伯德图分析-稳定性-及幅值和相角裕度

- 相角绝不会穿过 -180º线。 但是相位裕 度可以从增益穿越点 PM=45º处获得， 系 统是稳定的。
0.01
0.1
1.0
10

40 M db
20
0
K=1
-20
-40

0
-90
-180
-270
图16.8 无相位穿越点的伯德图
MATLAB 仿真
GH s

1 s s2 1 s /10
Ka 的值可以通过测量ω = 1 处的 增益值来获得。
M db
-40db/decade
20 log10 Ka
1
图.16.7 2 型系统的伯德图
log10
进一步讨论增益裕度和相位裕度
相角裕度是确定系统稳定性的唯一可靠 的参数。
无频率穿越点：
- 考虑下面的例子
GH s

K1 s s2 1 s /10
20 lg
M
1
pc
20 lg M pc
条件稳定
• 改变增益的作用是使幅值曲线上下平 移，而相角曲线不变。
如果 那么
20lg K KdB
20 lg 2K 20 lg 2 20 lg K KdB 6
20 lg 0.5K 20 lg 0.5 20 lg K KdB 6
如果k=1 ，那么当ω = 1 时，图形经过
Mdb= 0dB线。
M db -20db/decade
20 log10 Kv
1800
图.16.5
1
1型系统的伯德图
log10
Kv的值可以通过测量在ω =1处的增益 来获得。如果其他环节在频率ω =1之前作 用于对数幅频特性， 那么应该用低频渐近 线的延长线求出。
sys=tf([1 1],[0.2 1 0 0]); bode(sys) pause
用根轨迹来验证： Im
Re
-10
-1
图.16.9 系统的根轨迹图
▽ 多个频率穿越点：
考虑下面的例子
GH s

K
s 3 1
1 s1 s s /1001
/10 s /1000
增益穿越频率在ω =1处, 相角裕度为 -45º, 可判断出系统是不稳定的。
M db
0db GM

1800
PM
图.16.3 增益裕度和相位裕度
log10 log10
系统的型和从伯德图得到 稳态误差
一般开环传递函数
GH s
Kb 1 s / z1 1 s / z2 1 sn 1 s / p1 1 s / p2 1
s/ s/
0.01
0.1
1.0
10

40 M db
20
增益穿越点
0
-20 -40

0
-90
-180
-270
相位穿越点 图16.1 例子系统的伯德图
增加K 将使幅值曲线向上平移动，从而 使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点保持 不变。 系统最终处在临界不稳定点上。 ▽ 计算临界不稳定时系统的幅值。
20 lg NK 20 lg K 20 lg N
0 18 NdB Kc NK 0.794
NdB 20 lg N 18 N 7.94
这个结果接近于先前分析的结果 K=0.832. 误差是由伯德图的相角曲线 用直线近似引起的。
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伯德图中的增益裕度和相角裕度
伯德图中的增益裕度
增益裕度 (用分贝表示)为 Kc 的分贝值 与增益K的分贝值之差。
• 考虑下面的例子：
K=0.1
GH s

s1
K
2s1
3s
转折频率为 1, 0.5, 0.34
• 奈奎斯特稳定性判据：
当相角为-180o时，如果系统幅值小于或等 于1，那么这个系统是稳定的。
在伯德图中， 单位幅值对应于 MdB=0。 例子中: 相位为-180°时， 幅值约为 – 18dB ，因此系统是稳定的。
• 这里有两个相位穿越频率，分别为ω=3 和ω=300。在每个频率处增益裕度是正 的， 表明系统是稳定的系统。
但相位裕度判断系统的确是不稳定的 。
40 M db
0 -40
-80

0
-90 -180 -270
0.01
0.1
-60 GM1=K (db)
-40
1.0
10

K=1 GM2=K(db)
-20 -40
GM Kc K
GMdB 20lg Kc 20lg K
伯德图中的相位裕度： - 相位裕度是使相角曲线向下移动 直 到增益和相角穿越点发生在同一频率 时的纯相角滞后量 。 - 在图16.1中
PM 54
▽ 在伯德图中获得增益裕度和相位裕 度:
增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间 的差值(用分贝表示) 。 相角裕度是通过增益穿越频率得出的， 它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。
线性控制系统工程
第16章
伯德图分析，稳定性， 及幅值和相角裕度
第16章 伯德图分析,稳定性 及幅值和相角裕度
伯德图中的增益裕度和相角裕度
M ( pc)
g c
(g c)
(g c)
GM Kc
1
K
M pc
PM 180 gc
GM db
M db
-20db/decade
20 log10 Kv
log10
1
图.16.6 1 型系统的另一种伯德图
2型系统
GHs
Kb s2
GH
j


Ka
j 2
如果 ka=1。对数幅频特性在当ω =1时，其低频段或它的延长线会以– 40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。
PM 图16.10 具有两个相位穿越点的系统
MATLAB 仿真
20 lg NK KdB NdB
M db

－90 －180 －270
K3 Kc K2
K1
log10
Im
Kc
K1 K2
K3
Re
Im
－1 K1
Kc K2 K3

Re
图.16.2 具有变化K的系统伯德图、奈奎斯特图和根轨迹
在相位-180°时， K dB 幅值约为 – 18dB， 如果系统不稳定：
zm pk
当ω 趋于 0 时
GH s
Kb sn
0型系统
M db
20 log10 KP
n0 GH (s) Kb
GH ( j) K p
图.16.4 0型系统的伯德图
log10
1型系统
GH (s) Kb Kb
s j
幅值增益
GH ( j) Kv