三角形中线一条性质的探究、应用与拓展

三角形中线一条性质的探究、应用与拓展

性质：平行于三角形一边的直线被另两边（或另两边的延长线）所截得的线段被这边上的中线（或其延长线）平分。

如图，△ABC 中，AD 平分BC ，EF ∥BC ，求证：AD 平分EF .

A

B C D

E

F G 证明：∵EF ∥BC

∴EG ∶BD =AG ∶AD ；FG ∶CD =AG ∶AD

∴EG ∶BD = FG ∶CD

∵BD =CD

∴EG = FG .

结论得证.我们不妨将该结论称为“三角形中线性质定理”.

这条性质的运用，现举例如下：

例1. △ABC 中，DE ∥BC ，CD 交BE 于F ，求证：AF 平分DE 和BC .

A

B

C D E

F G M

N

分析：根据“三角形中线性质定理”，结论中只需证得其一，即可得其二. 证明：过B 作BG ∥DC ，交AF 延长线于点G ，连CG .

∵BG ∥DC ，DE ∥BC

∴AD ∶AB =AF ∶AG ；AD ∶AB =AE ∶AC

∴AF ∶AG =AE ∶AC \

∴CG ∥BE

∴BGCF 为平行四边形

∴BN =CN

∵DE ∥BC

∴DM =EM .

例2 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B +∠C =90°，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，求

证：MN =12

(BC -AD ).

N M E

D

C B A

证明：延长BA 、CD 交于点E ，连接EN .

∵BN =CN ，AD ∥BC ，

据“三角形中线性质定理”，EN 平分AD ，即EN 过点M .

∵∠B +∠C =90°，

∴EN =12

BC . 同理，Rt △EAD 中，EM =12

AD . ∴MN =12

(BC -AD ). 例3 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 为CD 中点，AE 延长线交BC 于点F ，FG ⊥AB 于G ，求证：FG 2=FC ·FB .

H

G F

E

D C B

A

证明：延长GF 与AC 延长线交于点H .

∵CD ⊥AB ，FG ⊥AB

∴CD ∥FG

∵CE =DE

∴FG =FH

∵∠ACB =90°

∴∠HCF =∠FGB =90°

∵∠HFC =∠BFG

∴△HFC ∽△BFG

∴FG ∶FC =FB ∶FH

∴FG ·FH =FC ·FB

∴FG 2=FC ·FB .

显然，利用比例性质，以上“三角形中线性质定理”可作如下推广(如图所示)：

1. △ABC 中，EF ∥BC ，若BD ∶DC =k ，则EG ∶FG =k (如图1).

2．△ABC 中，GH ∥BC ，若BD ∶DE ∶EF ∶…= a ∶b ∶c ∶…，则GM ∶MN ∶NP ∶…= a ∶b ∶c ∶…(如图2).

图2图1…A B C D E F

G H M N P A B C D E

F G