矩阵初等变换法解方程组教案

矩阵初等变换法解方程组教案

课程：高等代

第1.1.1页

本掌握解纟目的方程组过教学G

!使学生消

元法，理解矩阵在解线性方程组等实践中的应用.六

学数学里，同学们已经学习•工+七一兀一次

万程组的加减消兀一法，考虑其

一般化，本节介绍解n兀线性方

程组的（Gauss消兀法.

1 例引例1求

下列线性方程组

的解：

1-2x1 - X2 3x3 =1

4X1 2X2 5X3 = 4

用消元法求解，: C并采用分离百边与出求解过程中所相应的矩形数表（矩阵）

2x1 - x23x3 =1

4x-i 2x25x3 4

A T；

解

法

过二元、二

第一章矩阵

§1消元法

2x1 2x3 =6

课 程

第1.1.2页

2 -1

3

0 4

-1 1 2 .0 1 -1

1

(-2)①•②,(_1)①•③得 2X 1 -X 2 3X 3 =1

X 2 -X 3 二 2 X 2

—X3 =5

2x 1 2 -1 3 1、

0 1 -1 51

^4-1 2

丿

对换④、 -X 2 X 2 4X 2

3x 2 =1 -X 3 = 5

一 X 3 =2

⑤的位置得

2 -1

3

X 2 — X 3 =5 0 1 -1

5

4X 2 — X 3 =2

^0 4-1 2

丿

(—4)X ⑤+④得

3x 2 =1

2x i

_ X

2

X 2 2论一x 2 -1 1 0 二 1 =5 —

18 2 0 3 3X 3 -X 3 3x

3

'2 -1 3 1 \ 0 1 -1 5

© 0 1

最后，将 〜 方程组

的解代入①得

X 3

2x i

-x 2

3X 3 X 2 * X 3 一6

代入⑤， 冷

=9 .

X 1 =9,X 2 - -1,X 3 - -6

3 -1 3 =1 二 5

二一6

得因2

此,; 1

5 —18

丿

课 程： 高 等 代 第1.1.3页

、〜4将例1的做法一般化，我们先来

阐述 2 线性方程组的概念

X 1

，X 2

，…,冷的线性方程组

KiX i +a i2X 2 + …+ a in X n =b i a 2i X i +a 22X 2 十八十a 2n X n =b 2 a ml X i ，am2X 2

• a mn X n 二 b m

⑴

这里a j

属于某个数域F ，即aj^F ,i = 1 , 2,…，m ,j = 1, 2,…，n ,叫做方 程组⑴的系数；b — 1, 2, 3,…， m ,叫做⑴的常数项•因此，⑴叫做 数域F 上的线性方程组.小'

由(1)得到矩形数表

其中AJ 叫做⑴的系数矩

阵,A 叫做⑴ 的增若用阵知的一组数

容线往往要

阐述

f f

bi 、 a ii

a i2 a

in

a ii

a i2 … a

in

a 2i

a 22

a 2n

a 2i

a 22 …

a 2n

b 2

A =

a

a

A =

\3mi a m2

a

mn

J

炉mi a m2 a mn b m

;俪次每

课 程： 高 等 代 第1.1.4页

乘第i 个方程;

人、备消法变换'用一个数"F 乘第i 个万程后加到第j 个万程； 人、刃互换变换交换第i 个、第j 个方程的位置 这三种变换叫做 线性方程组的初等 变换・

显然，若对(1)作一次初等变换将 它变为

a 11 x 1 +a t2x 2 十八 ta^X n =

b 1

a

21X

1

・a 22x

2

■…'a 2n x n - b

2

| ............ ，

a mM ，am2X 2 亠'^mn X^

b m

⑵

则⑴的任一个

解X 0

,X 0

, ,X 0

是(2)的一个 解•由于初等变换是可逆的/例如- 若用消

法变换 数a)EF

乘⑵的 个方程，则(2)变为J1) •倍法变换、亠 换变换情形类似可见.于是，(2)的任 一个解y i

,y 0, ,y 0

，也是 ⑴的解•因此， (1)与⑵有相同的解集，即⑴与⑵同 牛这样，我们得到

定理1.1.1若线性方程组 ⑴经 过有限次初等变换化为线性方程组 (2崗，则(1)与(2)有相同的解集，即它

3化为阶梯形

女口 ^2)将(1)变为(2);可用

第i 个方程后加到第j

2)变为］1) •倍法变换、互

----- 1

一一 ，y 0

，也是(1)的解「因此，