高中数学典型例题：抛物线问题

抛物线问题
典型例题一
例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x
分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．
（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．
解：（1）2=p Θ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a
y 1
2=，a p 12=∴
①当0>a 时，
a p 41
2=
，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41
-=．
②当0<a 时，a
p 41
2-=，抛物线开口向左，
∴焦点坐标是)0,41
(a ，准线方程是：a x 41-=．
综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41
(
a
，准线方程是：a
x 41-
=． 典型例题二
例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．
分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．
解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=x
y kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ．
∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：28
422
21=+=+∴
k
k x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ．
解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22
212
188x y x y ==．
两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即
2
121218
y y x x y y +=--． 421=+x x Θ444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，
4
48
-=
∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ．
典型例题三
例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明
12
MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切．
证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==11, 在直角梯形A A BB 11中：
AB BF AF BB AA MM 21
)(21)(21111=+=+=
AB MM 21
1=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．
说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．
典型例题四
例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．
分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标．
解：（1）由⎩⎨⎧+==k
x y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x
设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4
,12
2121k x x k x x =⋅-=+
[][]
)
21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴
53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k （2）9=∆S Θ，底边长为53，∴三角形高55
65
392=⨯=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即
5
5
6124022
20=
+--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0）．
典型例题五
例5 已知定直线l 及定点A （A 不在l 上），n 为过A 且垂直于l 的直线，设N 为l 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B ，点B 关于AN 的对称点为P ，求证P 的轨迹为抛物线．
分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PN PA =且l PN ⊥即可．
证明：如图所示，连结P A 、PN 、NB ．
由已知条件可知：PB 垂直平分NA ，且B 关于AN 的对称点为P ． ∴AN 也垂直平分PB ．则四边形P ABN 为菱形．即有PN PA =．
..l PN l AB ⊥∴⊥Θ
则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线．
典型例题六
例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦，F 为C 的焦点，求证：
p F P F
P 2
1121=+． 分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．
证法一：)0,2
(p
F Θ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时，
则有p F P F P ==21,
p p p F P F
P 2
111121=+=+∴． 若线段21P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2(≠-=k p
x k y ，且
设),(),,(222111y x P y x P ．
由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
-=-=)2
()
2(p x k y p
x k y 得：04)2(222
22=+
+-p k x k p x k 2
221)
2(k k p x x +=+∴ ①
4
2
21p x x =⋅ ②
根据抛物线定义有：p x x P P p
x F P p x F P ++=∴+=+
=21211211,2
,2
则
F P F P F P F P F P F P 2121
211
1⋅+=+4
)(2)2)(2(2
2121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得：
p F P F
P 21121=+ 证法二：如图所示，设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'
2P 、F '，
且不妨设1122P P m n P P '=<='，又设2P 点在F F '、11P P
'上的射影分别是A 、B 点，由抛物线定义知，
p F F m F P n F P ='==,,12 又AF P 2∆∽12BP P ∆，1
221
P P F P BP AF =
∴
即
n
m n
n m n p +=
-- p
n m mn
n m p 2
112)(=+∴=+∴ 故原命题成立．
典型例题七
例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α，求证：焦点弦长为α
2
sin 2p
AB =
． 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．
证法一：抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2
(p
，
过焦点的弦AB 所在的直线方程为：)2
(tan p
x y -=α
由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧
=-=px y p x y 2)
2(tan 2α消去y 得：
0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x
设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα 又)(tan 2121x x y y -=α
[]
α
α
ααααααα2422
2
2
2
22
22
2
