充要条件的集合表示

S 偶= m ∶ (m - 1).
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数 学 通 讯 2000 年第 2 期
求动点轨迹的基本方法
2000 年第 2 期 数 学 通 讯
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充 要 条 件 的 集 合 表 示
杜厚寿
(湖北随州市二中, 湖北 随州 441300)
中图分类号: 0122 文献标识码: C 文章编号: 048827395 (2000) 0220025202
充要条件是一个重要的数学概念, 也是 教学中一个难点. 在应用时, 往往几何、代数、 三角多学科内容相互渗透, 综合性较强. 若用 集合理论来表述充要条件, 在处理某些问题 时, 往往思路清晰, 结论准确. 1 定义
化简得 y =
1 8
x
2
(x
≠0).
故 y=
1 8
x
2
(x
≠0)
即为所求.
练习 1 已知两点 A (2, 0) , B (- 2, 0) ,
动点 P 满足 PA = 2 PB , 求点 P 的轨迹
方程.
(答案为 3x 2+ 3y 2+ 20x + 12= 0)
2 定义法
这是一种借助曲线的定义来求动点轨迹
∵
S T
n n
=
2n 3n+
1,
∴
an bn
=
2 (2n- 1) 3 (2n- 1) +
1=
2n3n-
11,
∴
lim
n→∞
an bn
=
nl→im∞23nn
-
11=
2 3
.
练习题
1 在等差数列{a n } 中, 1) 已知 a3+ a9+ a11+ a15+ a17= 0, 求 S 21的值.
(答案: 0)
3) 如果M Β N 且 N Β M , 即M = N 时, 则称A 为B 的充要条件.
4) 如果以上三种关系均不成立, 即M , N 之间无包含或相等关系, 则A 既不是B 的 充分条件又不是 B 的必要条件. 即: A 是 B
的既不充分又不必要条件. 2 应用
例 1 在下列括号中填上适当的词语: 1) x = y 是 x 2= y 2 的 ( ) 条件. 2) △A B C 与 △A 1B 1C 1 的 面 积 相 等 是 △A B C 与△A 1B 1C 1 全等的 ( ) 条件. 3) 两边和夹角相等是三角形全等的 ( ) 条件. 4) Α= Β 是 tgΑ= tgΒ 的 ( ) 条件. 解 1) 设 M = { (x , y ) x = y }, N = { (x , y ) x 2= y 2}, 显然M < N , 故 x = y 是 x 2 = y 2 的充分非必要条件. 填“充分不必要”. 2) 设M 为与△A 1B 1C 1 面积相等的三角 形集合, N 为与△A 1B 1C 1 全等的三角形集 合. 显然有M = N , 故与△A 1B 1C 1 面积相等 是与△A 1B 1C 1 全等的必要非充分条件. 填 “必要非充分”. 3) M 为与已知三角形两边和夹角相等 的三角形的集合, N 是与已知三角形全等的
M ∩N ≠M , M ∩N ≠N , 故 M , N 之间为互
不包含关系. ∴ 填“既不充分又不必要”.
例 2 选择题:
如果 A 是 B 的必要不充分条件, B 是 C
的充要条件, D 是 C 的 充分不必要条件, 那
么, D 是A 的 ( ) 条件. (A ) 充分不必要. (B ) 必要不充分. (C ) 充要. (D ) 既不充分又不必要. 解 分别用集合 A , B , C, D 表示命题
的两对应边及其夹角相等, 则两三角形全等,
故M Α N . 又若两个三角形全等, 那么两三角
形的两对应边及其夹角必Βιβλιοθήκη Baidu等, 故 N ΑM . 由
此得:M = N , 故填“充要”.
4) 设M = {Α Α= Β}, N = {Α tgΑ= tgΒ}
=
{Α Α=
k Π+
Β,
k
∈Z
,
Β≠2n
+ 2
1Π, n∈Z }, ∴
定义: 设满足条件 A 的对象集合为M , 满足条件 B 的对象集合为 N .
1) 如果M Α N , 则 A 为 B 的充分条件. 特别地, 如果M < N , 则称 A 为 B 的充分不 必要条件.
2) 如果 N ΑM , 则 A 为 B 的必要条件. 特别地, 如果 N < M , 则称 A 为 B 的必要不 充分条件.
的方法, 其步骤是:
1) 转化已知条件, 使动点所满足的条件
适合某种曲线的定义;
2) 利用已知曲线的方程, 写出动点轨迹
方程.
例 2 求过定点 A (- 3, 0) 的动圆 P 的
圆心轨迹, 若:
1) 动圆和定圆 (x - 3) 2+ y 2= 64 内切;
三角形集合, 由平面几何知识知: 若两三角形
这是求动点轨迹最基本的方法, 其解题 步骤是:
1) 建立坐标系, 并设动点为 (x , y ) ; 2) 直接根据等量关系建立方程; 3) 化简方程. 例 1 已知一条曲线在 x 轴的上方, 它 上面的每一点到点 A (2, 0) 的距离减去它到 x 轴的距离的差都是 2, 求这条曲线的方程. 解 设点M (x , y ) 是曲线上任意一点,M B ⊥x 轴, 垂足为B , 那么: M A - M B = 2, 即 x 2+ (y - 2) 2 - y = 2 (∵y > 0) ,
a3+ a13的值.
(答案: - 16)
4 设等差数列{an}前 n 项中奇数项之和为 S 奇, 偶
数项之和为 S 偶, 求证:
1 ) n 为 偶 数 2m 时, S 偶 - S 奇 = m d
(d 为公差) , S 奇∶S 偶= am ∶am + 1.
2) n 为奇数 2m - 1 时, S 奇- S 偶= am , S 奇∶
2) 已知 a3a4+ a3a6+ a3a8+ a6a4+ a6a6+ a6a8+ a9a4+ a9a6+ a9a8= 729, 求 a6 之值.
(答案: a6= ±9)
2 项数为奇数的等差数列, 奇数项之和为 44, 偶数
项之和为 33, 求该数列的中间项.
(答案: an+ 1= 11)
3 {an}是等差数列且 a1 - a4 - a8 - a12 + a15 = 2, 求
杨少平
(荆州外国语学校, 湖北 荆州 434100)
中图分类号: 0123. 5 文献标识码: A 文章编号: 048827395 (2000) 0220026202
求动点的轨迹方程是《解析几何》的重点内
容之一, 也是《解析几何》的难点. 掌握《解析几 何》求动点轨迹的基本方法, 透彻地理解《解析几 何》的基本思想, 也是学习《解析几何》的基本要 求. 下面介绍几种基本方法, 供读者参考. 1 直接法
A , B , C , D 所指对象的集合, 依题意: A = B = C = D , ∴A = D.
∴D 是 A 的充分不必要条件. 选 (A ). 练习: 填空题: 1) x = 2 是 x 2- 5x + 6= 0 的 ( ) 条件; 2) x < 5 是 x > 3 的 ( ) 条件.
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