方阵的行列式

则计算就方便。
解：
1 1 0 1 r2 (3)r1 1 1 0 1
原式 r1 r2 3 2 1 0 r3 (2)r1 0 1 1 3 2 1 1 1 r4 (1)r1 0 1 1 3
11 1 1
0012
21
r3 r2
1 1 0 1 0 1 1 3 0 0 2 0 00 1 1
1 1 0 1 r4 (1 2)r3 0 1 1 3
an1 an2 ann an1 an2 ann
性质5 将n 阶矩阵A 的某行(或列)的 k 倍加到另一行
(或列)，得到n 阶矩阵B，则det A = det B 。
20
例4 计算 4 阶行列式
32 1 0 1 1 0 1 2 1 1 1 11 1 1
分析： 若能够将行列式化成上(下)三角形行列式，
2. 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,
不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为
负.
13
例2 设
1 0 1 A 1 2 0
1
3
2
求 det A。
解1：
det A a11A11 a12 A12 a13 A13
20
10
12
1
0
(1)
32
1 2
1 3
4 5 1.
18
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
k det A.
推论1 若n 阶矩阵A 有一行(列)元全为零, 则det A=0。 推论2 若n 阶矩阵A 有两行( 列)成比例, 则det A =0。
子式的乘积之和等于零，即
a1 j A1l a2 j A2l an j Anl 0 (l j)
23
定理1.2 设 n 阶矩阵A=(aij),则
n
det A, 若k i,
(1)
ai j Ak j
j 1
0,
若k i; i, k 1, 2, , n.
n
det A, 若l j,
(2) i1 ai j Ail 0,
3
引入记号
ab ad bc
cd
称为矩阵
A
a c
b d
的行列式，还可记为
det A, 或|A|, 即detA=|A|= ac- bd。
4
对于上述二元线性方程组，若记
B1
b1 b2
a12 a22
,
说明： 系数矩阵 A 与
B2
a11
a12
b1 b2
,
则方程组(1.1)的解可表示为：
1 1
1 0
00 10
1 0 0 126
1 n 1
a i1 i
c 各列加到 1 a1a2 an
0 0
1 a2 1
0
1 a3 0
1
1 an
0 0
0 0 01
a1a2 an1
n i1
1 ai
。
27
例6. 计算n 阶行列式
a b bb
b a bb
b b ab
b b ba
其中 a b。
28
D
n n 1 ( n 2
1)
Dn2
n n 1 ( n
1)
n ( n 1)
(1) 2
2
38
例8 计算
abcd
bad c
D4 c
d
a
. b
d c ba
解：将D4的第2、3、4行都加到第1 行，则
1111
badc
D4 (a b c d ) c
d
a
, b
d cba
39
将第2、3、4列都减去第1 列，则
i 1
式(1.2)中A1j, A2j, …, Anj是第 j 列各元素的代数余子
式(j=1,2,…,n)。(1.3)称为det A 按第 j 列的展开式. 10
由 n 阶方阵A确定的行列式可记为|A|, 或|aij|, 或
a11 a12 a1n
det
A
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
0 0 2 0 00 0 1
(1)(2) 2.
22
定理1.1 设n 阶矩阵A=(aij),则
(1) A=(aij)的第i 行与第k 行( k i )元素的代数余
子式的乘积之和等于零，即
ai1Ak1 ai2 Ak 2 ain Ak n 0 (k i)
(2) A=(aij)的第j 列与第l 列( l j )元素的代数余
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号．
说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
1
1 1 a3 1
1
1
1 1 an
其中 ai 0, i 1,2, ,n 。
25
解：将行列式第1行的(-1)倍分别加到其余各行, 得
1 a1 1 1 1
a1 a2 0 0
原式= a1 0 a3 0
a1 0 0 an
1 1 1 1 1
a1 a2 a3
an
ci提出公因式ai a1a2 an
(a11a22 a12a21)x1 b1a22 b2a12 (a11a22 a12a21)x2 b2a11 b1a21
当a11a22 a12a21 0 时，可得方程组(1.1)的
惟一解：
x1
b1a22 a11a22
b2a12 a12a21
x2
b2a11 a11a22
b1a21 a12a21
[a (n 1)b](a b)n1。
30
例7. 计算n 阶行列式
123 2 34 D 3 4 5
n12
n 1 2
n 1
31
解：将行列式第2,3, …,n列加第1列, 得
n(n 1) 2 3
n
2
n(n 1) 3 4
1
2
D n(n 1) 4 5
2
2
n(n 1) 1 2
n 1
2
32
12 3
a11 a12 a13 矩阵 A a21 a22 a23 的行列式按第一行展开为
a31 a32 a33
11
det A a11A11 a12 A12 a13 A13
a11M11 a12M12 a13M13
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
10
D4
(a
b
c
d)
b c
ab d c
d cd
0 d b ac bd
0 cb
a21 a31
a22 a32
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a21a33 a23a31) a13(a21a32 a22a31)
a11a22a33 a21a32a12 a31a23a12 a31a22a13
a21a12a33 a11a23a32
12
对角线法则
§1.3 方阵的行列式
§1.3.1 二阶行列式
考虑二元线性方程组
a11x1 a12x2 b1 a12x1 a22x2 b2
(1.1)
令
A
a11 a21
a12 a22
,
X
x1 x2
,
则方程组(1.1)可表示为
B
b1 b2
AX B
A为方程组(1.1)的系数矩阵。2
用消元法解二元线性方程组(1.1)，有
24
det B2 1
2 *9 1*4 14 9
则方程组的解为：
x1
det B1 det A
35 7
5,
x2
det B2 det A
14 2. 7
6
§1.3.2. n 阶行列式
余子式和代数余子式
设A=(aij )是数域 F 上的 n 阶矩阵。划去 A 的元 aij 所在的第 i 行第 j 列, A 中余下的 (n-1)2 个元素按 原来的位置组成n-1阶方阵的行列式，称为 元 aij 的 余子式，记作Mij 。
n
134
1
n(n 1) 1 4 5
2
2
11 2
n 1
123
ri1 ri
0 n(n 1) 0
1 1
1 1
2
n 1 n
1
0 1n 1
1
33
11
1 1n
11 n(n 1)
2 1 1n
1n 1 11
(n-1)阶
1n 1
11
1 1
1 1n
1 1 ci c1 n(n 1)
2 1 1 n
1n 1 11
解：
an1
an 2
ann
a22 0
0
det A a11(1)11 a23 a33
0
a2n a3n
ann
16
a33 0
0
a11a22 (1)11 a34 a44
0
a3n a4n
ann
a11a22 ann
同理，有
a11 a12 a1n
0
a22
a2n
a11a22
ann .
