解定态薛定谔方程的一般方法

an
e

i

nt
,
当只有一个an 0，其它an全为0时,



ane
i

nt n
,
设
是归一化的
n
，
则an
1.
此时在r

r

dr空间处粒子的概率为 *dV


* n
(r)n
(r)
d
r
3
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§3.1 薛定谔方程
【举例】 一维无限深势阱
考虑一维空间中运动的粒子,它的势能在一定区域内(从x 0到x d )
第三章 量子力学基础
【内容】 1. 薛定谔方程 2. 势垒贯穿 3. 量子力学中的一些理论与方法 4. 氢原子
【重点】 薛定谔方程 态叠加原理
氢原子能量本征值与本征函数
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§3.1 薛定谔方程
一、薛定谔方程的引入
我们希望找到一个类似于牛顿方程的方程来描述这种新的量子现象，而且这个 方程应当能完全描述各种系统的状态。我们可从自由粒子出发，假定一个质量
为零，而在此区域外，势能为无限大，即u(
x)

0, ,
0 xd (1)
x d,x 0
显然势函数不显含时间，因而在阱内，


满足定态薛定谔方程：
2 2m
d 2
dt 2

E

0
(2)
记
k2

2mE 2
V
(3)
V=0
则方程可以写为：
d 2
dx2

k 2
(4)
x=0
x=L
其中:n用来描述粒子所处系统的某一状态; cn是系数, 表示粒子所处n的概率振幅, 例如：n是能量本征函数时,指粒子处于 n的状态函数.
粒子处于第n个状态 n的概率为cn*cn，则E ncn*cn n
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§3.2 势垒贯穿
本小节我们考虑方势垒的穿透问题。
求其特解，把波函数写为 (r, t) (r)T (t)得
i dT 1 [ 2 2 u(r)] T dt 2m
于是有分离常数E使（9）式得 i dT E T dt
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(8)
(9) (10)
§3.1 薛定谔方程
和 1 [ 2 2 u(r)] E 2m
V
有
E
V0
方势垒为：u
(
x)

0, V0
,
x x1, x x2 (1) x1 x x2
限 高 势 垒
0
X1 X2
x
当入射粒子从 x x1 的地方向右入射，如其入射能量 E
低于 V0 时，按照经典力学观点，粒子不可能穿过势垒，将全
部返回。但是量子力学将给出完全不同的结果。从一维定态薛
2 sin nx , dd
En

n2h2 8md 2
,
n 1,2,
(7)
注意到的是，最低的能级为E1

h2 8md 2
0,也可从不确定原理看出，
近似为位置不确定度为x d，则动量不确定度p，因而有：
(p)2 h2
E 2m 2md 2 O(E1)
(8)
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§3.1 薛定谔方程
四、 态叠加原理
态叠加原理是量子力学中一个重要的基本概念，我们知道量子力学中波函 数是用来描述一个体系的量子态。如此态叠加原理显的很重要了，它是 “波叠加性”和“波函数完全描述一个体系的量子态”两个概念的概括。
若一个波函数可以表示为 cnn (r)
n
则利用{n}的完备性及正交性得: *(r) (r)dV 1或 cn*cn 1， n
2 2 u(x) i
(7)
2m x2
t
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§3.1 薛定谔方程
推广到三维，得薛定谔方程为
[ 2 2 u(r)] (r, t) i (r, t)
2m
t
式（8）就是薛定谔方程的一般形式。
二、定态薛定谔方程
当势场u(r)不显含t时，式(8)可用分离变量法
§3.1 薛定谔方程
三、解定态薛定谔方程的一般方法

h2 2m
2 n

un

En , n
1,2,...

a e
i

n
t
n
n
n
(*)
【解薛定谔方程的一般方法】 1、首先用分离变量法:即把时间及空间分开 T (t)(r)
2、然后求解定态薛定谔方程。
3、最后方程的通解为(*)式, 其中Tn
为 m 动量为 p ，在势场 u(x) 中运动的非相对论粒子，粒子的能量可写成（考
虑一维运动）
E p2 u(x) 2m
（1）
利用德布罗意关系 E , p k 代入上式得
(k )2 u( x)
2m
（2）
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§3.1 薛定谔方程
对于自由粒子，把其波函数写成平面波形式： (x，t) 0ei(kxt) (3)
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§3.1 薛定谔方程
在阱外， 0。考略到描写实物粒子的波函数必须满足的标准条件:
波函数必须是单值，有限，连续。因而，方程（4）的解满足边界条件
(0) (d ) 0
(5)
联合（4）与（5）得量子化条件：kn

n d
, n 1,2,3,
(6)
n (x)
定谔方程出发，得在区域 x x1时，薛定谔方程为：
d 2
dx2


2mE 2


k12, 其中k1

2mE 2
(2)
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§3.2势垒贯穿
(2)式的解为正弦波：1 A1 sin(k1x 1)，其中A1,1均为常数。 (3)
在区域x1 x x2中, u V0 E
解得T T0eiEt 并将常数T0归到所含常数中，得 (r, t) (r)eiEt
得出定态薛定谔方程为
(11) (12)
[ 2 2 u(r)] E
2m
（13）
并注意到，由(12)式几率密度 * *与时间无关。
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从上式，有: i E , 2 p2
(4)
t
x
对于u(x) 0时,由(1)知 :
(i t

2 2m
2 x 2
)
(E
p2 )
2m
0
(5)
对于一般情形,作如下变换: E i ; p i
(6)
t
x
作用于波函数上得一维的薛定谔方程