九年级数学一元二次方程(带答案)

第二章 一元二次方程

第1讲 一元二次方程概念及解法

【知识要点】

一. 知识结构网络

二、一元二次方程的四种解法

直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法

1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为()02

≥=b b x 或

()b a x =+2

的形式的方程求解。当0≥b 时，可两边开平方求得方程的解；当0

2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个

一次因式等于0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。 3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常

数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为()x m n +=2

的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。

4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式02=++c bx ax ，确定a 、b 、c 的值；（2）计算

ac b 42

-的值并判别其符号；（3）若042

≥-ac b ，则利用公式a

ac

b b x 242-±-=求方程的解，若

042<-ac b ，则方程无实数解。

【典型例题】

（1）67302

x x --=（用因式分解法）

解：0)32)(13(=-+x x

2

3，31∴032或013∴21=-

==-=+x x x x

（2）1432

+=x x

（用公式法）

解：01432

=--x x

028)1(×3×4)4(2

>=---=∆

3

7

2，372∴37

±23×228±)4(∴21-=+=

=

--=x x x

（3）030222

=--x x （用配方法）

解：152

2

2

=-

x x

8

121

)42()42(15)42(222222=

-+=+-

x x x

22

5

，23∴24

11

±42∴21-===-

x x x

【经典练习】

一、直接开方法

（1）()()x x +=-11222 （2）b a x =+2

)(

二、配方法注：

（1）223002

x x --= （2）3412

x x =+

二、公式法

1. 用求根公式法解下列方程

()12202x x +-=；

解：

()228102y y +-=；

解：

()3231

8

02x x -+

=；

解：

()43212

y y -=； 解：

()525102x x +-=；

解：

()625302x x ++=；

解：

()734502x x -+=；

解：(7)方程无实数根；

()82432202x x +-=；

解：

()...90020030352x x -=；

解：(9)先在方程两边同乘以100，化为整数系数，再代入求根公式，

()()()101233132+-=+x x

解：。

三、因式分解

1. 用因式分解法解下列各方程：

（1）x 2－5x －24＝0；

解：

；

（2）12x 2＋x －6＝0； 解：

；

（3）x 2－4x －165＝0

解：

；

（4）2x 2－23x ＋56＝0；

解：8，2

7

，0)8)(72(21==

=--x x x x ； （5）924164122x x x ++=+； 解：

（6）33332

()()x x -=-；

解：

（7）x x 2

3260-+

+=()

解：

；

（8）()x x --+=-251062

；

解： (x －2)2－5(x －2)＋6＝0，(x －2－2)(x －2－3)＝0，x 1＝4，x 2＝5； （9）t(t ＋3)＝28；

解：（9）t 2＋3t －28＝0，(t ＋7)(t －4)＝0，t 1＝－7，t 2＝4； （10）(x ＋1)(x ＋3)＝15。

解：x 2＋4x ＋3＝15，(x ＋6)(x －2)＝0，x 1＝－6，x 2＝2

2. 用因式分解法解下列方程：

（1）(y －1)2＋2y(y －1)＝0；

解：

；

（2）(3x ＋2)2＝4(x －3)2；

解： 0)]3(2)23)][(3(2

)23[(=--+-++x x x x 8，5

4

，0)8)(45(21-==

=+-x x x x （3）9(2x ＋3)2－4(2x －5)2＝0；

解：[3(2x ＋3)＋2(2x －5)][3(2x ＋3)－2(2x －5)]＝0， 2

19，101，0)192)(110(21-===+-x x x x （4）(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0。 解：[(2y ＋1)＋1][(2y ＋1)＋2]＝0，

三、综合练习

1. 下列方程中，有两个相等实数根的方程是（ B ） A. 7x 2－x －1＝0

B. 9x 2＝4(3x －1)