圆周运动临界问题专题
专题圆周运动中的临界专题课件-高一物理人教版(2019)必修第二册

◆知识总结◆
临界问题:由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物(绳、轨道、轻杆、管道
等)不同,所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
N
mg
O
绳
mg
O
内轨道
mg
O
杆
物体在最高点的最小速度取决于该点所受的最小合外力。
N
mg
O
管道
物理情景
最高点无支撑
最高点有支撑
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨
道运动的“过山车”等
且摩擦力方向同向.
第二、与弹力有关的临界极值问题
①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零;
②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最
大承受力等。
02
竖直面内圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动,一般情况下是变速圆周运动,物体能否通过最高点是
有条件的。
1、轻绳(或内轨道)——小球组成无支撑的物理模型(称为“轻绳模型”)
(1)临界条件:最高点时,绳子或轨道对小球没有力的作用
v2
mg=m R ⇒v 临界= Rg.
(2)能过最高点的条件:v≥ Rg,当 v> Rg时,绳对球产生拉力,轨道对球产
生压力.
(3)不能过最高点的条件:v<v
做斜抛运动).
临界
(实际上球还没到最高点时就脱离了轨道而
(4)小球在最低点时:绳对小球产生竖直向上的拉力(若是内轨道则产生竖直向
题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程存在着极值
,这个极值点也往往对应着临界状态。
②确定临界条件:判断题述的过程存在临界状态之后,要通过分析弄清临界状态
出现的条件,并以数学形式表达出来。
第六章专题强化水平面内的圆周运动的临界问题
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专题强化水平面内的圆周运动的临界问题[学习目标] 1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型,并会找它们的临界条件(重点)。
2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。
物体做圆周运动时,若物体的线速度大小、角速度发生变化,会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化,进而出现某些物理量或运动状态的突变,即出现临界状态。
1.水平面内的圆周运动常见的临界问题:(1)物体恰好(没有)发生相对滑动,静摩擦力达到最大值。
(2)物体恰好要离开接触面,物体与接触面之间的弹力为0。
(3)绳子恰好断裂,绳子的张力达到最大承受值。
(4)绳子刚好伸直,绳子的张力恰好为0。
2.解题关键:(1)在圆周运动问题中,当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时,说明运动过程中存在临界点。
(2)分析临界状态的受力,列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
例1如图所示,A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘上,物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍(最大静摩擦力等于滑动摩擦力),三物体的质量分别为2m、m、m,它们离转轴的距离分别为R、R、2R。
当圆盘旋转时,若A、B、C三物体均相对圆盘静止,则下列说法正确的是()A.A的向心加速度最大B.B和C所受摩擦力大小相等C.当圆盘转速缓慢增大时,C比A先滑动D.当圆盘转速缓慢增大时,B比A先滑动答案C解析A、B、C三物体角速度相同,a n=ω2r,则物体C的向心加速度最大,选项A错误;摩擦力提供向心力,F fB=mω2R,F fC=mω2·(2R),物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力,,故滑动的临界角速度与质量无关,选项B错误;物体恰好滑动时,kmg=mω2r,ω=kgrr越大,临界角速度越小,故物体C先滑动,A、B同时滑动,选项C正确,D错误。
例2如图所示,水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点),连接物体和转轴的绳子长为r,物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍,转盘的角速度由零逐渐增大,求:(重力加速度为g)(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度;(2)当角速度为3μg2r时,绳子对物体拉力的大小。
专题圆周运动的临界问题-
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情景创设:杂技演员表演“水流星”节目,我们发现不管 演员怎样抡,水都不会从杯里洒出,甚至杯子在竖直面内 运动到最高点时,已经杯口朝下,水也不会从杯子里洒出。 这就是为什么?
模型:绳球模型(无内轨支撑)
·O
·O
质点在细绳作用下在 竖直面内做圆周运动
质点沿竖直光滑轨道 内侧做圆周运动
当v
v0时,
杆对物有向下的拉力,
N
m
v2 L
mg
mg
m
v2 L
L
长度为0、5m得轻质细杆,A端有一质量为3kg得小
球,以O点为圆心,在竖直平面内做圆周运动,如图所示,小
球通过最高点时得速度为2m/s,取g=10m/s2,则此时
轻杆OA将( )B
A、受到6、0N得拉力
N
mA
B、受到6、0N得压力
应用:如图所示,质量为0、5kg得杯子里盛有1kg得水, 用绳子系住水杯在竖直平面内做“水流星”表演,转动 半径为1m,水杯通过最高点得速度为4m/s,求: (1)在最高点时,绳得拉力? (2)在最高点时水对杯底得压力?
最高点A: mg+N=m v2A
R
(1)当N 0, v gR (临界速度)
(2)当角速度ω为何值时,铁块在最高点与电机恰无作用
力?
(3)本题也可认为就是一电动打夯机得原理示意图。若
电机得质量为M,则ω多大时,电机可以“跳”起来m?此情
r
况下,对地面得最大压力就是多少?
O
半径为L得圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直 放置,管内壁光滑,管内有一个小球(小球直径略小于管内 径)可沿管转动,设小球经过最高点P时得速度为v,则
2.脱离与不脱离得临界问题
圆周运动的临界问题
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汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力,向
心力是由摩擦力提供的,A错误; 汽车转弯的速度为 20 m/s 时,根据 Fn=mvR2,得所需的向心力为 1.0×104 N,没有超过最大静摩擦力,所以汽车不会发生侧滑,B、C 错误; 汽车安全转弯时的最大向心加速度为 am=Fmf=7.0 m/s2,D 正确.
ω越大时,小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大
√B.小物体受到的摩擦力可能背离圆心 √C.若小物体与盘面间的动摩擦因数为 23,则 ω 的最大值是 1.0 rad/s
D.若小物体与盘面间的动摩擦因数为 23,则 ω 的最大值是 3 rad/s
当物体在最高点时,也可能受到重力、支持力与 摩擦力三个力的作用,摩擦力的方向可能沿斜面 向上(即背离圆心),也可能沿斜面向下(即指向圆 心),摩擦力的方向沿斜面向上时,ω越大时,小物体在最高点处受 到的摩擦力越小,故A错误,B正确; 当物体转到圆盘的最低点恰好不滑动时,圆盘的角速度最大,此时 小物体受竖直向下的重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向 圆心的摩擦力,由沿斜面的合力提供向心力,支持力FN=mgcos 30°, 摩擦力Ff=μFN=μmgcos 30°,又μmgcos 30°-mgsin 30°=mω2R,解 得ω=1.0 rad/s,故C正确,D错误.
