第二型曲面积分论文

目录

1 引言 (1)

2 文献综述 (1)

3预备知识 (1)

3.1第二型曲面积分的定义 (1)

3.2第二型曲面积分的性质 (2)

4常用计算公式 (2)

5 MATHEMATICA相关知识 (4)

6第二型曲面积分的计算 (5)

6.1用MATHEMATICA计算 (5)

6.2分项投影法 (6)

6.3参数法 (8)

6.4利用高斯公式 (8)

6.5定义法 (12)

6.6解题技巧（轮换对称性） (14)

7结论 (15)

7.1主要观点 (15)

7.2启示 (15)

7.3局限性 (15)

7.4努力方向 (16)

参考文献 (17)

1 引言

曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，因而显得更加复杂，繁琐。在第二型曲面积分的学习过程中，学生必须在理解概念的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧。由于第二型曲面积分的的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定难度，本文就第二型曲面积分的的计算方法进行了归纳和总结，并用计算机辅助求解.

2 文献综述

众多数学教育者从不同角度和侧面探讨了第二型曲面积分的计算.刘玉琏在文献《数学分析讲义》中介绍了第二型曲面积分的概念、性质，并且给出计算第二型面积分的定理.在文献《数学试题精选与大体技巧》中概括了第二型曲面积分被积函数的类型.薛嘉庆在文献《高等数学题库精编》总结了根据被积函数类型的不同，有不同的计算方法，并且列举了相应的例子.在文献《数学分析简明教程》中探究第二型曲面积分可以化为定积分来计算公式并给出相应的证明.在文献《华东师范大学教学系》介绍了在第二型曲面积分的计算中将路径的参数方程表示出来，在文献《高等数学解题方法与技巧》简述了做题常用的技巧.阳明盛.林建华在文献《Mathemactica基础及数学软件》中给出了用数学软件Mathemactica解题的调用格式.

3预备知识

3.1 第二型曲面积分的定义

设S为光滑的有向曲面，P（x,y,z）,Q(x,y,z),R(x,y,z) 在S上有界，把S任意

分成n块有向曲面，△S

i ，i=1,2......，n，记△S

i

在xy平面上的有向投影为（△S

i

）

xy ，(ε

i

，

i

η，

i

ζ)为△S

i

上任取定的一点, T为每个△S

i

的直径中的最大者,作和数，

∑n i R (

i

ε，

i

η，

i

ζ)（△S

i

）

xy

.

如果lim

>

-

T

∑n

i

R (

i

ε，

i

η，

i

ζ)（△S

i

）

xy

总存在，则称此极限值为R任有向曲面S

上沿xy平面的第二型曲面积分，记为⎰⎰

S

Rdxdy.

类似可定义

⎰⎰S

Pdydz =lim 0

>-T ∑n i

R (i

ε

，i η，i ζ)（△S i ）yz ,

⎰⎰S

Qdzdx =lim 0

>-T ∑n i

R (i

ε

，i η，i ζ)（△S i ）zx ,

分别为P 在有向曲面S 上沿yz 平面的第二型曲面积分，Q 在有向曲面S 上沿zx 平面的第二型曲面积分，并且称⎰⎰S

Pdydz +⎰⎰S

Qdzdx +⎰⎰S

Rdxdy =Rdxdy Qdzdx Pdydz S

++⎰⎰为

P,Q,R 在有向曲面S 上的第二型曲面积分.

3.2第二型曲面积分的性质

第二型曲面积分除曲面可加性外，还具有有向性，即

⎰-

+S Qdy pdx = —⎰+S

Qdy Pdx ,

⎰-

+S Qdy pdx +Rdz= —⎰+S

Qdy Pdx +Rdz,

Rdxdy Qdzdx Pdydz S ++⎰⎰-

= —Rdxdy Qdzdx Pdydz S

++⎰⎰.

3.3第一、第二型曲面积分的关系

设空间有向曲面S 上任一点的法线正向的方向角为γβα,,，则

Rdxdy Qdzdx Pdydz S

++⎰⎰=ds R Q P S

)cos cos cos (γβα++⎰⎰.

4常用计算公式

4.1 投影法

设P,Q,R 是定义在光滑曲面上S 上的连续函数，且S 的方程z=z(x,y) (x,y)∈D xy D xy 为S 在xy 平面上的投影，则

⎰⎰⎰⎰

-=S

D xy

y x z y x P Pdydz )],(,,[.z /

x dxdy ，

⎰⎰⎰⎰-=S

Dxy

y

z

y x z y x Q Qdzdx /

)].,(,,[dxdy ，