二项分布经典例题+练习题

二项分布

1．n 次独立重复试验

一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。

（1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率

()P X k ==(1)k k

n k n

C p p --。 2．二项分布

若随机变量X

的分布列为()P X k ==

k k n k

n C p q

-，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X

B n p 。

1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。

2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交

通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是3

1

.

(1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为

2

1

，乙每次击中目标的概率为3

2.

（1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望；

（2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.

【巩固练习】

1.已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球

的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和.

(Ⅰ)求X的分布列;

(Ⅱ)求X的数学期望E(X).

2甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1

,乙每次

3

,且各次投篮互不影响.

投篮投中的概率为1

2

(Ⅰ) 求甲获胜的概率;

(Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望

3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比

，试求需要比赛场数赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是1

2

的期望．

3．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的22 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽

样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的,求X 的分布列,期望()E X 和方差

()D X .

5.某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为

54、53、5

2

，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；

（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）

6. 一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，

A

B

C60︒

湖北理工学院湖北师范学院

9

9 650

7 2 15

16

17

18

89

12589

34 6

0 1

在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数ξ的概率分别布.

(1)每次取出的产品不再放回去；

（2）每次取出的产品仍放回去；

（3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.

7. 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．

（I）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；

（II）求ξ的分布列和数学期望；

8.（本题满分12分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活

动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一

次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一

位置. 若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券. 例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.

（I）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；

（II）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元），求随机变量X的分布列和数学期望.

9. (本题满分12分)中国•黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于2012年8月20日在黄石铁山举行，为了搞好接待工作，组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）

若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且

只有湖北师范学院的“高个子”才能担任“兼职

导游”。

（1）根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北