专题三 第2讲 数列求和及其综合应用

第2讲 数列求和及其综合应用

[考情分析] 数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上． 考点一 数列求和 核心提炼

1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有：

1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1；14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫

12n －1－12n ＋1. 2．如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式．

考向1 分组转化法求和

例1 已知在等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b n ＝1

a n

＋2log 2a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .

解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1，a 2，a 3－2成等差数列，得2a 2＝a 1＋a 3－2， 即4q ＝2＋2q 2－2，解得q ＝2(q ＝0舍去)， 则a n ＝a 1q n －1＝2n ，n ∈N *.

(2)b n ＝1a n ＋2log 2a n －1＝12n ＋2log 22n －1＝1

2n ＋2n －1，

则数列{b n }的前n 项和

S n ＝⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋1

2n ＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝12⎝⎛

⎭⎫1－12n 1－12＋12n (1＋2n －1)＝1－12n ＋n 2.

考向2 裂项相消法求和

例2 (2020·北京昌平区模拟)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 3＝8，a 4－a 2＝4. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；

(2)记数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，若T n >99

100，求n 的最小值．

解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，

依题意有⎩⎪⎨⎪⎧

2a 1＋2d ＝8，

a 1＋3d －a 1－d ＝4，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝2，

d ＝2.

所以a n ＝2n ，S n ＝n 2＋n ，n ∈N *. (2)因为1S n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1

，

所以T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1

n ＋1. 因为T n >99100，即1－1n ＋1>99

100，

所以n >99，所以n 的最小值为100. 考向3 错位相减法求和

例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n >0，且a 2n ＋1－2a n ＋1a n －3a 2

n ＝0.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝log 3(1＋S n )，求数列{a n b n }的前n 项和T n .

解 (1)由a 2n ＋1－2a n ＋1a n －3a 2n ＝0及a n >0，

得⎝ ⎛⎭

⎪⎫a n ＋1a n 2－2×a n ＋1a n －3＝0， 解得a n ＋1a n ＝3或a n ＋1

a n ＝－1(舍)，

所以{a n }是等比数列，且公比q ＝3， 又a 1＝2，所以a n ＝2·3n －1，n ∈N *. (2)因为S n ＝2(1－3n )1－3

＝3n －1，

所以b n ＝log 3(1＋S n )＝n ，则a n b n ＝2n ·3n －1，

所以T n ＝2×30＋4×31＋6×32＋…＋(2n －2)·3n －2＋2n ·3n －1，① 所以3T n ＝2×31＋4×32＋6×33＋…＋(2n －2)·3n －1＋2n ·3n ，② ①－②，得(1－3)T n ＝2＋2×31＋2×32＋2×33＋…＋2·3n －1－2n ·3n ＝2(1－3n )1－3

－2n ·3n ＝(1－

2n )·3n －1，

所以T n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·3n ＋1

2.

规律方法 (1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和差． (2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项．

(3)错位相减法求和，主要用于求{a n b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别为等差数列和等比数列． 跟踪演练1 (1)(2020·武汉江夏一中、汉阳一中联考)若首项为2

3

的数列{a n }满足2(2n ＋1)a n a n

＋1

＋a n ＋1＝a n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020等于( )

A.8 0804 041

B.4 0784 040

C.4 0404 041

D.4 039

4 040 答案 C

解析 依题意得a n ≠0，由2(2n ＋1)a n a n ＋1＝a n －a n ＋1， 等式两边同时除以a n a n ＋1可得1a n ＋1－1a n

＝4n ＋2，

则当n ≥2时，1a n －1a n －1＝4n －2，1a n －1－1a n －2＝4n －6，…，1a 2－1

a 1＝6，

以上式子左右两边分别相加可得 1a n －1a 1＝(6＋4n －2)(n －1)

2， 即1a n ＝2n 2－12＝(2n －1)(2n ＋1)2

， 所以a n ＝2(2n －1)(2n ＋1)＝12n －1－12n ＋1，

当n ＝1时，a 1＝2

3

满足上式．

故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020＝1－13＋13－15＋…＋14 039－14 041＝1－14 041＝4 040

4 041

.