例2 (多选)如图所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在 水平圆盘上,a与转轴OO′的距离为l,b与转轴的距离为2l.木块与圆盘 间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g.若圆盘从 静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,且最大 静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是
竖直面内圆周运动的临界问题
圆周运动中的临界问题(全)
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圆周运动中的“临界问题”总结一、“绳”模型——“最高点处有临界,最低点时无选择”一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球“刚好”“恰好”过最高点的条件是:此时,只有小球的 提供向心力,即 =m rv 2,这时的速度是做圆周运动的最小速度,vmin = . V= 是“绳”模型中小球能否顺利通过最高点继续做圆周运动的临界速度。
类此模型:竖直平面内的内轨道巩固1:游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m =60kg ,由静止从斜轨顶端A 点开始下滑,恰好过半径为r=2.5m 的圆形轨道最高点B 。
求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。
巩固2:杂技演员在做水流星表演时,用绳系着装有水的水桶,在竖直平面内做圆周运动,若水的质量m =0.5 kg ,绳长l=60cm ,求:(1)最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v =3 m /s 时,水对桶底的压力.巩固3:公路在通过小型水库的泄洪闸的下游时,常常要修建凹形桥,也叫“过水路面”。
如图所示,汽车通过凹形桥的最低点时A .车的加速度为零,受力平衡B .车对桥的压力比汽车的重力大C .车处于超重状态D .车的速度越大,车对桥面的压力越小二、“杆”模型————“最高点处有临界,最低点时无选择” 一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动,注意v=0和v=gr 两个速度。
①当v =0时,杆对小球的支持力 小球的重力;②当0<v <gr 时,杆对小球产生 力,且该力 于小球的重力;③当v =gr 时,杆对小球的支持力 于零;④当v >gr 时,杆对小球产生 力。
V= 是“杆”模型中杆对小球是“推”“拉”的临界。
类此模型:竖直平面内的管轨道.巩固4:如图所示,长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球,另一端有光滑的固定轴O ,现给球一初速度,使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动,不计空气阻力,则( )A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度要大于0C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力 三、“拱形桥”模型——“最高点处有临界”小球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点时,若小球与球面间弹力为零,则有 = ,v= 。
(完整版)圆周运动中的临界问题(最新整理)
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圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题,涉及的是临界速度与临界力的问题,具体来说,主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。
1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示,两绳系一质量为的小球,kg m 1.0=上面绳长,两端都拉直时与轴的夹角分别为m l 2=与,问球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧,o 30o45当角速度为时,上、下两绳拉力分别为多大?s rad /32、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题例2 如图2所示,细绳一端系着质量为kg M 6.0=的物体,静止在水平面上,另一端通过光滑小孔吊着质量为的物体,的中心与圆孔距离为kg m 3.0=M m 2.0并知与水平面间的最大静摩擦力为,现让此平面M N 2绕中心轴匀速转动,问转动的角速度满足什么条件ω可让处于静止状态。
()m 2/10s m g =3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动,中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况,并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最高点如图所示,用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况,与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似,都属于无支撑的类型。
临界条件:假设小球到达最高点时速度为,此时绳子的拉力(轨道的弹力)0v C图1图2刚好等于零,小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力,即,rvm mg 20=,式中的是小球过最高点的最小速度,即过最高点的临界速度。
gr v =00v (1) (刚好到最高点,轻绳无拉力)0v v =(2) (能过最高点,且轻绳产生拉力的作用)0v v >(3) (实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道)0v v <例4、如图4所示,一根轻绳末端系一个质量为的小球,kg m 1=绳的长度, 轻绳能够承受的最大拉力为,m l 4.0=N F 100max =现在最低点给小球一个水平初速度,让小球以轻绳的一端为O 圆心在竖直平面内做圆周运动,要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断,小球的初速度应满足什么条件?(10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示,轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况,与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似,都属于有支撑的类型。
专题:圆周运动中的临界问题
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专题:圆周运动中的临界问题一、竖直平面内的圆周运动 1.受力分析 小球用轻绳拉着在竖直平面内做圆周运动是典型的变速圆周运动。
如图所示,把重力分解可知,除最高点和最低点外,其他各点,小球切线方向加速度均不为零,因此小球做变速(速度、方向)圆周运动。
2.最高点的临界状态分析 (1)“绳模型”(或单圆形轨道,球在轨道内做圆周运动模型,此处简称为“单轨模型”)a.小球能通过最高点的临界条件为:mg =m Rv 2得:v =gR ,此时物体处于完全失重状态,绳上没有拉力;b.当v >gR ,小球能过最高点,绳上有拉力;c.当v <gR故球不能过最高点。
(2)“杆模型”(或双圆形轨道,球在双轨道内部运动,此处简称为“双轨模型”)因轻杆可以产生拉力,也可产生支持力,双轨模型时,内轨可产生支持力,外轨产生向下的压力。
a.小球能通过最高点的临界条件为:v =0,F =mg (F 为支持力);b.当0<v <gR 时,v 增大,F 减小且0<F<mg (F 方向沿半径向外),mg -F =m Rv 2 ;c. 当v =gR 时,F=0 ,完全失重状态;d.当v >gR 时,F 方向沿半径向内, F +mg =m Rv 2;最低点时,对于各种模型,都是拉力(或者支持力N )T -mg =m Rv 2。
例1、长L=0.5m ,质量可忽略不计的轻杆,其一端固定于O 点,另一端连有质量m =2kg 的小球,它绕O 点在竖直平面内做圆周运动。
当通过最高点时,如图所示,求下列情况下杆对小球的作用力(计算大小,并说明是拉力还是支持力) (1)当v =1m/s 时,大小为 16 N ,是 支持 力; (2)当v =4m/s 时,大小为 44 N ,是 拉力 力。
解析: 此题先求出v =gR =5.010⨯m/s =5m/s 。
(1)因为v =1m/s <5m/s ,所以轻杆作用给小球的是支持力,有mg -F =m R v 2得:F =16N ;(2)因为v =4m/s >5m/s ,所以轻杆作用给小球的是拉力,有mg +F =m Rv 2得:F =44N ;3.竖直平面内的匀速圆周运动 如果某物体固定在电动机或其他物体上绕水平轴匀速转动,则该物体将做匀速圆周运动,此时电动机或转动体对该物体的作用力与物体的重力的合力提供向心力,向心力大小不变,方向始终指向圆心。
圆周运动的临界问题-高考物理复习

力提供向心力,有μmg=mω2lsin θ,解得 ω= 4gl,可得
当 ω≤ 4gl时绳子无张力,ω> 4gl时绳子有张力,故 A、B 正确;圆台对木箱恰好无支持力时,有 mgtan θ=mω2lsin θ,
解得 ω= 53gl ,即当 ω≥ 故 C 正确,D 错误。
53gl 时,圆台对木箱无支持力,
目录
研透核心考点
2.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时,利用合力提供向心力列牛顿第二定律 方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中,用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意:求对轨道的压力时,转换研究对象,先求物体所受支持力,再根据牛 顿第三定律求出压力。
目录
研透核心考点
2.(2024·北京丰台高三期中)如图5甲所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做 圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时,管道对小球的弹力与过最高点 时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的 一条水平线。不计小球半径、管道的粗细,重力加速度为g。下列说法正确的
0.5 kg的小球(可视为质点),用长为0.4 m的轻绳拴着在
竖直平面内做圆周运动,g=10 m/s2,下列说法不正确
的是( D )
A.小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为 2 m/s
图3
B.当小球在最高点的速度为 4 m/s 时,轻绳拉力为 15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为 45 N,小球的最大速度不能超过 4 2 m/s
目录
研透核心考点
1.(多选)如图2所示,在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳,细绳长度为l, 细绳的一端连接一个小木箱,木箱里坐着一只玩具小熊,此时细绳与转轴间的夹 角为θ=53°,且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊的总质量为m,木箱 与水平圆台间的动摩擦因数μ=0.2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,sin 53°=0.8, cos 53°=0.6,重力加速度为g,不计空气阻力。在可调速电动机的带动下,让水
2025版高考物理一轮复习第四章曲线运动专题强化六圆周运动的临界问题

块经过B点时对轨道的压力大小为12mg.下列说法正确的是( )
A.h=3R B.小物块滑过M点时加速度大小a=5.5g
答案:B
C.减小h,小物块经过B点时对轨道的压力增大
D.减小h,小物块经过M点和B点时对轨道的压力差一定减小
考向2 杆(管)类竖直面内圆周运动 例 5 如图所示,一半径为R=0.2 m、内壁光滑的四分之三圆形管道 竖直固定在墙角处,O点为圆心,P点为最低点,A、B两点处为管口, O、A两点连线沿竖直方向,O、B两点连线沿水平方向.一个质量为 m=0.4 kg的小球从管道的顶部A点水平飞出,恰好又从管口B点射入 管内,重力加速度g取10 m/s2,则小球从A点飞出时及从B点射入管内 经过P点时对管壁的压力大小之差为( ) A.2 N B.18 N C.20 N D.22 N
(1)若要小球离开锥面,则小球的角速度ω0至少为多大? (2)若细线与竖直方向间的夹角为60°,则小球的角速度ω′为多大?
