《等差数列前n项和的最值》专题

《等差数列前n项和的最值》专题

2019年（）月（）日班级姓名

探究按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n项和S n取到最值时序号n

通过上面的例子，我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号分界点处取到，据此完善下列结论：

(1)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的

最值．

(2)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为项(或0)，所以将这些项相加即得{S n}的

最值；

特别地，若a1＞0，d＞0，则S1是{S n}的最值;若a1＜0，d＜0，则S1是{S n}的最值．已知数列{a n}的通项公式是a n＝2n－48，则S n取得最小值时，n为________．

例2在等差数列{a n}中，a n＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和S n的最小值．

小结在等差数列中，求S n的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于S n为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．

训练2在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值．

等差数列前n 项和的最值

11．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)求S n ，并求S n 的最小值．

解：(1)设{a n }的公差为d ，

由题意得3a 1＋3d ＝－15.

又a 1＝－7，所以d ＝2.

所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.

(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2

＝n 2－8n ＝(n －4)2－16， 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.

[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )

A ．S 15

B ．S 16

C ．S 15或S 16

D ．S 17

[解析] ∵a 1＝29，S 10＝S 20，

∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192

d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2

×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．

[答案] A

求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法

(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．

(2)邻项变号法：

①当a 1>0，d <0时，满足⎩

⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧

a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . 3．(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n 最大时，n ＝( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．6

解析：选C ∵a n ＝28－5n ，∴数列{a n }为递减数列．

令a n ＝28－5n ≥0，则n ≤285

，又n ∈N *，∴n ≤5. ∵S n 为数列{a n }的前n 项和，∴当n ＝5时，S n 最大．故选C.

9．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．

解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 5>0，a 6<0， ∴S n 的最大值为S 5.

答案：S 5

例3 若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .

小结 等差数列{a n }前n 项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n 项的绝对值之和． 训练3 已知等差数列{a n }中，记S n 是它的前n 项和，若S 2＝16，S 4＝24，求数列{|a n |}的前n 项和T n .

3．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝________.

4．首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 8，当n ＝________时，S n 取到最大值．