第二型曲面积分论文

目录

1 引言 (1)

2 文献综述 (1)

3预备知识 (1)

3.1第二型曲面积分的定义 (1)

3.2第二型曲面积分的性质 (2)

4常用计算公式 (2)

5 MATHEMATICA相关知识 (4)

6第二型曲面积分的计算 (5)

6.1用MATHEMATICA计算 (5)

6.2分项投影法 (6)

6.3参数法 (8)

6.4利用高斯公式 (8)

6.5定义法 (12)

6.6解题技巧（轮换对称性） (14)

7结论 (15)

7.1主要观点 (15)

7.2启示 (15)

7.3局限性 (15)

7.4努力方向 (16)

参考文献 (17)

1 引言

曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，因而显得更加复杂，繁琐。在第二型曲面积分的学习过程中，学生必须在理解概念的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。由于第二型曲面积分的的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定难度，本文就第二型曲面积分的的计算方法进行了归纳和总结，并用计算机辅助求解.

2 文献综述

众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲面积分的计算.刘玉琏在文献《数学分析讲义》中介绍了第二型曲面积分的概念、性质，并且给出计算第二型面积分的定理.在文献《数学试题精选与大体技巧》中概括了第二型曲面积分被积函数的类型.薛嘉庆在文献《高等数学题库精编》总结了根据被积函数类型的不同，有不同的计算方法，并且列举了相应的例子.在文献《数学分析简明教程》中探究第二型曲面积分可以化为定积分来计算公式并给出相应的证明.在文献《华东师范大学教学系》介绍了在第二型曲面积分的计算中将路径的参数方程表示出来，在文献《高等数学解题方法与技巧》简述了做题常用的技巧.阳明盛.林建华在文献《Mathemactica基础及数学软件》中给出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式.

3预备知识

3.1 第二型曲面积分的定义

设S为光滑的有向曲面，P（x,y,z）,Q(x,y,z),R(x,y,z) 在S上有界，把S任意

分成n块有向曲面，△S

i ，i=1,2......，n，记△S

i

在xy平面上的有向投影为（△S

i

）

xy ，(ε

i

，

i

η，

i

ζ)为△S

i

上任取定的一点, T为每个△S

i

的直径中的最大者,作和数，

∑n i R (

i

ε，

i

η，

i

ζ)（△S

i

）

xy

.

如果lim

>

-

T

∑n

i

R (

i

ε，

i

η，

i

ζ)（△S

i

）

xy

总存在，则称此极限值为R任有向曲面S

上沿xy平面的第二型曲面积分，记为??

S

Rdxdy.

类似可定义

??S

Pdydz =lim 0

>-T ∑n i

R (i

ε

，i η，i ζ)（△S i ）yz ,

??S

Qdzdx =lim 0

>-T ∑n i

R (i

ε

，i η，i ζ)（△S i ）zx ,

分别为P 在有向曲面S 上沿yz 平面的第二型曲面积分，Q 在有向曲面S 上沿zx 平面的第二型曲面积分，并且称??S

Pdydz +??S

Qdzdx +??S

Rdxdy =Rdxdy Qdzdx Pdydz S

++??为

P,Q,R 在有向曲面S 上的第二型曲面积分.

3.2第二型曲面积分的性质

第二型曲面积分除曲面可加性外，还具有有向性，即

?-

+S Qdy pdx = —?+S

Qdy Pdx ,

?-

+S Qdy pdx +Rdz= —?+S

Qdy Pdx +Rdz,

Rdxdy Qdzdx Pdydz S ++??-

= —Rdxdy Qdzdx Pdydz S

++??.

3.3第一、第二型曲面积分的关系

设空间有向曲面S 上任一点的法线正向的方向角为γβα,,，则

Rdxdy Qdzdx Pdydz S

++??=ds R Q P S

)cos cos cos (γβα++??.

4常用计算公式

4.1 投影法

设P,Q,R 是定义在光滑曲面上S 上的连续函数，且S 的方程z=z(x,y) (x,y)∈D xy D xy 为S 在xy 平面上的投影，则

????

-=S

D xy

y x z y x P Pdydz )],(,,[.z /

x dxdy ，

????-=S

Dxy

y

z

y x z y x Q Qdzdx /

)].,(,,[dxdy ，

????-=S

Dxy

y x z y x R Rdydz )],(,,[dxdy.

其中S 取上侧

同理，当S 的方程为x=x(y,z)时,

????-=S

dDyz

y x z y x P Pdydz )],(,,[dydz,

????'-=S

y

dD x z y z y x P Qdzdx XY

],),,([dydz.

