第4讲 随机事件与古典概型

第4讲 随机事件与古典概型

[学生用书

P197]

一、知识梳理 1．概率与频率

(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A

n

为事件A 出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．

2．事件的关系与运算

定 义

符号表示

包含关系

如果事件A 发生，则事件B

一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )

B ⊇A (或A ⊆B ) 相等关系

若B ⊇A 且A ⊇B ，那么称事件A 与事件B 相等 A ＝B 并事件(和事件)

若某事件发生当且仅当事件

A 发生或事件

B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件)

A ∪

B (或A ＋B )

交事件(积事件)

若某事件发生当且仅当事件

A 发生且事件

B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件)

A ∩

B (或AB )

(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1． (2)必然事件的概率：P (A )＝1． (3)不可能事件的概率：P (A )＝0． (4)概率的加法公式

如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立事件的概率

若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件． P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )． 4．古典概型 (1)基本事件的特点

①任何两个基本事件是互斥的；

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． (2)特点

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． (3)概率公式

P (A )＝A 包含的基本事件的个数

基本事件的总数．

5．对古典概型的理解

(1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键．

(2)古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型． 常用结论

关注三个易错点

1．频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数．

2．对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”

的必要不充分条件．

3．概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.

二、习题改编

1．(必修3P 121练习T 4改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )

A ．至多有一次中靶

B ．两次都中靶

C ．只有一次中靶

D ．两次都不中靶

解析：选D.“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．

2．(必修3P 127例3改编)一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．

解析：抽取两张卡片的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种，和为奇数的事件有：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4种．

所以所求概率为46＝23.

答案：23

3．(必修3P 145A 组T 5改编)袋中装有6个白球， 5个黄球，4个红球．从中任取一球，则取到白球的概率为________．

解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P ＝615＝25

. 答案：25

4．(必修3P 134A 组T 6改编)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．

解析：从5件产品中任取2件共有C 25＝10(种)取法，恰有一件次品的取法有C 12C 13

＝6(种)，所以恰有一件次品的概率为

6

10

＝0.6. 答案：0.6

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)事件发生的频率与概率是相同的．( ) (2)随机事件和随机试验是一回事．( )

(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( )

(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( ) (5)若A ，B 为互斥事件，则P (A )＋P (B )＝1.( )

(6)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)× 二、易错纠偏 常见误区

|Ｋ(1)确定互斥事件、对立事件出错；

(2)基本事件计数错误．

1．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是1

3，则甲不输的概率为

________．

解析：由题意得，甲不输的概率为12＋13＝5

6.

答案：56

2．掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B 发生的概率为________．

解析：掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝2

3，所以P (B )

＝1－P (B )＝1－23＝13，显然A 与B 互斥，从而P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝13＋13＝2

3

.

答案：2

3

3．已知函数f(x)＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________．

解析：要使函数f(x)＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2>0，又a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，即a>b ，而a ，b 的取法共有3×3＝9(种)，其中满足a>b 的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)，共6种，所以所求的概率为69＝2

3

.

答案：23