列的二次积分为极坐标下的二次积分：（）（）
)2
2
2
22
200
81____;2____.a
y x dx e dy dx x
y dy -=+=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例计算下列二次积分（）（）
第三节 三重积分（仅数一）
一、 三重积分的概念与物理意义
1. 三重积分的概念
()()()()0
1
1:,,lim ,,,.
,,,,,n
i i i i i i f x y z dv f v v f x y z f x y z λξηγλ→=Ω
=∆∆ΩΩ∑⎰⎰⎰定义其中表示最大小区域的直径在上存在三重积分也称在上可积.
2. 三重积分的物理意义
()(),,,,,.f x y z m f x y z dv Ω
Ω=⎰⎰⎰若物体占据空间区域其体密度为,则在它的质量
二、三重积分的性质（类比二重积分） 三、三重积分的对称性 1.普通对称性
()()()()11,2,,,,,,,.0,,,,.
yoz yoz f x y z dv f x y z x f x y z dv f x y z x xoy xoz ΩΩ
ΩΩΩ⎧⎪=⎨⎪⎩
Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰
设关于面对称是在前面的部分,则
对是偶函数对是奇函数若关于面或面对称有类似的结论
2.轮换对称性
()(),,,,,.x y f x y z dv f y x z dv Ω
Ω
Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰若把对调不变,则
()()()()1
2
1
2
1
2
1
2
22222222
12:,0;:,0,0,0;4444x y z R z x y z R x y z A xdv xdv
B ydv ydv
C zdv zdv
D xyzdv xyzdv
ΩΩΩΩΩΩΩΩΩ++≤≥Ω++≤≥≥≥⎡⎤⎣⎦
====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例1设则以下正确的是____.
四、三重积分的计算 1.利用直角坐标
()()()()()()
()()()()21,12,1.:,,,,,,,,,;
2.:,,,,,,,.
xy
z
z x y xy z x y D z D z x y z z x y x y D f x y z dv dxdy f x y z dz z x y D f x y z dv dz f x y z dz β
α
αβΩ
Ω
Ω≤≤∈=Ω≤≤∈=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰若则若则
,21xdxdydz x y z Ω
Ω++=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例2计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.
2222
222,:x y z z dxdydz a b c Ω
Ω≤⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例3计算三重积分其中++ 1.
2.利用柱面坐标
()(),,,,,,,,:0,02,.cos ,sin ,.
M x y z xoy P r r z M r z r z x r y r z z θθθθπθθ≤<+∞≤≤-∞<<+∞===为空间中的点,它在面上投影点的极坐标为称为点的柱面坐标;规定的变化范围为直角坐标与柱坐标的关系:（1）柱坐标
21 / 21
()(),,cos ,sin ,.f x y z dv f r r z rdrd dz θθθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（2）柱坐标下的三重积分
()()()222222m n l m n l m n l x y z f x y x y z f x z x y z f y z +++Ω被积函数如或或,
且是旋转体,如柱体、锥体、旋转抛物体时优选柱坐标.
注: 22,+4zdxdydz z x y z ΩΩ==⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例4计算三重积分其中是由曲面与平面所围成的闭区域.
3. 利用球面坐标
()(),,,
,,
,,,,:0,0,02.
sin cos ,sin sin ,cos .
M x y z M O r O M xoy P OP x O M OM z r M r r x r y r z r θϕθϕθϕϕπθπϕθϕθϕ≤<+∞≤≤≤≤===为空间中的点,到原点的距离为原点与在面上投影点的有向线段与轴正向夹角为原点与的有向线段与轴正向夹角为称数组为点的球面坐标;
规定的变化范围为直角坐标与柱坐标的关系:（1）球坐标
（2）球坐标下的三重积分()()2,,sin cos ,sin sin ,cos sin .
f x y z dv f r r r r
drd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
()222m n l x y z f x y z ++Ω被积函数如,且是球体、锥体时优选球坐标.注: ()()22222222222225112x y z dv x y z zdv x y z a a x y z Ω
Ω
⎡⎤⎣⎦++Ω++=Ω++-≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰例计算下列三重积分:
（）,其中由球面:所确定；
（）,其中由不等式,所确定.。