122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(p
p p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴
即α
2sin 2p
AB =
证法二：如图所示，分别作1AA 、1BB 垂直于准线l ．由抛物线定义有：
α
αcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF
于是可得出：αcos 1-=
p AF α
cos 1+=
p
BF ααα
α22sin 2cos 12cos 1cos 1p p
p p BF
AF AB =
-=
++
-=+=∴ 故原命题成立．
典型例题八
例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ，它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为1-=x ，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ，若弦AB 的长度不超过8，且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点，求 （1）AB 的倾斜角θ的取值范围．
（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为k ，弦AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得θ的取值范围，求CD 中点M 的轨迹方程时，可设出M 的坐标，利用韦达定理化简即可．
解：（1）由已知得4=PF ．故P 到1-=x 的距离4=d ，从而d PF = ∴曲线C 是抛物线，其方程为x y 42=．
设直线AB 的斜率为k ，若k 不存在，则直线AB 与22322=+y x 无交点． ∴k 存在．设AB 的方程为)1(-=x k y
由⎩⎨⎧-==)
1(42x k y x y 可得：0442=--k y ky 设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则：442121-=⋅=
+y y k
y y
2
22122122212
)1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y k AB +=
-++=-+
=∴
∵弦AB 的长度不超过8，8)
1(42
2≤+∴k
k 即12≥k 由⎩⎨⎧=+-=223)1(2
2y x x k y 得：0)1(24)32(2
222=-+-+k x k x k ∵AB 与椭圆相交于不同的两点，32<∴k 由12≥k 和32<k 可得：31<≤k 或13-≤<-k
故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ 又πθ<≤0，∴所求θ的取值范围是：
3
4
π
θπ
<
≤或
4
332π
θπ≤
< （2）设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D
由⎩⎨⎧=+-=2
23)1(2
2y x x k y 得：0)1(24)32(2
222=-+-+k x k x k 93253
13
23
1322232)
1(2,3242222
2
4322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-=
⋅+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x ΘΘ
则323211522<+-≤k 即3
252<≤x ． 3)1(2)
1(23221
2
22
2
22+-⋅-⋅=
+=∴-=
x y x y k k x x y k Θ 化简得：032322=-+x y x
∴所求轨迹方程为：)3
2
52(032322<≤=-+x x y x
典型例题九
例9 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 的中点到
y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标．
分析：线段AB 中点到y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可．
解：如图，设F 是x y =2的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，
又M 到准线的垂线为MN ，C 、D 和N 是垂足，则
2
321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN ．
设M 点的横坐标为x ，纵坐标为y ，41+=x MN ，则45
4123=-≥x ．
等式成立的条件是AB 过点F ． 当45=
x 时，4
1
221-=-=P y y ，故 22
122)(212
221221=-=++=+x y y y y y y ，
221±=+y y ，2
2±
=y ． 所以)22,45(±
M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为4
5
． 说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．
典型例题十
例10 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值． 分析：本题可分2
πθ=和2
πθ≠
两种情况讨论．当2
πθ≠
时，先写出AB 的表达式，
再求范围． 解：(1)若2
πθ=，此时p AB 2=．
(2)若2
πθ≠
，因有两交点，所以0≠θ．
)2(tan p x y AB -=θ：，即2
tan p
y x +=θ．
代入抛物线方程，有0tan 222=--p y p
y θ
．
故θθ
2222
2
2
12csc 44tan 4)(p p p y y =+=-， θ
θθ22
222122
12tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-． 故θθ
θ422
222
csc 4)tan 1
1(csc 4p p AB =+=． 所以p p AB 2sin 22
>=
θ
．因2π
θ≠，所以这里不能取“=”． 综合(1)(2)，当2
πθ=时，p AB 2=最小值．
说明：
(1)此题须对θ分2
πθ=
和2
πθ≠
两种情况进行讨论；
(2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为θ
2
sin 2p
l =； (3)当2
πθ=
时，AB 叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦．
典型例题十一
例11 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为'A 、'B ，则①''FB A ∠为（ ），②B AF '∠为（ ）． A ．大于等于︒90 B ．小于等于︒90 C ．等于︒90 D 不确定
分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切．
解：①点A 在抛物线上，由抛物线定义，则21'∠=∠⇒=AF AA ，
又x AA //'轴31∠=∠⇒． ∴32∠=∠，同理64∠=∠， 而︒=∠+∠+∠+∠1804632，∴︒=∠+∠9063，
∴︒=∠90''FB A ．选C ．
②过AB 中点M 作l MM ⊥'，垂中为'M ，
则AB BF AF BB AA MM 2
1)(21)(21'''=+=+=． ∴以AB 为直径的圆与直线l 相切，切点为'M ．
又'F 在圆的外部，∴︒<∠90'B AF ．
特别地，当x AB ⊥轴时，'M 与'F 重合，︒=∠90'B AF ．
即︒≤∠90'B AF ，选B ．
典型例题十二
例12 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时，点P 的坐标为__________．
分析：本题若建立目标函数来求PF PM +的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．
解：如图，
由定义知PE PF =，故2
13=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM ． 取等号时，M 、P 、E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标
为2，
所以P点坐标为)2,2(．
说明：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离．要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换．。