[教你解决问题] 读题审题——完成信息转化
例 2 如图所示,A、B两个小滑块用不可伸长的轻质细绳连接,放置在水 平转台上,mA=0.1 kg,mB=0.2 kg,绳长l=1.5 m,两滑块与转台的动摩 擦因数μ均为0.5(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),转台静止时细绳刚好伸 直但没有弹力,转台从静止开始绕竖直转轴缓慢加速转动(任意一段极短时 间内可认为转台做匀速圆周运动),g取10 m/s2.以下分析正确的是( )
专题强化六 圆周运动的临界问题
1. 掌握水平面内、竖直面内的圆周运动的动力学问题的解题方法. 2.会分析水平面内、竖直面内圆周运动的临界问题.
考点一
考点二
考点一
考点一 水平面内圆周运动的临界问题 1.运动特点 (1)运动轨迹是水平面内的圆. (2)合外力沿水平方向指向圆心,提供向心力,竖直方向合力为零, 物体在水平面内做匀速圆周运动. 2.过程分析 重视过程分析,在水平面内做圆周运动的物体,当转速变化时,物 体的受力可能发生变化,转速继续变化,会出现绳子张紧、绳子突然 断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发 生变化等,从而出现临界问题.
专题:圆周运动中的临界问题

③当 v = gR
④当 v f
时,F=0;
gR 时,F为拉力:
F随v的增大而增大
总结:
物体在没有支撑物时: 在竖直平面内做圆周运动过最高点的临界条件是: 2 v0 物体的重力提供向心力即 mg m r
临界速度是:v0 gr 在其它位置要能做圆周运动,也必须满足F供=F需。 物体在有支撑物时: 物体恰能达到最高点的v临=0
定于O点,上端连接着一个质量m=2kg的小球A,A 绕O点做圆周运动(同图5),在A通过最高点,试 讨论在下列两种情况下杆的受力:
①当A的速率v1=1m/s时: ②当A的速率v2=4m/s时:
例4 如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨 道ABCD,其A点与圆心等高,D点为轨道最高点,DB为 竖直线,AC为水平线,AE为水平面,今使小球自A点 正上方某处由静止释放,且从A点进入圆形轨道运动, 通过适当调整释放点的高度,总能保证小球最终通过 最高点D,则小球在通过D点后(A ) A.会落到水平面AE上 B.一定会再次落到圆轨道上 C.可能会落到水平面AE上 D.可能会再次落到圆轨道上
专题:
圆周运动中的临界问题
一、竖直平面内的圆周运动
对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典 型的变速曲线运动,该类运动常有临界问 题,并伴有“最大”“最小”“刚好”等 词语,常分析两种模型——轻绳模型和轻杆 模型
1.轻绳模型 :
(1)特点:在最高点时,没有物 体支撑,轻绳只能产生拉力 (2)分析:
最高点:
T mg m
2
R
v越大,T越大, v越小,T越小, 当T=0时,v = v临
mg m
2025高考物理备考教案含答案解析 专题七 圆周运动临界问题的模型建构

第四章曲线运动专题七圆周运动临界问题的模型建构核心考点五年考情命题分析预测水平面内圆周运动的临界问题2023:福建T15;2022:山东T8;2019:海南T6圆周运动的临界问题是本章的难点,也是高考考查的热点.水平面内的圆周运动的临界问题一般与摩擦力有关,竖直面内的圆周运动的临界问题一般与弹力有关,关键均在于找到临界点,列出动力学方程.预计2025年高考可能会出现与生产生活联系的圆周运动临界问题,以选择题或计算题形式出现.竖直面内圆周运动的临界问题2022:全国甲T14;2021:浙江6月T20;2020:浙江1月T20斜面上圆周运动的临界问题题型1水平面内圆周运动的临界问题1.运动特点(1)运动轨迹是水平面内的圆.(2)合力沿水平方向指向圆心,提供向心力,竖直方向合力为零,物体在水平面内做匀速圆周运动.2.临界问题分析(1)与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力.(2)与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零;绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等.1.[与圆锥体结合的临界]一根轻质细线一端系一小球(可视为质点),另一端固定在一光滑圆锥体顶上,如图所示.设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω,细线的拉力为T,则下列T随ω2变化的图像可能正确的是(C)A BC D解析对小球受力分析如图,当角速度较小时,小球在光滑锥面上做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律和平衡条件可得T sin θ-N cos θ=mL sin θ·ω2,T cos θ+N sin θ=mg,联立解得T=mg cos θ+mL sin 2θ·ω2;当角速度较大时,小球离开光滑锥面做匀速圆周运动,根据牛顿第二定律可得T sin α=mL sin α·ω2,则T=mLω2.综上所述,只有C可能正确.2.[与绳子结合的临界/多选]如图所示,质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点,当轻杆绕轴OO'以角速度ω匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,a绳与水平面成θ角,b绳水平且长为l,重力加速度为g,则下列说法正确的是(AC)A.a绳一定受拉力作用B.a绳所受拉力随角速度的增大而增大C.当角速度ω>√gltanθ时,b绳将出现弹力D.若b绳突然被剪断,则a绳的弹力一定发生变化解析对小球受力分析可知a绳的拉力在竖直方向的分力与小球的重力平衡,可得F Ta=mg sinθ,为定值,A正确,B错误;当F Ta cos θ=mω2l,即ω=√gltanθ时,b绳的弹力为零,若角速度大于该值,则b绳将出现弹力,C正确;由于b绳可能没有弹力,故b绳突然被剪断,a绳的弹力可能不变,D错误.3.[与圆盘结合的临界/多选]如图所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l.木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是(AC)A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.ω=√kg2l是b开始滑动的临界角速度D.当ω=√2kg3l时,a所受摩擦力的大小为kmg解析圆盘开始转动时,两木块受到的静摩擦力的方向指向转轴提供向心力,转动角速度相等,则根据牛顿第二定律可得f=mω2R,由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径,故小木块b做圆周运动需要的向心力较大,B错误;因为两木块与圆盘间的最大静摩擦力相等,故b一定比a先开始滑动,A正确;当b开始滑动时,由牛顿第二定律可得kmg=mω2·2l,可得ω=√kg2l,C正确;当a开始滑动时,由牛顿第二定律可得kmg=mωa2l,可得ωa=√kgl ,转盘的角速度为√2kg3l<ωa时,小木块a未发生滑动,其所需的向心力由静摩擦力提供,由牛顿第二定律可得f=mω2l=23kmg,D错误.命题拓展[条件拓展]如果两木块a、b之间用一轻绳连接,且绳子能承受的最大拉力为T=kmg,试分析绳子是否会发生断裂.答案绳子不会发生断裂解析由题意可知当绳子将要断裂的瞬间,对木块b有,T+f max=mω2·2l,即2kmg=mω2·2l,解得ω=√kgl;对木块a有,f a-T=mω2l,解得f a=2kmg>f max,与已知条件相矛盾,因此绳子不会发生断裂.题型2竖直面内圆周运动的临界问题项目绳模型杆模型常见类型最高点没有支撑最高点有支撑过最高点的临界条件由mg=[1]mv临2r得v临=[2]√gr由小球恰能做完整的圆周运动得v临=[3]讨论分析(1)恰好过最高点时,v=√gr,mg=mv2r,F=0,即绳、圆轨道对球无弹力;(1)当v=0时,F=mg,F为支持力,沿半径背离圆心;(2)v[4]>√gr,有F+mg=m v2r,F为绳、圆轨道对小球产生的弹力;(3)不能过最高点时,小球在到达最高点前已经脱离了圆轨道(2)当[5]0<v<[6]√gr时,有F+mg=m v2r,F背离圆心,随v的增大而减小;(3)当v=[7]√gr时,F=[8]0;(4)当v>[9]√gr时,有F+mg=m v2r,F指向圆心,随v的增大而增大4.