拉普拉斯变换及线性微分方程求解

拉氏变换求解微分方程的一般步骤
考虑初始条件,对微分方程两边进行拉氏变换; 由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式; 对输出量拉氏变换函数的表达式进行拉氏反变换. 课堂练习:P64 - 2-5(2)
作业: P70 2-5(选做一题)
�
t t ≥0 0 t<0
0 t
st ∞
F ( s ) = L [ t 1 ( t )] = t e = s
st
∫
0
t 1 ( t )e
dt
|
∞ 0
+
∞
∫
0
1 e s
st
1 dt = 2 s
3,等加速度函数
f(t)
1 2 L[ t 1(t )] = 2
4,指数函数
∞
1 2 f (t ) = t 1(t ) 2 ∞
1 2 1 st ∫ 2 t 1(t )e dt = s 3 0
∞
0
t
L[e ] = ∫ e e dt = ∫ e
at 0 0
at st
(sa)
1 dt = s a
5,正弦函数sinωt
∞ st
1 jωt jωt st L[sinωt ] = ∫ sin ωte dt = ∫ (e e )e dt 2j 0 0
σ + j∞
二,几种典型函数的拉氏变换
1,单位阶跃函数
f(t) 1
f (t) = 1(t) =
1 t ≥0 0 t<0
∞
ຫໍສະໝຸດ Baidu
0
t
1 st ∞ 1 F(s) = L[1(t)] = ∫1(t)e dt = e |0 = s s 0
st
二,几种典型函数的拉氏变换
2.单位斜坡函数
f(t)
f (t) = t 1(t) =
Ur(t)
i(t) C
Uc(t)
d 2uc (t ) duc (t ) LC + RC + uc (t ) = ur (t ) dt 2 dt
′ LC[ s 2U c ( s) suc (0) uc (0)] + RC[ sU c ( s) uc (0)] + U c ( s) = U r ( s)
+ jω
)
存在,则称其为函数的拉普拉斯变换,简称拉氏变 换.
一,拉普拉斯变换的定义 2. 记作:F(s)或L[f(t)]
L[ f (t )] = ∫ f (t )e st dt = F (s)
0
∞
3. 拉氏反变换:
1 1 L [ f (t )] = F (s)e st dt = f (t ) ∫ 2πj σ j∞
A ( s ) = ( s s 1 )( s s 2 ) L ( s s n )
B ( s ) b0 s m + b1 s m 1 + L + b m 1 s + b m = F (s) = A( s ) ( s s1 )( s s 2 ) L ( s s n )
五,拉普拉斯反变换
1,A(s)=0无重根
于是
2 1 1 ]+ L [ f (t ) = L [ F ( s )] = L [ ] = 2e t e 2 t s +1 s+2
1 1
六,线性定常微分方程的解
L R
[例3] L=1H,C=1F,R=1,且 电容上初始电压uc(0)=0.1V,初始电 流i(0)=0.1A,电源电压ur(t)=1V,求 电压uc(t)的变化规律. [解]系统微分方程为 方程两边拉氏变换得
拉普拉斯变换及线性微分方程求解
拉普拉斯变换的定义 几种典型信号的拉氏变换 拉氏变换的积分下限 拉氏变换的基本性质 拉氏反变换 微分方程的求解
拉普拉斯变换及线性微分方程求解
一,拉普拉斯变换的定义 1,定义:函数f(t),t为变量.如下述线性积分
∞
∫
0
f (t)e
st
dt (s为复变量 σ
Ci Cn C1 C2 F (s) = + +L+ +L+ s s1 s s 2 s si s sn
或 F(s) =
∑
n
i=1
Ci s - si
n
n Ci si t -1 -1 L [F(s)] = f(t) = L [∑ ] = ∑ Ci e i =1 s - s i i =1
C
i
= lim (s - s i ) F(s)
L[af1 (t ) + bf 2 (t )] = aL[ f1 (t )] + bL[ f 2 (t )] = aF1 ( s) + bF2 ( s)
四,拉氏变换的几个基本规则
2,微分法则 设F(s)=L[f(t)] ,则
df ( t ) L[ ] = sF ( s ) f ( 0 ) dt
d 2 f (t ) L[ ] = s 2 F ( s) sf (0) f ′(0) dt 2
由于
′ uc (0) =
duc (t ) 1 1 = i (t ) = i (0) = 0.1V dt t =0 C C t =0