4.2参数法

常用球面参数和柱面参数：

球面参数：sin cos ,sin sin ,cos x R y R z R θ?θ?θ===，可推广到椭球面. 柱面参数；cos ,sin ,x a y a z z θθ===, 其他参数由于计算复杂使用不多.

4.3单一坐标平面投影法

设以Oxy 平面为投影面

S

Pdydz Qdzdx Rdxdy ++??('')x

y D

z

P z Q R dxdy ε=--+??,

以Oyz,Ozx 平面为投影面情况类似.

4.4分项投影法

分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性：

S

Pdydz Qdzdx Rdxdy ++??=S

S

S

Pdydz Qdzdx Rdxdy ++??????,

分别将右式三项投影到Oyz,Ozx,Oxy 平面上，由于

1

S

D Pdydz Pdydz =????，1

S

D Pdydz Pdydz =????，1

S

D Pdydz Pdydz =????.

分别投影直接计算二重积分，避免投影到一面上求偏导的计算，此法非常实用，看似复杂，实则简单，非常实用.计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，若不一一对应要分片投影，如一个完整的球投影到xoy 平面上，上下半球曲面要分别投影计算.计算中注意利用方向性等性质以简化计算.

4.5奥高公式

设空间有界去区域V 的边界为S ，函数P,Q,R 在V 及S 上具有一阶连续偏导数.则

??++S

Rdxdy Qdzdx Pdydz =?????+??+??V

dxdydz x

R x Q x p )(

,其中S 取正向. 5 Mathematica 相关知识

5.1曲面表示法

(1)直角坐标显式：z=z(x,y); (2)直角坐标隐式：F （x,y,z ）;

(3)参数形式：x=x(u.v),y=(u,v),z=(u.v);

(4)数据形式：即将曲面上的点表示为{}ij x x =,{}ij y y = {}

ij z z =,)...3,2,1(m i =;)...3,2,1(n j =.

5.2曲面绘制法

显示曲面z=f(x,y)绘图函数的调用格式： Plot3D[f(x,y),{x,x1,x2},{y,y1,y2},可选项]

例1 绘制函数z=x 4+y 4—18(x 2+y 2)在区域-4≦x ≦4，—4≦y ≦4上的图形

5.3 隐式曲面F （x,y,z ）=0绘图函数的调用格式：

ContourPlot3D[F(x,y,z),{x,x1,x2},{y,y1,y2},{z,,z1,z2},可选项]

图1

5.4 Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,c,d}]:计算累次积分

6第二型曲面积分的计算

6.1 用mathematica 计算

例2 求曲面积分??

S

z

d σ

，其中S 是球面2222b z y x =++，被平面z=h(0

解 首先取b=2,h=1画出曲面，确定投影区域：

a1 = Plot3D[Sqrt[2^2 - x^2 - y^2], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}, DisplayFunction -> Identity];

a2 = Plot3D[1, {x, -2, 2}, {Y, -2, 2}, DisplayFunction -> Identity]; Show[a1, a2, AxesLabel -> {"x", "y", "z"}, AspectRatio -> Automatic, DisplayFunction -> $DisplayFunction]

易知，曲面S 在xoy 平面上的投影区域D 是2222h b y x -≤+，根据被积函数和积分区域的特点，采用极坐标计算曲面积分： z[x_, y_] := Sqrt[b^2 - x^2 - y^2];

d = 1/z[x, y]*Sqrt[1 = D[z[x, y], x]^2 + D[z[x, y], y]^2]/{x -> r*Cos[t], y -> r*Sin[t]}

Integrate[d*r, {t, 0, 2pi}, {r, Sqrt[b^2 - h^2]}]

图2

])[][(2222

2

2

h Log h h

b b Log b -=π.

6.2分项投影法

例3 计算积分??∑

++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(，∑为球面x 2

222R z y =++取外侧.

解：对积分()dxdy y x ??∑

+，分别用后前和∑∑记前半球面和后半球面的外侧.

则有

∑前

：222z y R x --= ,D yz : y 2

22R z ≤+, ∑

后

: 222z y R x ---=,D yz : y 2

22R z ≤+,

因此, ()dxdy y x ??∑

+=

????∑∑+后

前

()

??-

+--=

yz

D dydz y z y R

222

()

??=+---

yz

D dydz y z y R 222

=-===========--=????

≤+==2

22

20

22sin ,cos 2

22 82

R z y R

r z r y rdr r R d dydz z y R π

θ

θθ

()

30

2

32

23

4

322

1

4R r R R r r ππ=??