[轻绳模型]如图甲所示,轻绳一端固定在O点,另一端固定一小球(可看成质点),让小球在竖直平面内做圆周运动.改变小球通过最高点时的速度大小v,测得相应的轻绳弹力大小F,得到F-v2图像如图乙所示,已知图线的延长线与纵轴交点的坐标为(0,-b).不计空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是(B)A.该小球的质量为bgB.小球运动的轨迹半径为a2gC.图线与横轴的交点处小球所受的合力为零D.当v2=a时,小球的向心加速度为g解析小球在最高点时受到轻绳的拉力为F,则有F+mg=m v 2R ,解得F=m v2R-mg,结合图乙可知mg=b,即m=bg ,斜率为mR=2ba,解得R=a2g,故A错误,B正确;图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零,即合力等于重力时的情况,故C错误;根据向心加速度公式可知a n=v2R=2g,故D错误.命题拓展[轻绳→轻杆模型]若将轻绳换成轻杆,其F-v2图像如图所示.已知杆长为R,不计空气阻力,则(D)A.当地的重力加速度大小为RbB.小球的质量为bRaC.当v2=c时,杆对小球的弹力方向向上D.当v2=2b时,小球受到的弹力与重力大小相等解析由图乙可知,当v2=b时,杆对小球的弹力为0,有mg=m v 2R ,则重力加速度g=v2R=bR,故A错误;当小球速度v<√gR时,弹力为支持力,方向向上,由牛顿第二定律得mg-F=m v2R ,因此有F=mg-m v2R,此时图线的斜率为-ab=-mR,则m=aRb,故B错误;当v2=c>b时,杆对小球的弹力为拉力,方向向下,故C错误;当v2=2b时,弹力方向向下,因此有mg+F=m v 2R,与v2=b时相比较,得杆对小球弹力的大小为mg,故D正确. 5.[最高点“杆”的作用力方向可变/多选]如图所示,竖直面内有一个半径为R的光滑圆管道,现给小球一个初速度,使小球在管道内做圆周运动,管道很细,则关于小球在最高点时的速度v,下列叙述正确的是(CD)A.v的最小值为√gRB.当v由零逐渐增大时,在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大C.当v由√gR逐渐增大时,在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大D.当v由√gR逐渐减小时,在最高点管道对小球的弹力逐渐增大解析小球在最高点时,管道对小球的作用力可以向上,也可以向下,所以v的最小值为零,故A错误.在最高点,当v=√gR时,根据牛顿第二定律得mg-F N=mv2R,可得管道对小球的作用力F N=0;当v<√gR时,管道对小球的作用力方向向上,根据牛顿第二定律得mg-F N=m v2R,当v由√gR逐渐减小时,管道对小球的弹力逐渐增大;当v>√gR时,管道对小球的作用力方向向下,根据牛顿第二定律得mg+F N=m v2R,当v由√gR逐渐增大时,管道对小球的弹力也逐渐增大,故B错误,C、D正确.6.[竖直面内圆周运动的实际应用]如图所示是某游乐场中水上过山车的原理示意图.半径为R=8m的圆轨道竖直固定在离水面高h=3.2m的水平平台上,圆轨道与水平平台相切于A点,A、B分别为圆轨道的最低点和最高点.过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船,可视作质点)高速行驶,先后会通过多个圆轨道,然后从A点离开圆轨道进入光滑的水平轨道AC,最后从C点水平飞出落入水中,整个过程刺激惊险,受到很多年轻人的喜爱.已知水面宽度为s=12m,不计空气阻力,重力加速度g取10m/s2.(结果可保留根号)(1)若过山车恰好能通过圆轨道的最高点B,则其在B点的速度为多大?(2)为使过山车安全落入水中,则过山车在C点的最大速度为多少?(3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍,随后进入水平轨道AC并落入水中,求过山车落入水中时的速度大小.答案 (1)4√5m/s (2)15m/s (3)4√14m/s解析 (1)过山车恰好能过最高点时,只受重力作用,有mg =m v B2R则v B =√gR =4√5m/s(2)过山车离开C 点后做平抛运动,有h =12gt 2解得运动时间为t =√2ℎg=0.8s 故最大速度为v max=s t=15m/s(3)在圆轨道最低点有F N -m'g =m'v A2R由牛顿第三定律得F N =3m'g解得v A =√2gR =4√10m/s落入水中时竖直速度为v y =gt =8m/s则落入水中时的速度为v =√v A 2+v y2=4√14m/s.题型3 斜面上圆周运动的临界问题1.与竖直面内的圆周运动类似,斜面上的圆周运动也是集中分析物体在最高点和最低点的受力情况,列牛顿运动定律方程来解题.物体在斜面上做圆周运动时,设斜面的倾角为θ,重力垂直于斜面的分力与斜面对物体的支持力相平衡,解决此类问题时,可以按以下操作(如图),把问题简化.2.物体在斜面上做圆周运动,根据受力情况的不同,可分为以下三类:(1)物体在静摩擦力作用下做圆周运动.(2)物体在绳的拉力作用下做圆周运动. (3)物体在杆的作用下做圆周运动.7.[倾斜圆盘]如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕过圆心垂直于盘面的轴以恒定的角速度ω转动,盘面上离转轴2.5m 处有一小物体,小物体与圆盘始终保持相对静止.已知小物体与盘面间的动摩擦因数为√32,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,盘面与水平面间的夹角为30°,取g =10m/s 2,则ω的最大值为( C )A.√5rad/sB.√3rad/sC.1rad/sD.0.5rad/s解析当小物体转到圆盘的最低点,所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时,角速度最大,由牛顿第二定律得μmg cos 30°-mg sin 30°=mω2r,解得ω=1 rad/s,故C正确.命题拓展[设问拓展]结合上述题干信息,判断下列说法的正误.(1)小物体随圆盘做匀速圆周运动时,一定始终受到三个力的作用.(✕)(2)小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时,ω越大,小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大.(✕)(3)小物体受到的摩擦力可能背离圆心.(√)8.[倾斜临界+轻杆模型]如图所示,在倾角为α=30°的光滑斜面上,有一根长为L=0.8m的轻杆,轻杆一端固定在O点,另一端系一质量为m=0.2kg的小球,小球沿斜面做圆周运动.取g=10m/s2.若要小球能通过最高点A,则小球在最低点B的最小速度为(A)A.4m/sB.2√10m/sC.2√5m/sD.2√2m/s解析小球受轻杆约束,在A点的最小速度为零,由动能定理可得-mg×2L sin α=0-12m v B2,解得v B=4 m/s,A正确.1.[水平面内的临界问题/海南高考]如图,一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上,硬币与竖直转轴OO'的距离为r,已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力),重力加速度大小为g.若硬币与圆盘一起绕OO'轴匀速转动,则圆盘转动的最大角速度为(B)A.12√μgrB.√μgrC.√2μgrD.2√μgr解析硬币由静摩擦力提供其做圆周运动的向心力,当达到最大静摩擦力时,角速度最大,设硬币质量为m,由牛顿第二定律可得μmg=mω2r,解得圆盘转动的最大角速度ω=√μgr,故B正确,A、C、D错误.2.[水平面内的临界问题/浙江高考]一质量为2.0×103kg的汽车在水平公路上行驶,路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N,当汽车经过半径为80m的弯道时,下列判断正确的是(D)A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B.汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104NC.汽车转弯的速度为20m/s时汽车会发生侧滑D.汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0m/s2解析向心力为效果力,故A错误;汽车转弯的速度为20 m/s时,所需的向心力F n=mv2r =1.0×104 N,故B错误;汽车转弯时,径向摩擦力提供向心力,转弯的速度为20 m/s 时,所需的向心力小于径向最大静摩擦力,故不会发生侧滑,C错误;汽车安全转弯所需=7.0 m/s2,故的最大向心力等于径向最大静摩擦力,汽车转弯的最大向心加速度a nm=f nmmD正确.3.[水平面内的临界问题/2023福建]一种离心测速器的简化工作原理如图所示.细杆的一端固定在竖直转轴OO'上的O点,并可随轴一起转动.杆上套有一轻质弹簧,弹簧一端固定于O 点,另一端与套在杆上的圆环相连.当测速器稳定工作时,圆环将相对细杆静止,通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度.已知细杆长度l=0.2m,杆与竖直转轴的夹角α始终为60°,弹簧原长x0=0.1m,弹簧劲度系数k=100N/m,圆环质量m=1kg;弹簧始终在弹性限度内,重力加速度大小取10m/s2,摩擦力可忽略不计.(1)若细杆和圆环处于静止状态,求圆环到O点的距离;(2)求弹簧处于原长时,细杆匀速转动的角速度大小;(3)求圆环处于细杆末端P时,细杆匀速转动的角速度大小.答案(1)0.05m(2)10√6rad/s(3)10rad/s3解析(1)圆环处于静止状态时,设弹簧压缩量为x1,由平衡条件可得mg cosα=kx1=0.05m解得x1=mgcosαk圆环到O点的距离s1=x0-x1=0.05m=mω12r1(2)弹簧处于原长时,圆环受力如图甲所示,由牛顿第二定律得mgtanα其中r1=x0sinαrad/s代入数据解得ω1=10√63(3)圆环在P点时,弹簧伸长量x2=l-x0,圆环受力如图乙所示,在水平方向有kx2sinα+N2cosα=mω22r2在竖直方向有kx2cosα+mg=N2sinα其中r2=l sinα代入数据解得ω2=10rad/s.4.[竖直面内的临界问题/2024广东深圳阶段练习]张同学设计了一个过山车轨道模型,如图所示,由倾角为α=37°的直轨道AB 、半径为R 的圆弧轨道BC 、水平轨道CD 、竖直圆轨道以及足够长的水平轨道DF 组成.C 点左侧轨道和竖直圆轨道是光滑的,水平轨道CD 和DF 是粗糙的.现将一小物块由轨道上A 点无初速度释放,已知小物块的质量为m ,与水平轨道CD 和DF 间的动摩擦因数均为μ=0.2,AB =6R ,CD =2R ,重力加速度为g ,sin37°=0.6,cos37°=0.8,忽略轨道交错的影响.求:(1)物块第一次运动到B 点时的速度大小;(2)物块第一次运动到C 点时对轨道的压力大小;(3)欲使物块在竖直圆轨道上运动时,不脱离轨道,圆轨道的半径R'应满足什么条件.答案 (1)2√1.8gR (2)8.6mg (3)R'≤1.36R 或R'≥3.4R解析 (1)在AB 段,根据牛顿第二定律得mg sin α=ma解得a =0.6g根据运动学公式v B 2-0=2a ·6R解得v B =2√1.8gR(2)从B 到C ,根据动能定理得mgR (1-cos α)=12m v C 2-12m v B2 解得v C =2√1.9gR在C 点,根据牛顿第二定律有N -mg =m v C 2R根据牛顿第三定律可得物块第一次运动到C 点时对轨道的压力大小N'=N联立解得N'=8.6mg(3)若物块不能过圆轨道最高点,不脱离圆轨道,物块最高能到达与圆轨道圆心等高处,根据动能定理得-μmg ·2R -mgR'=0-12m v C2解得R'=3.4R若物块恰好能过圆轨道最高点,在最高点,有mg =m v 2R '从C 点到圆轨道最高点,根据动能定理得-μmg ·2R -mg ·2R'=12mv 2-12m v C2解得R'=1.36R即欲使物块在竖直圆轨道上运动时,不脱离轨道,则圆轨道的半径R'应满足R'≤1.36R 或R'≥3.4R .1.[多选]如图所示,用一端固定在O 点且长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动,则下列说法正确的是( CD )A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力D.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动,则其在最高点的速率为√gL解析 在最高点时,若向心力完全由重力提供,即球和细绳之间没有相互作用力,此时有mg =m v 02L ,解得v 0=√gL ,此时小球刚好能在竖直平面内做圆周运动,若v >√gL ,则小球对细绳有拉力,若v <√gL ,则小球不能在竖直平面内做圆周运动,所以在最高点,充当向心力的不一定是重力.在最低点时,细绳的拉力和重力的合力充当向心力,故有T -mg =m v 12L ,得T =m v 12L +mg ,则小球过最低点时细绳的拉力一定大于小球重力,故A 、B 错误,C 、D 正确.2.[2023山东临沂检测]无缝钢管的制作原理如图所示,竖直平面内,管状模型置于两个支承轮上,支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动,铁水注入管状模型后,由于离心作用,紧紧地覆盖在模型的内壁上,冷却后就得到无缝钢管.已知管状模型内壁半径为R ,则下列说法正确的是( C )A.铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上B.模型各个方向上受到的铁水的作用力相同C.若最上部的铁水恰好不离开模型内壁,此时仅重力提供向心力D.管状模型转动的角速度ω最大为√gR解析 铁水做圆周运动,重力与弹力的合力提供向心力,没有离心力,A 错误;模型最下部受到铁水的作用力最大,最上部受到铁水的作用力最小,B 错误;最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁,则由重力提供向心力,有mg =mω2R ,可得ω=√gR,故管状模型转动的角速度ω至少为√gR,C 正确,D 错误.3.[2024湖北宜城一中质检/多选]一半径为r 的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动,如图甲所示.小球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为F N ,小球的速度大小为v ,其F N -v 2图像如图乙所示.已知重力加速度为g ,规定竖直向下为正方向,不计一切阻力.则下列说法正确的是( ABD )A.小球的质量为bgB.圆形管道内侧壁半径为cg -rC.当v 2=d 时,小球受到外侧壁竖直向上的作用力,大小为dbc -bD.小球在最低点的最小速度为2√c解析 设圆形管道内侧壁半径为R ,在最高点,当管壁对小球的作用力为零时,重力提供向心力,由牛顿第二定律得mg =mv 02R +r,解得v 0=√g(R +r),当0<v <√g(R +r)时,在最高点,小球受到管内壁向上的弹力,由牛顿第二定律得mg -F N =m v 2R +r,整理得F N =mg -mv 2R +r,结合题图乙可得mg =b ,m R +r=b c ,解得m =b g ,R =cg -r ,A 、B 正确;当v >√g(R +r)时,在最高点,小球受到管外壁向下的弹力,由牛顿第二定律得mg +F N =mv 2R +r,整理得F N =mv 2R +r-mg ,当v 2=d 时,有F N =bdc-b ,C 错误;根据能量守恒定律可知,当小球在最高点具有最小速度(为零)时,其在最低点的速度最小,即12m v min 2=2mg (R +r ),解得v min =2√c ,D 正确.4.[创新图像形式/2024湖南长沙雅礼中学校考/多选]如图所示,水平圆盘上放置一个质量为m 的小物块,物块通过长为L 的轻绳连接到竖直转轴上的定点O ,此时轻绳恰好伸直,与转轴成37°角.现使整个装置绕转轴缓慢加速转动(轻绳不会绕到转轴上),角速度ω从零开始缓慢增加,直到物块刚好要脱离圆盘.已知物块与圆盘间动摩擦因数μ=0.5,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g ,sin37°=0.6,cos37°=0.8.