将L,R,C, uc(0),uc'(0),代入得到
U c ( s) =
U r ( s) 0.1s + 0.2 + 2 s2 + s +1 s + s +1
由于Ur(s)=1/s,故有
U c ( s) = 1 1 0.1s + 0.2 + 2 s2 + s +1 s s + s +1 1 ( s + 0.5) 0.5 0.75 = 2 s ( s + 0.5) 2 + 0.75 0.75 ( s + 0.5) + 0.75 + 0.1( s + 0.5) 1.95 0.75 + 2 ( s + 0.5) 2 + 0.75 0.75 ( s + 0.5) + 0.75
1 1 f ( t )( dt ) ] = 2 F ( s ) + 2 f s s
2
( 1)
(0 )
( 2 )
( 1)
1 (0) + f s
(0)
……
1 1 (1) 1 (n) L[13 f (t)(dt) ] = n F(s) + n f (0) +L+ f (0) ∫ ∫2 ∫ L s s s n
五,拉普拉斯反变换
1 L [ f ( t )] = 2π j
1
σ + j∞ σ j∞
F ( s ) e st dt = f ( t ) ∫
由F(s)求f(t)常用部分分式法
B ( s ) b0 s m + b1 s m 1 + L + b m 1 s + b m F (s) = = A( s ) s n + a1 s n 1 + L + a n 1 s + a n
+
∞
δ (t )0
∞ 0
0+
δ (t ) e ∫
∞
st
dt = 0
型拉氏变换
st
∫ δ (t )e
0+ 0
dt = ∫ δ (t )e dt + ∫ δ (t )e dt
st st 0 0+
0+
= ∫ δ (t )e st dt = 1
四,拉氏变换的几个基本规则
1,线性性质 设F1(s)=L[f1(t)],F2(s)= L[f2(t)] ,a和b都是常数,则
s→ s
i
例: 求 解: 求
F (s) =
F (s) =
s+3 ( s + 1)( s + 2)
的拉氏变换.
a a s+3 = 1 + 2 ( s + 1)( s + 2) s + 1 s + 2
s+3 a1 = ( s + 1) = 2, ( s + 1)( s + 2) s = 1 s+3 a2 = ( s + 2) = 1 ( s + 1)( s + 2) s = 2
……
d n f (t) L[ n ] = sn F(s) sn1 f (0) sn2 f ′(0) f (n1) (0) dt
四,拉氏变换的几个基本规则
3,积分法则 设F(s)=L[f(t)] ,则
L[ ∫
L[ ∫∫
t
0
1 1 f ( t ) dt ] = F ( s ) + f s s
∞
ω 1 1 1 = [ ]= 2 2 2 j s jω s + jω s +ω
6,单位脉冲函数
f (t) =δ(t) = ∞
L [ δ ( t )] =
∞
0 t≠0 t=0
∞
且
st
∞
∫ δ ( t )dt
=1
∫ δ ( t )e
0
dt
三,拉氏变换的积分下限问题
δ ( t ) 0 型拉氏变换
还可以用如下方法求解 系统的特征方程为
s + s +1 = 0
2
特征方根为
s1, 2 = 0.5 ± j 0.866
C1e ( 0.5+ j 0.866 )t + C2 e ( 0.5 j 0.866 )t
系统的特解为 uc(t)=1 齐次通解解为
系统的通解为 1 + C1e ( 0.5+ j 0.866 ) t + C2 e ( 0.5 j 0.866) t 用待定系数法即可求出C1,C2.
拉氏反变换得
uc (t ) = 1 e 0.5t sin 0.866t 0.6667e 0.5t cos 0.866t + 0.1e 0.5t sin 0.866t + 2.2575e 0.5t cos 0.866t uc (t ) = 1 0.9e 0.5t sin 0.866t + 1.59e 0.5t cos 0.866t
n
四,拉氏变换的几个基本规则
4,终值定理 ,
若函数 f(t) 的象函数为 F(s) ,且 F(s) 在s平面的右 半平面及除原点以外的虚轴上解析,则由终值
lim f ( t ) = lim sF ( s )
t→∞ s→ 0
难点:F(s)在s平面的右半平面及除原点外的 虚轴上解析.意思是:F(s)的分母,令分母 等于零的根不在右半平面及除原点外的虚轴 上,即位于左半平面及原点上.