?????--===. 对积分dx dz z y ??∑

-)(, 分别用右∑和左∑记右半球面和左半球面的外侧, 则有

右∑: ,222x z R y --= 222 :R z x D zx ≤+; 左∑: ,222x z R y ---= 222 :R z x D zx ≤+.

因此, =

-??∑dydz z y )(??

∑右

+??

∑左

=

(

)()

????--------=

zx

zx

D D dzdx z x z R dzdx z x z R 222222

??

≤+=--=2

22

32223

4

2

R z x R dzdx x z R π.

对积分dxdy x z ??∑

+)3(, 分别用上∑和下∑记上半球面和下半球面的外侧, 则

有

上∑: ,222y x R z --= 222 :R y x D xy ≤+; 下∑: ,222y x R x ---= 222 :R y x D xy ≤+.

因此, dxdy x z ??∑

+)3(=??

∑上

+ ??

∑下

=

(

)()

????=+----+--=

xy

xy

D D dxdy x y x R dxdy x y x R 33222222

??

≤+=--=2

22

32223

4

2

R y x R dxdy y x R π.

综上, ??∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(=33434

3R R ππ=?.

例4 计算积分I=dxdy z dydz y dydz x S

222++??，其中S 是三个坐标面与平面x+y+z=1

围成的四面体的外表面.

解：分析：S 由四面光滑曲面S 1, S 2， S 3， S 4组成，其中S 1, S 2， S 3分别是xoy,zox,yoz 平面上的三角形，S 4是平面x+y+z=1围成在第一卦线中的部分.于是 I=(??1

S +??2S +??3S +??4

S )x dxdy z dzdx y dydz 222++=I 1+ I 2+ I 3+ I 4

解法1：由于S 1在yoz 和zox 两个坐标面上的投影为线段 I 1=dxdy z S ??1

2

又由于S 1在xoy 平面，于是I 1=0 同理可得I 2，I 3=0

I 4=dxdy z dydz y dydz x S 2224

++??

=4??

??≤≤-≤≤--=

1

0102

2)1(4

x x

x S y x dxdy z =??

?????----1

0301])1(31[dx x y x =

?=-103

12

1)1(31dx x

.

于是I= I 1+ I 2+ I 3+ I 4=

4

1. 6.3 参数法

例5 计算积分??S

xyzdxdy ，其中S 是球面x 1222=++z y 在x 0,0≥≥y 部分取外侧

解：对S ：x 1222=++z y 在x 0,0≥≥y 部分取上下侧得z=±221y x -- D xy ={(x,y)0,0,122≥≥≤+y x y x },于是

????--=S

D xy

dxdy y x xy xyzdxdy 2

212 令???==θ

θ

sin cos r y r x ????-=S

dr r r d xyzdxdy 2

010222122sin 41π

θθ =?=-???

? ?

?---1022

23

2151

)1(1)1(41r d r r

6.4利用高斯公式

Gauss 公式：(

)S

V

P Q R

Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz x y x

???++=++???????? 注意公式只对闭合曲面成立，Gauss 公式将第二型曲面积分转化为三重积分，被积

图3

函数（向量场散度）容易求得，有时十分方便求解.如果空间曲面较为复杂但只差一个简单曲面或平面即可构成闭合曲面，则可利用 补面法进行计算，此时也应特别注意方向的判断.

例6 计算??+++-S

dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22,其中S 是边长为b 的正立方体表面并

取外侧．

解 应用高斯公式，所求曲面积分等于

??+++-S

dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(2

2 dxdydz xz y z x y z x y x V ????????

?+??

+??+-??=)()())((22

dxdydz x y V

???+=)(=???+b

b

b

dx x y dy dz 000)(=4

0221b dy b by b b

=??? ??+?

例7 设空间区域Ω由曲面222y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正常数.记Ω表面的外侧为,S Ω的体积为,V 证明.)1(2222V dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x S

=++-??

图4

分析：由于求证的是给定的曲面积分等于某个区域的体积值，而高斯公式给出了曲面积分与该曲面包含的区域上的某个三重积分间的关系，考虑到体积值可用相应的三重积分表示，故选用高斯公式进行证明.

证明：设,),,(22yz x z y x P = ,),,(22z xy z y x Q -= ),1(),,(xyz z z y x R +=则

,22xyz x P =??,22xyz y Q -=??.21xyz z

R

+=?? 由高斯公式知

dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x S

)1(2

222++-?? ?????????Ω

Ω

Ω

+=++-=xyzdv dv dv xyz xyz xyz 2)2122(22

???Ω

+=.2xyzdv V

dxdy y x a xy dxdy xyzdz xyzdv a y x a y x y x a ??

??????