则轻绳的弹力大小F T 和物块受到的摩擦力大小F f 随ω2变化的图像正确的是( AD )解析ω较小时,绳子无弹力,静摩擦力提供向心力,有F f=mω2L sin 37°,当F f达到最大静摩擦力时有mω12L sin 37°=μmg,解得ω12=5g6L ,此时F T=0、F f=12mg,即绳子刚好开始产生弹力,继续增大角速度,轻绳弹力增大,静摩擦力减小,最终物块刚好要脱离圆盘,此时摩擦力为0,有F T cos 37°=mg、F T sin 37°=mω22L sin 37°,解得ω22=5g4L,此时F T=54mg、F f=0,A、D正确,B、C错误.5.[多选]如图所示,物体P用两根长度相等且不可伸长的细线系于竖直杆上,并随杆转动.若转动角速度为ω,则(ABC)A.ω只有超过某一值时,细线AP才有拉力B.细线BP的拉力随ω的增大而增大C.细线BP所受拉力一定大于细线AP所受拉力D.当ω增大到一定程度时,细线AP所受拉力大于BP所受拉力解析ω较小时,AP松弛,故A正确.AP绷紧前,对P受力分析,如图甲所示,水平方向有F BP sin θ=mω2L sin θ,得F BP=mω2L,可知BP的拉力随ω的增大而增大;AP绷紧后,对P受力分析,如图乙所示,竖直方向有F BP sin α-F AP sin α=mg,得F BP-F AP=mgsinα>0,水平方向有F BP cos α+F AP cos α=mω2L cos α,解得2F BP=mgsinα+mω2L,可知BP的拉力随ω的增大而增大,故B、C正确,D错误.6.[2022山东]无人配送小车某次性能测试路径如图所示,半径为3m的半圆弧BC与长8m的直线路径AB相切于B点,与半径为4m的半圆弧CD相切于C点.小车以最大速度从A点驶入路径,到适当位置调整速率运动到B点,然后保持速率不变依次经过BC和CD.为保证安全,小车速率最大为4m/s.在ABC段的加速度最大为2m/s2,CD段的加速度最大为1m/s2.小车视为质点,小车从A到D所需最短时间t及在AB段做匀速直线运动的最长距离l为(B)A.t=(2+7π4)s,l=8mB.t =(94+7π2)s ,l =5mC.t =(2+5√612+7√6π6)s ,l =5.5m D.t =(2+5√612+4+√62π)s ,l =5.5m解析 在BC 段的最大加速度为a 1=2 m/s 2,由a 1=v 12r 1得小车在BC 段的最大速度为v 1 =√6 m/s ;在CD 段的最大加速度为a 2=1 m/s 2,由a 2=v 22r 2得小车在CD 段的最大速度为v 2=2 m/s <v 1;小车可在BCD 段运动的时间为t 3=π(r 1+r 2)v 2=7π2s ;在AB 段从最大速度v 1减速到v 2的时间t 1=v 1−v 2a 1=1 s ,位移x 2=v 12−v 222a 1=3 m ,则在AB 段匀速运动的最长距离为l =8 m -3 m =5 m ;匀速运动的时间t 2=lv 1=54 s ,则小车从A 到D 所需最短时间为t =t 1+t 2+t 3=(94+7π2) s ,B 正确.7.[多选]如图所示,在匀速转动的水平圆盘上,沿半径方向放着用轻绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B ,它们分居圆心两侧,与圆心的距离分别为R A =r 、R B =2r ,与圆盘间的动摩擦因数μ相同,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,当圆盘转速缓慢增大到两物体刚好还未发生滑动时,下列说法正确的是( ABC )A.此时绳子所受拉力为T =3μmgB.此时圆盘的角速度为ω=√2μg rC.此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆盘外D.此时烧断绳子,A 仍相对盘静止,B 将做离心运动解析 A 和B 随着圆盘转动时,合外力提供向心力,B 的运动半径比A 的大,所以B 所需向心力大,绳子拉力相等,当圆盘转速增大到两物体刚好还未发生滑动时,B 的静摩擦力方向沿半径指向圆心,A 的最大静摩擦力方向沿半径指向圆盘外,根据牛顿第二定律得T -μmg =mrω2,T +μmg =2mrω2,解得T =3μmg ,ω=√2μg r,A 、B 、C 正确;此时烧断绳子,A 、B 的最大静摩擦力都不足以提供向心力,A 、B 都将做离心运动,D 错误. 8.[2024四川绵阳南山中学校考]某水上滑梯的简化结构图如图所示.总质量为m 的滑船(包括游客),从图甲所示倾角θ=53°的光滑斜轨道上的A 点由静止开始下滑,到达B 点时,进入一段与斜轨道相切的半径R =12.5m 的光滑圆弧轨道BC ,C 点为与地面相切的圆弧轨道最低点,在C 点时对轨道的压力为1.8mg ,之后轨道扭曲(D 与BC 不在同一个竖直面内),滑船从D 点沿切线方向滑上如图乙所示的足够大光滑斜面abcd ,速度方向与斜面水平底边ad 成夹角θ=53°.已知斜面abcd 与水平面成β=37°角,最后滑船由斜面水平底边ad 上的E 点进入水平接收平台,已知DE 长L =8m ,g 取10m/s 2.求:(1)A 点距离地面高度H ;(2)滑船运动到D 点时的速度大小v D 及从D 点到E 点的运动时间t .答案 (1)5m (2)5√2m/s4√23s解析 (1)滑船从A 点滑到C 点时,由机械能守恒定律可知mgH =12m v C2在C 点时由牛顿第二定律可得F NC -mg =m v C2R解得H =0.4R =5m(2)滑船在斜面上做类平抛运动,在斜面上只受重力和斜面的支持力,则运动的加速度大小a =mgsinβm=6m/s 2沿边ab 方向有v D sin θ=a ·t2沿底边ad 方向有L =v D cos θ·t联立并代入数据解得v D =5√2m/s ,t =4√23s.9.[斜面上的圆周运动/2024山东潍坊统考]为解决洗衣服时弯腰放置衣物的问题,有人设计了一种斜式滚筒洗衣机,其简化图如图所示.该洗衣机在脱水过程中滚筒绕固定轴OO 1以恒定的角速度转动,滚筒的半径为r ,筒壁内有一可视为质点的衣物,衣物与滚筒间的动摩擦因数为μ(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),固定轴与水平面间的夹角为θ,重力加速度为g .要保持衣物在最高点时与滚筒相对静止,滚筒转动角速度的最小值为( B )A.√g (μsinθ+cosθ)μrB.√g (sinθ+μcosθ)μrC.√g (μsinθ-cosθ)μrD.√g (sinθ-μcosθ)μr解析。
圆周运动中的临界问题
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圆周运动中的临界问题一.竖直面内的临界问题: a 无支撑模型:1、如图所示,没有物体支撑的小球,在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况:①临界条件:小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零,小球的重力提供其做圆周运动的向心力,即mg=rmv 2临界上式中的v 临界是小球通过最高点的最小速度,通常叫临界速度,v 临界=rg .②能过最高点的条件:v ≥v 临界. 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力mg rv m N -=2③不能过最高点的条件:v<v 临界(实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道). b 有支撑模型:2、如图所示,有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况:①临界条件:由于硬杆和管壁的支撑作用,小球恰能达到最高点的临界速度 v 临界=0.②图(a )所示的小球过最高点时,轻杆对小球的弹力情况是当v=0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力N ,其大小等于小球的重力,即N=mg ;当0<v<rg 时,杆对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=,大小随速度的增大而减小;其取值范围是mg>N>0. 