算术平均数和几何平均数

算术平均数与几何平均数
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1
问题
某种商品分两次降价，降价的方案有三种： 方案甲是第一次9折销售，第二次再8折销售； 方案乙是第一次8折销售，第二次再9折销售； 方案丙是两次都是 9 8 折销售．
2
试问降价最少的方案是哪一种？
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2．注意：①两个重要不等式使用的条件；② 不等式中“=”号成立的条件．
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11
作业
1．课本作业；习题6.2．1，3；
2．思考题：已知：abc1
求证：abbcac1.
3
3．研究性题：设正数ab1，a,bR，试尽
可能多的给出含有a和b的两个元素的不等式．
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②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式（“当 表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的）．
③几何解释，如图．
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4
定理
如果a，b是正数，那么 ab ab（当且 2
仅当时 ab 取“=”号）．
请同学们运用“a b ab ”自己证明． 2
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③比较上述两个不等式的特征（限制条件）．
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7
说明
④几何解释；
⑤定理可推广为“n个（n 1 nN ）正数
的算术平均数不小干它们的几何平均数”．
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8
例题
已知：a，b，c，d都是正数， 求证：(a bc)da ( cb)d 4ab. cd
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2
证明
如果 a,bR，那么 a2b22ab（当且仅 ab当时取“=”
号证明）：．a2b22a b(ab)2.
当ab时 (ab)2 0, 当ab时 (ab)2 0,
所以 (ab)2 0.
即
a2b22ab.
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3
说明
① a2b22ab的充要条件是ab．
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5
算术平均数与几何平均数
这里，我们称 a b 为a，b的算术平均数， 2
称 ab 为a，b的几何平均数．
因而，这一定理又可叙述为：两个正数的 算术平均数不小于它们的几何平均数．
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6
说明
① abab ab； 2
②解释“算术平均数”和“几何平均数”的概念 并叙述它们之间的关系；
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9
练习
已知 x, y都是正数，求证：
（1） y x 2 ； xy
（2） (x y )x 2 ( y 2 )x 3 ( y 3 ) 8 x 3 y 3 .
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10
小结
1．本节课学习了两个重要不等式及它们在解 决数学问题中的应用．