0 0 ann
19
性质4 若行列式的某一行(或列)的每一个元素均
可表示为两个数的各，则该行列式等于两个行列
式 的和，即
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n a11 a12 a1n
bi1 ci1 bi2 ci2 bin cin bi1
bi 2
bin ci1
ci2 cin
an1
an2 ann
显然，det A= a11A11+a12 A12。
8
n 阶行列式递推定义：
def
(1) 一阶方阵A=(a11)= a11, 定义 det A
a11.
即由一个数组成的一阶方阵和它的行列式就是这 个数本身。
(2) 假设 n-1 阶阶方阵的行列式已经定义, 利用递 推方法给出 n 阶行列式的定义。
9
定义1.8 设 n 阶矩阵A = (aij )的行列式det A( n 阶
行列式)定义为
det A def ai1Ai1 ain Ain n aij Aij
j 1
(1.2)
式(1.2)中Ai1, Ai2, …, Ain是第 i 行各元素的代数余子
式(i =1,2,…,n)。(1.2)称为detA 按第 i 行的展开式.
同理，有
det A def a1 j A1 j anj Anj n aij Aij (1.3)
17
§1.3.3 行列式的性质
性质1 设 A 为n 阶矩阵，则det (AT ) = det A。
性质2 设交换n 阶矩阵A 的某两行或列，得到矩阵B，
则det (B ) = - det A。 推论 若n 阶矩阵A有两行或列相同元素,则det(A)= 0。
性质3 若用数 k 乘以n 阶矩阵A 有的某一行或一 列，则得到的矩阵的行列式等于det A 的k倍，即
令
Aij (1)i j Mij
称 Aij 为元素 aij 的代数余子式, i,j=1,2, …,n.
7
如二阶矩阵
A
a11 a21
a12 a22
第1行元素a11, a12的余子式分别为
M11=a22, M12=a21, 对应的代数余子式为
A11=(-1)1+1M11 = a22, A12=(-1)1+2M12 = - a21。
解：将行列式第2, 3, …, n列加第1列, 得
a (n 1)b b b b
a (n 1)b a b b
原式= a (n 1)b b a b
a (n 1)b b b a
29
a (n 1)b b b b
ri r1
0 0
i 2, ,n
ab b b
0 ab b
0
0 0 ab
14
解2: 利用对角线法则计算：
1 0 1 det A 1 2 0
1 3 2
1 2 2 1 3 (1) (1) 0 0 (1) 2 (1) 1 0 2 1 0 3
4 3 0 2 0 0 1.
15
例3 计算下三角形矩阵的行列式
a11
A
a21
0
a22
0 0
1 1
11
34
00
ri rn1 n(n 1) 0 0
2 0 n 1 1
0 n n 0
00 11
(n-1)阶
0 n(n 1) (1)n11(1) 0
2 n
0 n n 0 (n-2)阶
00
35
0 n(n 1) (1)n1(n)n2 0
2 1
0 nn1(n 1) 0
2 1
01 10
00
n n 1 ( n 2
1)
Dn2
01 1 0 (n-2)阶 00
36
0 0 Dn2
1
01
0
1 0 (1)n1 0
00
1
n2
(1)n1 Dn3
01 10
00 n3
37
Dn2 (1)n1 Dn3 Dn3 (1)n2 Dn4
D2 (1)3 D1 (1)3
Dn2 (1)n1(1)n2 (1)4 (1)3
矩阵B1,B2 的关系：
A
a11 a21
a12 a22
,
x1
det B1 det A
,
x2
det B2 det A
.
5
例1
解方程组
2xx11
3x2 2x2
来自百度文库
4 9
解：由于
2 3
det A
2 *2 1*(3) 7 0
12
4 3
det B1 9
4 *2 9 *(3) 35 2
若l j; j,l 1, 2, ,n.
定理1.3 设A、B 为 n 阶矩阵, 则有
det AB det Adet B
推广
det( A1A2 An ) det A1 det A2 det An 24
§1.3.4 行列式的计算
例5. 计算n 阶行列式
1 a1 1
11
1 1 a2 1 1