当v=rg 时,N=0;当v>rg 时,杆对小球有指向圆心的拉力mg rv m N -=2,其大小随速度的增大而增大. ③图(b )所示的小球过最高点时,光滑硬管对小球的弹力情况是当v=0时,管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力,其大小等于小球的重力,即N=mg.当0<v<rg 时,管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力rv m mg N 2-=,大小随速度的增大而减小,其取值范围是mg>N>0. 当v=gr 时,N=0.当v>gr 时,管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力mg rv m N -=2,其大小随速度的增大而增大.④图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的v 临界=gr .当v>gr 时,小球将脱离轨道做平抛运动.c 类似问题扩展如图所示,在倾角为θ的光滑斜面上,有一长为l 的细线,细线的一端固定在O 点,另一端拴一质量为m 的小球,现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动,已知O 点到斜面底边的距离s OC =L ,求:小球通过最高点A 时的速度v A .二.平面内的临界问题 如图所示,用细绳一端系着的质量为M=0.6kg 的物体A 静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质量为m=0.3kg 的小球B ,A 的重心到O 点的距离为0.2m .若A 与转盘间的最大静摩擦力为f=2N ,为使小球B 保持静止,求转盘绕中心O 旋转的角速度ω的取值范围.(取g=10m/s 2)三.绳的特性引发的临界问题如图所示,质量为m =0.1kg 的小球和A 、B 两根细绳相连,两绳固定在细杆的A 、B 两点,其中A 绳长L A =2m ,当两绳都拉直时,A 、B 两绳和细杆的夹角θ1=30°,θ2=45°,g =10m/s 2.求: (1)当细杆转动的角速度ω在什么范围内,A 、B 两绳始终张紧? (2)当ω=3rad/s 时,A 、B 两绳的拉力分别为多大?模型一 圆周运动中的渐变量和突变量例1:如图所示,细线栓住的小球由水平位置摆下,达到最低点的速度为v ,当摆线碰到钉子P 的瞬时( )A .小球的速度突然增大B .线中的张力突然增大P 小球C O B A θ θ ωAB 30°45°CC .小球的向心加速度突然增大D .小球的角速度突然增大模型二 圆周运动与平抛运动相结合例2:如图所示,竖直平面内的3/4圆弧形光轨道半径为R ,A 端与圆心O 等高,AD 为水平面,B 点在O 的正上方,一个小球在A 点正上方由静止释放,自由下落至A 点进入圆轨道并恰能到达B 点。
专题 圆周运动临界问题
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专题 圆周运动的临界问题一.水平转台上与静摩擦力有关的临界问题在转台上做圆周运动的物体,若有静摩擦力参与,当转台的转速变化时,静摩擦力也会随之变化。
关键:(1)找出与最大静摩擦力对应的临界条件 (2)牢记“静摩擦力大小有个范围,方向可以改变1.单个物体做圆周运动【例1】如图所示,水平转盘上放有质量为m 的物块,当物块到转轴的距离为r 时,连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)。
物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。
求:⑴当转盘角速度ω1=μg 2r 时,细绳的拉力T 1 ⑵当转盘角速度ω2=3μg 2r时,细绳的拉力T 22.绳子连接两个物体在圆心的一侧做圆周运动【例2】一圆盘可以绕其竖直轴在图所示水平面内转动,A 、B 物体质量均为m ,它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍,两物体用一根长为L 的轻绳连在一起。
若将A 放在距轴心为L 的位置,A 、B 之间连线刚好沿半径方向被拉直,随着圆盘角速度ω的增加,摩擦力或绳子拉力会出现不同的状态,(两物体均看作质点)求:(1)ω1=Lg 3μ时,细绳的拉力T 1和A 所受的摩擦力f 1(2)ω1=Lg 53μ时,细绳的拉力T 2和A 所受的摩擦力f 23.绳子连接两个物体分别在圆心的两侧做圆周运动【例3】(多选)如图所示,在匀速转动的水平圆盘上,沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B ,它们分居圆心两侧,与圆心距离分别为R A =r ,R B =2r ,与盘间的动摩擦因数μ相同,当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,则下列说法正确的是( )A .此时绳子张力为3μmgB .此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆内C .此时圆盘的角速度为2μg rD .此时烧断绳子,A 仍相对盘静止,B 将做离心运动【针对训练1】如图所示,水平转台上的小物体A 、B 通过轻绳连接,转台静止时绳中无拉力,A 、B 的质量分别为m 、2m ,A 、B 与转台间的动摩擦因数均为μ, A 、B 离转台中心的距离分别为1.5r 、r ,当两物体随转台一起匀速转动时,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法中正确的是( )A .绳中无拉力时,A 、B 物体受到的摩擦力大小相等B .当绳中有拉力时,转台转动的角速度应大于√μg rC .若转台转动的角速度为√6μg r ,则A 、B 一起相对转台向B 离心的方向滑动D .物体A 所受的摩擦力方向一定指向圆心【针对训练2】(多选)如图所示,圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动。
专题圆周运动临界问题.ppt
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A.
B.
C.
D.
例9、一质量为m的金属小球拴在长为L的细线下 端,细线上端固定在O点处,在悬点O的正下方P 处钉有一光滑钉子,如图4-3-12所示.现将小球 拉至悬线水平,然后释放.为使悬线碰到钉子后, 小球能绕钉子在竖直平面内做完整的圆周运动,
则OP的最小距离是多少?
例10、 一内壁光滑的环形细圆管,位于竖直平面 内,环的半径为R(比细管的半径大得多).在圆管 中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质 点).A球的质量为m1,B球的质量为m2.它们沿 环形圆管顺时针运动,经过最低点时的速度都为
第3讲 专题 圆周运动的临界问题
【例1】 随着经济的持续发展,人民生活水平的不断提 高,近年来我国私家车数量快速增长,高级和一级公路 的建设也正加速进行.为提高公路弯道部分的行车速度, 防止发生侧滑,常将弯道部分设计成外高内低的斜面. 如果某品牌汽车的质量为m,汽车行驶时弯道部分的半 径为r,汽车轮胎与路面的动摩擦因数为μ,路面设计的 倾角为θ,如图4-2-8所示.(重力加速度g取10 m/s2)
体A.A的质量为m=2 kg,当A通过最高点时,
如图4-3-3所示,求在下列两种情况下杆对小球
的力:
(1)A在最低点的速率为
m/s;
(2)A在最低点的速度为6 m/s.
在例1中若把细杆换成细绳, 则在(1)(2)两种情况
下小球能通过最高点吗? 若能,此时细绳对小球的拉 力为多少?
1-1、2008年北京奥运会上一位质量为60 kg的体
操运动员“单臂大回环”,用一只手抓住单杠,
伸展身体,以单杠为轴做圆周运动.如图4-3-
4所示,此过程中,运动员到达最低点时手臂受
的拉力至少约为(忽略空气阻力,g=10
专题七 圆周运动的临界问题
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几何分析
目的是确定圆周运动的圆心、半径等
运动分析
目的是确定圆周运动的线速度、角速度、向心加速度等
受力分析
目的是通过力的合成与分解,表示出物体做圆周运动时,外界所提供的向心力
条件分析
①绳的临界:张力 ;②接触面滑动的临界: ;③接触面分离的临界: .分析时一般先假设达到临界状态后,再分析结论.
