双曲线的简单几何性质(教学教案设计).doc

教案

普通高中课程标准选修2-1

2.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）

教材的地位与作用

本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。 二、教学目标 （一）知识与技能

1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。

2、理解双曲线的渐近线。 （二）过程与方法

通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。 （三）情感态度与价值观

让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。 三、 教学重点难点

双曲线的渐近线既是重点也是难点。 四、 教学过程 (一)课题引入

1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。） 今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。

【板书】：双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的性质

2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。）

3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。（讨论）

（二）双曲线的性质 1、范围：

把双曲线方程122

22=-b

y a x 变形为22221b y a x +=。

因为022≥b y ，因此122≥a x ，即2

2a x ≥，所以a x a x ≥-≤或。

又因为022

≥b

y ，故R y ∈。

【板书】：1、范围：a x a x ≥-≤或，R y ∈。 2、对称性：

下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线122

22=-b

y a x 的标准方程，

判断它的对称性？

在标准方程中，把x 换成x -，或把y 换成y -，或把x ，y 同时换成x -，y -时，方程都不变，所以图形关于y 轴、x 轴和原点都是对称的。

【板书】：2、对称性：双曲线的对称轴是x 轴、y 轴，原点是它的对称中心。 3、顶点：

提问：（1）双曲线有几个顶点？顶点的坐标是什么？

在标准方程122

22=-b

y a x 中，令0=y 得a x ±=；令0=x ，则y 无解。

这说明双曲线有两个顶点，)0,(),0,(21a A a A -。

（2）如图，对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线122

22=-b

y a x

的实轴，其长度

为a 2。尽管此双曲线与y 轴无公共点，但y 轴上的两个特殊的点),0(),,0(21b B b B -。我们称线段21B B 为双曲线的虚轴，其长度为b 2。

【板书】：3、顶点：)0,(),0,(21a A a A -，称21A A 为实轴，21B B 为虚轴，其中),0(),,0(21b B b B -。

特别地，当b a =时，双曲线122

22=-b y a x 的实轴长与虚轴长相等，称其为等轴双曲线

222a y x =-。

4、离心率

【板书】：4、定义双曲线的焦距与实轴长的比a

c

e =

，叫做双曲线的离心率。 提问：（1）双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同？ （2）双曲线的形状与离心率有什么关系？

由等式2

22b a c +=，可知：2

222222211⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+=+===a b a b a b a a c a c e

【板书】：双曲线的离心率1>e 且e 越大双曲线的开口就越开阔。 5、渐近线：

提问：（1）椭圆与双曲线还有一个最大的不同是曲线的范围及其走向。曲线的范围与走向是我们研究曲线性质的一个重要方面，因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据，那么请大家想一想双曲线的走向是什么样的呢？谁能比较准确地画出双曲线？

在第一象限内双曲线12222=-b y a x 可以化为22

a x a

b y -=，是增函数。

因为222x a x <-，所以x a b x a b a x a b y =<-=222，即x a

b

y <，这个不等式意味着什么？（它表示直线x a

b

y =

下方半个平面区域。

） （用刚才作矩形的方法画出两条直线x a

b

y ±=，然后指出区域。

） 由于双曲线和直线x a b y ±

=都关于坐标轴对称，所以双曲线（两支）在直线x a

b y ±=之间，这样，我们进一步缩小了双曲线所在区域的范围。

提问：（2）直线x a

b

y ±=与双曲线12222=-b y a x 有什么联系呢？

（用几何画板课件演示）：

随着x 无限增大时，点),(y x M 到直线x a

b

y =

的距离就无限趋于零。 【板书】：5、渐近线：直线x a b

y ±=叫做双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线；直线

x b

a

y ±=叫做双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 的渐近线。

练习：求下列双曲线的渐近线方程（写成直线的一般式）。

（1）369422=-y x 的渐近线方程是：032=±y x （2）369422-=-y x 的渐近线方程是： 032=±y x （3）10042522=-y x 的渐近线方程是： 025=±y x （4）10042522-=-y x 的渐近线方程是：025=±y x 可以发现，双曲线方程与其渐近线之间似乎存在某种规律。 （启发学生讨论，归纳）。

把双曲线方程中的常数项改为零，会怎样呢？

02222=-b y a x ，即0=⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x b y a x ，这就表示两条渐近线

00=-=+b

y

a x

b y a x 或。 【板书】：结论：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，然后变形，即可得其渐近线方程。

（三）小结