角动量守恒定律教学文案

角动量守恒定律

第四章 角动量守恒定律

4-1 质量为1.0 kg 的质点沿着由 ()34323r t i t t j =+-r r

r 决定的曲线运动，其中t 是时间，单位为s ，r r 的单位为m 。求此质点在 t = 1.0 s 时所受的相对坐标原点O 的力矩。

解：()34323t i t t j γ=+-r

r r Q ()232649d r v t i t t j dt

∴==+-r r r r ()()34323223649l mv t i t t j m t i t t j γ⎡⎤⎡⎤=⨯=+-⨯+-⎣⎦⎣⎦r r r r r r r

()()34234324963m t t t k t t t k ⎡⎤=---⎣⎦r r

()

666862m t t k t mk =-=r r 551212dl M t mk t k dt

===r u u r r r ()0.1m kg = 1.012.0t s M N m ==u u r g 当时： 方向沿z 轴方向 12.0kN m =r r g 或：

M 4-2 质量为1.0 kg 的质点在力()()2332F t i t j =-+-u r r r 的作用下运动，其中t 是时间，单位为s ，F

的单位是N ，质点在t = 0 时位于坐标原点，且速度等于零。求此质点在 t = 2.0 s 时所受的相对坐标原点O 的力矩。

解：由牛顿第二定律： dv F m dt

=r u r ()()000112332v

t t dv F dt t i t j dt m m ⎡⎤∴=⋅=-+-⎣⎦⎰⎰⎰r u r r r 解得：()223322mv t t i t t j ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭

r r r 而：d r v dt =r r ()()32320111312332322t r t i t j dt t t i t t j m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤∴=-+-=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦

⎰r r r r r

故得：()()323211312332322M r F t t i t t j t i t j m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=⨯=-+-⨯-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦

u u r r u r r r r r ()333331292540213.332333t t t t k t k k k N m m m ⎡⎤=--++=-=-=-⋅⎢⎥⎣⎦

r r r r 4-3 如果忽略空气的影响，火箭从地面发射后在空间作抛物线运动。设火箭的质量为m ，以与水平面成α角的方向发射，发射速度为1v 。到达最高点的速度为2v ，最高点距离地面为h 。假设地球是半径为R 的球体，试求：

(1)火箭在离开发射点的瞬间相对于地心的角动量；

(2)火箭在到达最高点时相对于地心的角动量。

解：()1l r mv =⨯r r r

设：火箭在o-xy 平面上运动

()()11sin 90cos l Rmv k Rmv k αα∴=+=o u u r r r 发

()()22l h R mv k =+r r 高

4-4 求题4-1中的质点在 t = 1.0 s 时相对于坐标原点O 的角动量。

解： ()6

21

1.0 1.02

2.0..t s t s l t mk k kg m s -=====r r

r 4-5 求题4-2中的质点在 t = 2.0 s 时相对于坐标原点O 的角动量。

解： dl M dt =r u u r 3400

55312t t l M dt t kdt t k m m ∴=⋅=-=-⎰⎰r u u r r r 故：()21

2.020| 6.67..3t l k k kg m s -==-=-r r r 4-6 质量为m 的小球用长度为l 的细绳悬挂于天花板之下。当小球被推动后在水平面内作匀速圆周运动，圆心为O 点，小球的角速度为ω，细绳与竖直方向的夹角为ϕ，试求：

(1)小球相对于O 点的角动量；

(2)角速度ω与夹角ϕ之间的关系

解： ()1sin R l ϕ=

()m L R v =⨯u r u r r 角动量

()2

2sin L R mR mR m l ωωϕω∴=⋅==

由右手定则L u r 的方向竖直向上。 即：()22sin L ml k ωϕ=u r r （2）小球作匀速圆周运动

2

tan v F mg m R

ϕ==向 22tan sin g R l ϕωωϕ∴== 即得：2cos g

l ϕω=

或由角动量守恒定律： L C ==常量 即得：22sin C ml ωϕ=

4-7 一个质量为m 的质点在O-xy 平面上运动，其位置矢量随时间的关系为cos sin r a t i b t j ωω=+r r r ，

其中a 、b 和ω都是常量。从质点运动和角动量定理两个方面证明此质点对坐标原点O 的角动量是守恒的。

证：（1）从质点运动方面：

cos sin r a t i b t j ωω=+r r r Q sin cos d r v a t i b t j dt

ωωωω∴==-+r r r r ()()

cos sin cos cos l r mv a ti b t j m a ti b t j ωωωωω∴=⨯=+⨯-+r r r r r r r 22cos sin m ab tk ab tk mab k ωωωω⎡⎤=+==⎣⎦r r r 常矢量

（2）由角动量定理：

222cos sin dv a a t i b t j r dt

ωωωωω==--=-r r r r r Q