C
A.小球通过最高点时的最小速度 B.小球通过最高点时的最小速度 C.小球在水平线 以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线 以上的最高点的速度可以为零,故A、B错误;小球在水平线 以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力 与小球重力在背离圆心方向的分力 的合力提供向心力,即 ,因此外侧管壁对小球一定有作用力,而内侧管壁对小球一定无作用力,C正确;小球在水平线 以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关,D错误.
考向二 “杆-球”模型
例4 如图甲所示,轻杆一端固定在 点,另一端固定一小球,现让小球在竖直平面内做半径为 的圆周运动.小球运动到最高点时,杆与小球间弹力大小为 ,小球在最高点的速度大小为 ,其 图像如图乙所示.则( )
A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C. 时,在最高点杆对小球的弹力方向向上D. 时,在最高点杆对小球的弹力大小为
√
√
√
变式2 如图所示,相同的物块 、 用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上.当圆盘绕转轴转动时,物块 、 始终相对圆盘静止.下列关于物块 所受的摩擦力 随圆盘角速度的平方 的变化关系正确的是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 角速度慢慢增大,一定是长绳挂着的那个球先离开圆锥筒,选项A正确,B错误;设小球离开圆锥筒后,绳子的拉力为 ,绳子长度为 ,与竖直方向的夹角为 ,由 , ,联立解得 ,而 ,为小球到圆锥筒顶点的高度,所以两个球都离开圆锥筒后,它们的高度一定相同,选项C正确;而细绳中拉力 ,即两个球都离开圆锥筒时两端绳子的拉力不一定相同,选项D错误.
圆周运动中的临界问题专题
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课题28圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题(1)如图所示,没有物体支撑的小球,在竖直平面做圆周运动过最高点的情况: 特点:绳对小球,轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 ① 临界条件:绳子或轨道对小球没有力的作用:mg=mv 2/R →v 临界=Rg 〔可理解为恰好转过或恰好转不过的速度〕即此时小球所受重力全部提供向心力注意:如果小球带电,且空间存在电、磁场时,临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力,此时临界速度V 临≠Rg②能过最高点的条件:v ≥Rg ,当v >Rg 时,绳对球产生拉力,轨道对球产生压力. ③不能过最高点的条件:v <V 临界〔实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动〕 [例题1]如图所示,半径为R 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球,现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速v 0,若v 0≤gR 310,则有关小球能够上升到最大高度〔距离底部〕的说法中正确的是〔 〕 A 、一定可以表示为gv 220B 、可能为3RC 、可能为RD 、可能为35R[延展]汽车过拱形桥时会有限速,也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度gr v 时,汽车对弧顶的压力F N =0,此时汽车将脱离桥面做平抛运动,因为桥面不能对汽车产生拉力.〔2〕如右图所示,小球过最高点时,轻质杆〔管〕对球产生的弹力情况: 特点:杆与绳不同,杆对球既能产生拉力,也能对球产生支持力. ①当v =0时,F N =mg 〔N 为支持力〕②当 0<v <Rg 时, F N 随v 增大而减小,且mg >F N >0,F N 为支持力. ③当v =Rg 时,F N =0④当v >Rg 时,F N 为拉力,F N 随v 的增大而增大〔此时F N 为拉力,方向指向圆心〕 典例讨论1.圃周运动中临界问题分析,应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态,然后分析该状态下物体的受力特点.结合圆周运动的知识,列出相应的动力学方程[例题2]在图中,一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO /旋转,现将轻质弹簧的一端固定在OR圆盘中心,另一端系住一个质量为m 的物块A ,设弹簧劲度系数为k ,弹簧原长为L 。
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例 如图6所示,两绳系一质量为m=0.1kg的 小球,上面绳长L=2m,两端都拉直时与轴的夹 角分别为30°与45°,问球的角速度在什么范围内, 两绳始终张紧,当角速度为3 rad/s时,上、下 两绳拉力分别为多大?
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r
临界速度是:v0 gr
在其它位置要能做圆周运动,也必须满足F供=F需。
物体在有支撑物时,物体恰能达到最高点的v临界=0
例1 (99年高考题)如图4所示,细杆的
一端与一小球相连,可绕过O的水平轴自由
转动。现给小球一初速度,使它做圆周运动。
图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高
点,则杆对球作用力可能是 (A、B )
A、a处为拉力,b处为拉力
b
B、a处为拉力,b处为推力
C、a处为推力,b处为拉力
D、a处为推力,b处为推力
a
例2 长度为L=0.5m的轻质细杆OA,A端有一
质量为m=3.0kg的小球,如图5所示,小球以O点
为圆心在竖直平面内做圆周运动,通过最高点时小
球的速率是2.0m/s,g取10m/s2,则此时细杆
()
A.会落到水平面AE上
B.一定会再次落到圆轨道上
C.可能会落到水平面AE上
D.可能会再次落到圆轨道上
二、在水平面内作圆周运动的临界问题
在水平面上做圆周运动的物体,当角速度ω变 化时,物体有远离或向着圆心运动的(半径有 变化)趋势。这时,要根据物体的受力情况, 判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时 方向朝哪(特别是一些接触力,如静摩擦力、 绳的拉力等)。
②当A的速率v2=4m/s时:
如图6-11-9所示,固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道 ABCD,其A点与圆心等高,D点为轨道最高点,DB为竖直线, AC为水平线,AE为水平面,今使小球自A点正上方某处由静止 释放,且从A点进入圆形轨道运动,通过适当调整释放点的高
度,总能保证小球最终通过最高点D,则小球在通过D点A后
OA受B 到
()
A、6.0N的拉力 C、24N的拉力
B、6.0N的压力 D、24N的压力
例3:长L=0.5m,质量可以忽略的的杆,其下
端固定于O点,上端连接着一个质量m=2kg的小球 A,A绕O点做圆周运动(同图5),在A通过最高点 ,试讨论在下列两种情况下杆的受力:
①当A的速率v1=1m/s时:
杆与绳不同,它既能产生拉力,也能产生压力
①能过最高点v临界=0,此时支持力N=mg;
②当 0v rg 时,N为支持力,有0<N<mg,且N
随v的增大而减小;
③当 v rg 时,N=0;
④当 v rg ,N为拉力,有N>0,N随v的增大而增
大
结论:
物体在没有支撑物时: 在竖直平面内做圆周运动过最高点的临界条件是: 物体的重力提供向心力即 mg m v02
专题:
圆周运动中的临界问题
一、竖直平面内的圆周运动
竖直面内圆周运动的临界问题分析 对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典
型的变速曲线运动,该类运动常有临界问题 ,并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语 ,常分析两种模型——轻绳模型和轻杆模型 ,分析比较如下:
一、竖直平面内的圆周运动
在最高点时,没有物体支 撑,只能产生拉力
m gmR 2 v临界 Rg
(2)小球能过最高点条件: v rg
(当v rg 时,绳对球产生拉力,轨道对球产生压力
)
(3)不能过最高点条件:v rg
(实际上球还没有到最高点时,就脱离了轨道)
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ②轻杆模型 : 能过最高点的临界条件:
v临界=0
1、轻杆模型轻杆对小球既能产生拉 Fra bibliotek,又能产生支持力
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ①轻绳模型 :
能过最高点的临界条件:
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0,小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
m gmR 2 v临界 Rg
1、轻绳模型
(1)小球能过最高点的临界条件:绳子和轨道对小球刚 好没有力的作用: