方阵的行列式

子式的乘积之和等于零，即
a1 j A1l a2 j A2l an j Anl 0 (l j)
23
定理1.2 设 n 阶矩阵A=(aij),则
n
det A, 若k i,
(1)
ai j Ak j
j 1
0,
若k i; i, k 1, 2, , n.
n
det A, 若l j,
(2) i1 ai j Ail 0,
a11 a12 a13 矩阵 A a21 a22 a23 的行列式按第一行展开为
a31 a32 a33
11
det A a11A11 a12 A12 a13 A13
a11M11 a12M12 a13M13
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
an1 an2 ann an1 an2 ann
性质5 将n 阶矩阵A 的某行(或列)的 k 倍加到另一行
(或列)，得到n 阶矩阵B，则det A = det B 。
20
例4 计算 4 阶行列式
32 1 0 1 1 0 1 2 1 1 1 11 1 1
分析： 若能够将行列式化成上(下)三角形行列式，
18
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
k det A.
推论1 若n 阶矩阵A 有一行(列)元全为零, 则det A=0。 推论2 若n 阶矩阵A 有两行( 列)成比例, 则det A =0。
0 0 2 0 00 0 1
(1)(2) 2.
22
定理1.1 设n 阶矩阵A=(aij),则
(1) A=(aij)的第i 行与第k 行( k i )元素的代数余
子式的乘积之和等于零，即
ai1Ak1 ai2 Ak 2 ain Ak n 0 (k i)
(2) A=(aij)的第j 列与第l 列( l j )元素的代数余
2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为
负.
13
例2 设
1 0 1 A 1 2 0
1
3
2
求 det A。
解1：
det A a11A11 a12 A12 a13 A13
20
10
12
1
0
(1)
32
1 2
1 3
4 5 1.
D
n n 1 ( n 2
1)
Dn2
n n 1 ( n
1)
n ( n 1)
(1) 2
2
38
例8 计算
abcd
bad c
D4 c
d
a
. b
d c ba
解：将D4的第2、3、4行都加到第1 行，则
1111
badc
D4 (a b c d ) c
d
a
, b
d cba
39
将第2、3、4列都减去第1 列，则
1 1
11
34
00
ri rn1 n(n 1) 0 0
2 0 n 1 1
0 n n 0
00 11
(n-1)阶
0 n(n 1) (1)n11(1) 0
2 n
0 n n 0 (n-2)阶
00
35
0 n(n 1) (1)n1(n)n2 0
2 1
0 nn1(n 1) 0
2 1
01 10
00
3
引入记号
ab ad bc
cd
称为矩阵
A
a c
b d
的行列式，还可记为
det A, 或|A|, 即detA=|A|= ac- bd。
4
对于上述二元线性方程组，若记
B1
b1 b2
a12 a22
,
说明： 系数矩阵 A 与
B2
a11
a12
b1 b2
,
则方程组(1.1)的解可表示为：
a21 a31
a22 a32
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13(a21a32 a22a31)
a11a22a33 a21a32a12 a31a23a12 a31a22a13
a21a12a33 a11a23a32
12
对角线法则
1
1 1 a3 1
1
1
1 1 an
其中 ai 0, i 1,2, ,n 。
25
解：将行列式第1行的(-1)倍分别加到其余各行, 得
1 a1 1 1 1
a1 a2 0 0
原式= a1 0 a3 0
a1 0 0 an
1 1 1 1 1
a1 a2 a3
an
ci提出公因式ai a1a2 an
10
D4
(a
b
c
d)
b c
ab d c
d cd
0 d b ac bd
0 cb
矩阵B1,B2 的关系：
A
a11 a21
a12 a22
,
x1
det B1 det A
,
x2
det B2 det A
.
5
例1
解方程组
2xx11
3x2 2x2
4 9
解：由于
2 3
det A
2 *2 1*(3) 7 0
12
4 3
det B1 9
4 *2 9 *(3) 35 2
若l j; j,l 1, 2, ,n.
定理1.3 设A、B 为 n 阶矩阵, 则有
det AB det Adet B
推广
det( A1A2 An ) det A1 det A2 det An 24
§1.3.4 行列式的计算
例5. 计算n 阶行列式
1 a1 1
11
1 1 a2 1 126
1 n 1
a i1 i
c 各列加到 1 a1a2 an
0 0
1 a2 1
0
1 a3 0
1
1 an
0 0
0 0 01
a1a2 an1
n i1
1 ai
。
27
例6. 计算n 阶行列式
a b bb
b a bb
b b ab
b b ba
其中 a b。
28
i 1
式(1.2)中A1j, A2j, …, Anj是第 j 列各元素的代数余子
式(j=1,2,…,n)。(1.3)称为det A 按第 j 列的展开式. 10
由 n 阶方阵A确定的行列式可记为|A|, 或|aij|, 或
a11 a12 a1n
det
A
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
[a (n 1)b](a b)n1。
30
例7. 计算n 阶行列式
123 2 34 D 3 4 5
n12
n 1 2
n 1
31
解：将行列式第2,3, …,n列加第1列, 得
n(n 1) 2 3
n
2
n(n 1) 3 4
1
2
D n(n 1) 4 5
2
2
n(n 1) 1 2
n 1
2
32
12 3
则计算就方便。
解：
1 1 0 1 r2 (3)r1 1 1 0 1
原式 r1 r2 3 2 1 0 r3 (2)r1 0 1 1 3 2 1 1 1 r4 (1)r1 0 1 1 3
11 1 1
0012
21
r3 r2
1 1 0 1 0 1 1 3 0 0 2 0 00 1 1
1 1 0 1 r4 (1 2)r3 0 1 1 3
显然，det A= a11A11+a12 A12。
8
n 阶行列式递推定义：
def
(1) 一阶方阵A=(a11)= a11, 定义 det A
a11.
即由一个数组成的一阶方阵和它的行列式就是这 个数本身。
(2) 假设 n-1 阶阶方阵的行列式已经定义, 利用递 推方法给出 n 阶行列式的定义。
9
定义1.8 设 n 阶矩阵A = (aij )的行列式det A( n 阶
行列式)定义为
det A def ai1Ai1 ain Ain n aij Aij
j 1
(1.2)
式(1.2)中Ai1, Ai2, …, Ain是第 i 行各元素的代数余子
式(i =1,2,…,n)。(1.2)称为detA 按第 i 行的展开式.
同理，有
det A def a1 j A1 j anj Anj n aij Aij (1.3)
(a11a22 a12a21)x1 b1a22 b2a12 (a11a22 a12a21)x2 b2a11 b1a21
当a11a22 a12a21 0 时，可得方程组(1.1)的
惟一解：
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
14
解2: 利用对角线法则计算：
1 0 1 det A 1 2 0
1 3 2
1 2 2 1 3 (1) (1) 0 0 (1) 2 (1) 1 0 2 1 0 3
4 3 0 2 0 0 1.
15
例3 计算下三角形矩阵的行列式
a11
A
a21
0
a22
0 0
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij 为元素 aij 的代数余子式, i,j=1,2, …,n.
7
如二阶矩阵
A
a11 a21
a12 a22
第1行元素a11, a12的余子式分别为
M11=a22, M12=a21, 对应的代数余子式为
A11=(-1)1+1M11 = a22, A12=(-1)1+2M12 = - a21。
n n 1 ( n 2
1)
Dn2
01 1 0 (n-2)阶 00
36
0 0 Dn2
1
01
0
1 0 (1)n1 0
00
1
n2
(1)n1 Dn3
01 10
00 n3
37
Dn2 (1)n1 Dn3 Dn3 (1)n2 Dn4
D2 (1)3 D1 (1)3
Dn2 (1)n1(1)n2 (1)4 (1)3
n
134
1
n(n 1) 1 4 5
2
2
11 2
n 1
123
ri1 ri
0 n(n 1) 0
1 1
1 1
2
n 1 n
1
0 1n 1
1
33
11
1 1n
11 n(n 1)
2 1 1n
1n 1 11
(n-1)阶
1n 1
11
1 1
1 1n
1 1 ci c1 n(n 1)
2 1 1 n
1n 1 11
24
det B2 1
2 *9 1*4 14 9
则方程组的解为：
x1
det B1 det A
35 7
5,
x2
det B2 det A
14 2. 7
6
§1.3.2. n 阶行列式
余子式和代数余子式
设A=(aij )是数域 F 上的 n 阶矩阵。划去 A 的元 aij 所在的第 i 行第 j 列, A 中余下的 (n-1)2 个元素按 原来的位置组成n-1阶方阵的行列式，称为 元 aij 的 余子式，记作Mij 。
解：
an1
an 2
ann
a22 0
0
det A a11(1)11 a23 a33
0
a2n a3n
ann
16
a33 0
0
a11a22 (1)11 a34 a44
0
a3n a4n
ann
a11a22 ann
同理，有
a11 a12 a1n
0
a22
a2n
a11a22
ann .
0 0 ann
17
§1.3.3 行列式的性质
性质1 设 A 为n 阶矩阵，则det (AT ) = det A。
性质2 设交换n 阶矩阵A 的某两行或列，得到矩阵B，
则det (B ) = - det A。 推论 若n 阶矩阵A有两行或列相同元素,则det(A)= 0。
性质3 若用数 k 乘以n 阶矩阵A 有的某一行或一 列，则得到的矩阵的行列式等于det A 的k倍，即
解：将行列式第2, 3, …, n列加第1列, 得
a (n 1)b b b b
a (n 1)b a b b
原式= a (n 1)b b a b
a (n 1)b b b a
29
a (n 1)b b b b
ri r1
0 0
i 2, ,n
ab b b
0 ab b
0
0 0 ab
§1.3 方阵的行列式
§1.3.1 二阶行列式
考虑二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a12x1 a22x2 b2
(1.1)
令
A
a11 a21
a12 a22
,
X
x1 x2
,
则方程组(1.1)可表示为
B
b1 b2
AX B
A为方程组(1.1)的系数矩阵。2
用消元法解二元线性方程组(1.1)，有
19
性质4 若行列式的某一行(或列)的每一个元素均
可表示为两个数的各，则该行列式等于两个行列
式 的和，即
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
bi1 ci1 bi2 ci2 bin cin bi1
bi 2
bin ci1
ci2 cin
an1
an2 ann