≤+Ω

≤+----=

=2

222

222

222

)

(][2220

,2

)(cos sin 20

2

223dr r a r d a ?

?

-=πθθθ

由于 ,0cos sin 20

=?θθθπ

d 则???Ω

=0xyzdv .

例8计算曲面积分I=

??∑

++xydxdy

yzdzdx xzdydz 32，其中∑为曲面

z=1-x )10(4

2

2

≤≤-z y 的上侧 解：添加平面)14

(0:2

2

1≤+=∑y x z ，取下侧 则1∑+∑是一个封闭曲面，取外侧，设所围成的空间区域为Ω P=xz,Q=2yz,R=3xy

z z z z

R y Q x p 302=++=??+??+?? 由奥高公式

I=xydxdy yzdzdx xzdydz 32)(

1

1

++-????

∑+∑∑

=?????

???Ω

≤+

-≤+

+=+14

1

14

2

22

2033

3y x z y x dxdy zdz

xydxdy zdV

=?=+-10

0)1(6ππdz z z

注：（1）Gauss 公式的条件是：封闭、外侧、片倒是连续，三者缺一不可. （2）正确确定P,Q,R 三个函数，并注意分别对那个变量求偏导数曲面积分计算技巧.

若积分曲面∑关于想，x,y,z 具有轮换对称性，则

??????∑

∑

∑

==ds y x z f ds x z y f ds z y x f ),,(),,(),,(,

??∑

++ds y x z f x z y f z y x f ),,(),,(),,(31

, .)1(2222V dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x S

=++-?? 例9 计算曲面积分??∑

ds z 2，其中s 是球面2222a z y x =++.

解：分析：若按照常规方法来解，计算量相当大，如果用对称函数的特性就非常简捷.

球面2222a z y x =++关于x,y,z 具有对称性

??????∑

∑

∑

==∴ds z ds y ds x 222

????∑

∑++=

∴ds z y x ds z )(312222=22

3431a ds a π=??∑

图

5

6.5定义法

当单位法向量容易求得，易于表达时可考虑用定义法.

例10 计算2

S

y dzdx zdxdy +??，其中S 是椭球面22

2144x y z ++=，外侧.

此题可利用参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法等多种方法计算，难度不

大，答案是

163

π

. 例11计算I=??∑

++?ds z y x )cos cos cos (222γβ，其中∑是锥面x 222z y =+

(0h z ≤≤ ),cos γβαcos ,cos ,为锥面的外法线的方向余弦. 解：(解法1) 如图：

图6

图7

∑：z=

22y x +(0h z ≤≤ )，下侧∑在xoy 面上的投影D

xy

：

x 222h y ≤+,dS=dxdy z z y x 2

21++.

z 2

2

2

2

,y

x y z y

x x y x +=

+=

cos 22

1y

x

x z

z z ++=α,221cos y

x y

z

z z ++=

β,2211cos y

x

z

z ++-=

γ

I=dxdy y x y x y y x x xy

D ??+-++

+)]([

222

23

2

23

=????-

=-=+π

π

θ20

43222

)(h

D h dr r d dxdy y x xy

解法2

利用第一、第二型曲面积分的关系

设空间有向曲面S 上任一点的法线正向的方向角为γβα,,，则

Rdxdy Qdzdx Pdydz S

++??=ds R Q P S

)cos cos cos (γβα++??.

I=??∑

++dS z y x )cos cos cos (222γβα

=??∑

++dxdy z dzdx y dydz x 222( =42

h π

-

.

例12计算??∑

zdxdy

（1）∑为锥面z=22y x +在01≤≤z 部分的下侧； （2）∑为锥面z=22y x +与平面z=1所围曲面的内侧. 解：如下图

(1)∑：z=22y x +，01≤≤z ，下侧 D xy ：122≤+y x ,

??∑

zdxdy =-??

+xy

D dxdy y x 22,

=-??π

θ201

02dr r d =π3

2

. （2）∑=∑1+∑2

∑1：z=22y x +，01≤≤z ，上侧

∑2：12

2

≤+y x ，下侧, D xy ：12

2

≤+y x .

??????

∑

∑∑+=2

1

zdxdy =??

+xy

D dxdy y x 22-??xy

D dxdy =-π31

.

小结：将第二型曲面积分化为二重积分的方法

一代：将曲面∑的方程代入被积函数; 二投：将曲面∑投影到坐标平面;

三定号：由曲面的侧来决定取正号还是负号; 四换域：改变积分域，曲面∑变为投影域.

6.6 解题技巧（轮换对称性）

例13计算I=??

∑

++++2

3

2

2

2

)

(z y x zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是球面2222a z y x =++的外侧

图8

图9

解：由轮换对称性

I=??

??

∑

∑

++=++++2

32

2

2

2

32

2

2

)

(3)

(z y x zdxdy z y x zdxdy ydzdx xdydz =

)(33????∑∑+下

上

a =

][3xy

2222223????------xy

D D dxdy y x a dxdy y x a a , =

??

--xy

D dxdy y x a a 2223

6

=4π.

例14 计算曲面积分??∑

ds z 2，其中s 是球面2222a z y x =++.

解：分析：若按照常规方法来解，计算量相当大，如果用对称函数的特性就非常简捷

球面2222a z y x =++关于x,y,z 具有对称性,

??????∑

∑

∑

==∴ds z ds y ds x 222????∑

∑++=

∴ds z y x ds z )(312222=22

3431a ds a π=??∑

. 7结论

7.1 主要观点

第二型曲面积分的被积函数类型有多种，学生在做题的时候学生容易受思维的局限，对于哪一种的类型不知用何种方法，此外，对于有些类型的题可以一题多解，虽然用其中一种能解决，但有时显得繁琐，这是可以思考它其它种解法，这样使解题变得简单.随着技术的发展，我们还可以借助数学软件Mathematica 进行求解使得计算简单.

7.2 启示

文章对第二型曲面积分中被积函数类型做了一个系统的归纳，这对在做题时容易辨析用何种方法计算及灵活使用计算技巧，从而能进一步提高学生的解题能力，对公式定理的记忆也有较大的帮助.

7.3 局限性

由于第二型曲面积分计算灵活性较大，在文章中解题技巧不能一一归纳出.另外，Mathematica 在例题中的应用没能一一写出，本文仅针对几个典型例题进行了分析.

7.4 努力方向

除了文中所述的理论知识外，由于第二型曲面积分的解题方法﹑技巧是复杂多变的，而且要有一定的实践经验为基础.在今后的学习和实践中将不断的深入研究，结合具体的实践经验，以弥补文章中的许多不足之处.

参考文献

[1]刘玉琏.数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社，2003:11-19.

[2]富景龙.数学试题精选与大体技巧 [M].北京：高等教育出版社，2000:89-99.

[3]薛嘉庆.高等数学题库精编（理工类）[M].沈阳：东北大学出版社，2000:198-200.

[4]刘国均，陈绍业.数学分析简明教程[M].北京：高等教育出版社，2002:111-119.

[5]丁晓庆编.21世纪高等院校教材（工科数学分析）[M]. 北京：科学出版社，2008:61-75.

[6]刘莲芬.曲线积分和曲面积分的教学探索[J].重庆交通学院学报，1988,(7):3-4．

[7]余孝华.一类可直接化为累次积分的曲面积分[J].大学数学，1999,(5):2-6.

[8]王景克. 高等数学解题方法与技巧[M]. 北京：中国林业出版社，2002:111-119.

[9]线积分与曲面积分解题技巧[J].有色金属高教研究，1995,(4):4-6.

[10]HB.巴格莫洛夫.代数与微积分自学辅导[J]，1999,(9):3-6.

[11]四川大学数学系高等数学教研室. 高等数学[M]. 北京：高等教育出版社，2001:56-64.

[12]陈先开.数学题型集粹[M]. 北京：理工大学出版社,2011:17-30.

[13]格.马.菲赫金哥尔茨.数学分析原理[M].北京：人民教育出版社,1979:108-117.

[14]武燕,张丽,李靖,二类曲线和曲面积分的对称性[J].中国教育技术装备,2008:(5):7-8.

[15]阳明盛,林建华.Mathemactica基础及数学软件[M].大连：理工大学出版,2006：151-159.

致谢

值此论文完成之际，谨在此向四年来给予我关心、帮助的老师、同学和家人表示衷心的感谢！

首先，特别感谢我的指导老师李自田老师，在论文的撰写过程中，从选题、编写提纲、资料收集、撰写、修改、最后定稿，他都给予了具体的指导，付出了大量的心血；她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．这篇论文的每个数据，都离不开他的细心指导．

其次感谢曲靖师范学院,给我提供了一个很好的学习环境,让我能够顺利完成学业;

感谢班主任李冰老师在这四年里对我的帮助；感谢在学习期间给我诸多教诲和帮助的数学与信息科学学院的各位老师；感谢我的朋友和同学，感谢你们在我失意时给我鼓励，在失落时给我支持，感谢你们和我一路走来，让我在此过程中倍感温暖；感谢我的家人，让我可以拥有一个如此温馨的家庭，让我所有的一切都可以在你们这里得到理解与支持，得到谅解和分担.